Informatik Security
Topic 6 Elliptic Curves
Topic 6 Elliptic Curves
Wie sieht die Elliptische Kurven funktion aus ?
y2 = x3 + ax + b
welches sind die kurven paramter einer elliptischen Kurve aus dieser Formel ?
y2 = x3 + ax + b
a & b
Welches sind die variablen einer elliptischen Kurven formel:
y2 = x3 + ax + b
x & y
Was bedeutet dieses Zeichen im Zusammenhang mit den Elliptischen Kurven
Das ist der infinity point
wie werden die punkte ermittelt wenn die Gerade die elliptische kurve tangiert?
Dann wird der tangierter punkt 2 mal verwendet und zusätzlich der dritter punkt
Welches ist der 3 Punkt wenn p = -Q (gerade ist dan vertikal)
Dann wird der dritte punkt infinity
wie wird ein punkt auf der Elliptischen kurve invertiert?
wenn der Punkt inf ist dann ist das inverse aus inf sonst (x,-y) für punkt (x,y)
was ist die definition von P + Q in einer Elliptischen Kurve. P & Q sind punkte auf der Elltptischen Kurve
inf wenn p= -Q
P wenn Q inf ist
Q wenn P inf ist
und -R wenn (P!=-Q) & (p,Q!=inf)
wie sehen normale standard additionen von Elliptischen Kurven punkten aus ? (Standard = keine infinity points, oder vertikale linien)
wie viele operationen sind notwendig um P & Q auf einer Elliptischen kurve zu addieren wenn (P!= Q)
3 multiplikationen und 1 Multiplikative inverse
Was verstehen Sie unter dem Begriff eines Mathematischen Fields?
Ein Field ist die erweiterung einer Gruppe mit 2 weiteren Funktionen
Was können Sie zur Elliptischen Kurve von einer Primzahl sage ?
Ea,b(Zp)
Diese Gruppe ist ähnlich wie eine Ellipptische Kurve auf reellen Zahlen jedoch ist hier die anzahl der Elemente in der Gruppe endlich
Wie viele Elemente sind in einer Ea,b(Zp) ? Kennen Sie einen Satz
Hasse's Theorem besagt das die Menge der Elemente in einer Primzahl Ell-Kurven Gruppe etwa dem Primzahl entspricht.
Welche Punkte sind denn in einer Gruppe
zum Beispiel E1,6(Z11)
Es sind dann alle Punkte welche dieser Formel entsprechen. Und zusätzlich noch das infinity point
y2 = x3 + x + 6 mod 11
Grundformel : y2 = x3 + ax + b mod p
wie würden sie vorgehen um 1/2 mod 11 zu berrechnen?
1/2 = 2-1
Das multiplikative inverse von 2 ist 6 (Das Multiplikative inverse lässt sich mit dem Extended Euclid berrechnen)
1/2 = 2-1 = 6 mod 11
Was passiert hier wenn der Punkt (8,8) und (10,9) addiert werden ?
Die gerade welche durch den Punkten gezogen kommt wieder von der anderen Seite wieder rein. bis es auf einem Punkt aus der Gruppe wieder trifft
Wie wird P+P+P+P+P+P in der richtigen convention geschrieben?
anstatt P6 wird hier 6*P geschrieben
Was ist die Bedingung für einen Generatir einer Elliptischen Kurven Gruppe?
Der Generator hat die Eigenschaft dass mit G = generator, q = anzahl ELm in Gruppe
Alle Punkte in der Gruppe dargestellt werden kann. {G,2G,3G...qG}
Was ist das Diskreter Log Problem(ECDL) in den elliptischen Kurven ?
Das finden von x in x*G = P
x sein ein element von der anzahl der elemente in einer Gruppe
Welches ist die effizintester Algo für das finden von ECDL problem in elliptischen kurven? und welche laufzeit hat diese gruppe?
Pollard's rho algo, und besitzt eine lauzeit von O(-v/¯q)
welche primzahl bitgrösse müsste verwendet werden um die sicherheit von 256 in elliptischen kurven kryptographie zu erreichen.
die primzahl bitlänge soll 2*S sein also 512 bitlänge für den prim
Wo können die Elliptischen Kurven angewendet werden ?
Elliptischen Kurven können überall angewendet werden, wo das DL die basis das sicherheitsschema ist.
Empfiehlt es sich Elliptischen Kurven Parameter selber zu finden ? Begründen sie ihre antwort.
Nein ist es auf keinen Fall
- Es sind a,b vorhanden welche unsicher sind
- alle Punkte in der Kurve zu finden ist aufwendig
- Einen Generator der Gruppe zu finden ist aufwendig
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Cartes-fiches
Wie sieht die Elliptische Kurven funktion aus ?
y2 = x3 + ax + b
welches sind die kurven paramter einer elliptischen Kurve aus dieser Formel ?
y2 = x3 + ax + b
a & b
Welches sind die variablen einer elliptischen Kurven formel:
y2 = x3 + ax + b
x & y
Was bedeutet dieses Zeichen im Zusammenhang mit den Elliptischen Kurven
Das ist der infinity point
wie werden die punkte ermittelt wenn die Gerade die elliptische kurve tangiert?
Dann wird der tangierter punkt 2 mal verwendet und zusätzlich der dritter punkt
Welches ist der 3 Punkt wenn p = -Q (gerade ist dan vertikal)
Dann wird der dritte punkt infinity
wie wird ein punkt auf der Elliptischen kurve invertiert?
wenn der Punkt inf ist dann ist das inverse aus inf sonst (x,-y) für punkt (x,y)
was ist die definition von P + Q in einer Elliptischen Kurve. P & Q sind punkte auf der Elltptischen Kurve
inf wenn p= -Q
P wenn Q inf ist
Q wenn P inf ist
und -R wenn (P!=-Q) & (p,Q!=inf)
wie sehen normale standard additionen von Elliptischen Kurven punkten aus ? (Standard = keine infinity points, oder vertikale linien)
wie viele operationen sind notwendig um P & Q auf einer Elliptischen kurve zu addieren wenn (P!= Q)
3 multiplikationen und 1 Multiplikative inverse
Was verstehen Sie unter dem Begriff eines Mathematischen Fields?
Ein Field ist die erweiterung einer Gruppe mit 2 weiteren Funktionen
Was können Sie zur Elliptischen Kurve von einer Primzahl sage ?
Ea,b(Zp)
Diese Gruppe ist ähnlich wie eine Ellipptische Kurve auf reellen Zahlen jedoch ist hier die anzahl der Elemente in der Gruppe endlich
Wie viele Elemente sind in einer Ea,b(Zp) ? Kennen Sie einen Satz
Hasse's Theorem besagt das die Menge der Elemente in einer Primzahl Ell-Kurven Gruppe etwa dem Primzahl entspricht.
Welche Punkte sind denn in einer Gruppe
zum Beispiel E1,6(Z11)
Es sind dann alle Punkte welche dieser Formel entsprechen. Und zusätzlich noch das infinity point
y2 = x3 + x + 6 mod 11
Grundformel : y2 = x3 + ax + b mod p
wie würden sie vorgehen um 1/2 mod 11 zu berrechnen?
1/2 = 2-1
Das multiplikative inverse von 2 ist 6 (Das Multiplikative inverse lässt sich mit dem Extended Euclid berrechnen)
1/2 = 2-1 = 6 mod 11
Was passiert hier wenn der Punkt (8,8) und (10,9) addiert werden ?
Die gerade welche durch den Punkten gezogen kommt wieder von der anderen Seite wieder rein. bis es auf einem Punkt aus der Gruppe wieder trifft
Wie wird P+P+P+P+P+P in der richtigen convention geschrieben?
anstatt P6 wird hier 6*P geschrieben
Was ist die Bedingung für einen Generatir einer Elliptischen Kurven Gruppe?
Der Generator hat die Eigenschaft dass mit G = generator, q = anzahl ELm in Gruppe
Alle Punkte in der Gruppe dargestellt werden kann. {G,2G,3G...qG}
Was ist das Diskreter Log Problem(ECDL) in den elliptischen Kurven ?
Das finden von x in x*G = P
x sein ein element von der anzahl der elemente in einer Gruppe
Welches ist die effizintester Algo für das finden von ECDL problem in elliptischen kurven? und welche laufzeit hat diese gruppe?
Pollard's rho algo, und besitzt eine lauzeit von O(-v/¯q)
welche primzahl bitgrösse müsste verwendet werden um die sicherheit von 256 in elliptischen kurven kryptographie zu erreichen.
die primzahl bitlänge soll 2*S sein also 512 bitlänge für den prim
Wo können die Elliptischen Kurven angewendet werden ?
Elliptischen Kurven können überall angewendet werden, wo das DL die basis das sicherheitsschema ist.
Empfiehlt es sich Elliptischen Kurven Parameter selber zu finden ? Begründen sie ihre antwort.
Nein ist es auf keinen Fall
- Es sind a,b vorhanden welche unsicher sind
- alle Punkte in der Kurve zu finden ist aufwendig
- Einen Generator der Gruppe zu finden ist aufwendig
