BL.6002 Classical models in Biology

1. Ein set von variablen: manche von ihnen unbekannt
2. Ein set von parameter: müssen als gegeben betrachtet werden
3. Ein set von Hypothesen: ermöglichen die Verbindung von Variablen und Parameter in einer quantitativen Art

AIm: to find a model describing population growth

Diff eq.: \(N'(t) = rN(t)\), where r = population's intrinsic rate of increase and r = b-d, where b: instantaneous birth rate and d: inst. death rate

Solution to diff eq.: \(N(t) = N(0)e^{rt}\)

Flaws: 

-  all individuals are considered equal (no difference between age, gender etc)

- r: is considered constant

- r > 0, N(infinite)

\(N'(t) = rN(t)\) ⇔ \(r = {N'(t)/N(t)}\) = growth rate per capita (per individual)

Aim:  render population intrinsic growth (r) decreasing with respect to N and limit the population as t-> infinity

- Diff eq. = \(N'(t) = dN/dt = N(r-αN)\)

• r = intrinsic growth
• alpha = intraspecific competition

- Solution to diff. eq: \(N(t)= {K\over {K-N(0)\over N(0)}e^{-rt} + 1}\)

Ein equiblibriumspunkt der Gleichung u' = f(u) ist eine konstante Lösung der Gleichung, i.e. eine, für die u' = 0 gilt. Man muss also die Nullpunkte von f(u) finden. 

ist der Spezialfall, wenn r < 0 -> negative per capita growth rate

, N(0) > k = Population ist grösser als die Tragekapazität

--> die Population wächst, obwohl die per capita growth rate negativ ist. 

Wenn man einen mortaliätsterm substrahiert, aber N > K, dann wird der Mortalitätsterm positiv -> i.e. zusätzliche Mortalität führt zu neuen individuen

Aim: Description of an epidemic in a closed population (no immigration or emigration), where natality and mortality fue to any other cause are neglected (i.e. a short epidemic).

Assume: the survivors of the epidemic are immune

Equations:

• S'(t) = -αS(t)I(t) --> Instantaneous change of susceptible individuals
• I'(t) = αS(t)I(t) - γI(t) --> Instantaneous change of infected individuals

Study of the system:

• S(0) >= 0 and I(0) = 0: Will stay indefinitely long at this point, since it is an equilibrium points
• S(0) = 0 and I(0) > 0: Decreasing line on the I(t) axis
• S(0) >0 and I(0) > 0: 
  • solution cannot reach I = 0 or S = 0 in a finite amount of time

First value integral:

is constant

Aim: Eine überlebenstabelle aufbauen für eine komplett Vakzinierte Population ohne Smallpox, wo 1 pro 200 personen aufgrund der Vakzination selber sterben. Würde die Mortalitätsrate m(t) geben. 

Was hatte er initial?

1. β := Infektionsrate mti Smallpox in susceptible individuen pro Zeiteinheit (Jahre) -> β ≈ 1/8 (1/Jahre)
2. v := Proportion von Smallpox infizierten Individuen, welche von Smallpox sterben -> v ≈ 1/8
3. 1/N := Fraktion der Menschen, welche nach einer Vakzination sterben
4. Halley's life table: 
   1. alle möglichen Todesursachen
   2. überleben in einer best. Kohorte
   3. überlebende in der Kohorte zur Zeit t

Wie hat er es gemacht?

1. Schritt: 
   1. mortalitätsrate ohne Smallpox berechnet μ(t)
   2. Anzahl susceptibles zu Smallpox finden S(t)
2. Schritt: Die Poportion ohne Smallpox Q(t) berechnen
3. Schritt: Vakzination: die Lebenserwartung nach Vakrination und ohne smallpox berechnen

Aim: Describe a predator (P) prey(N) interaction system in the environment.

Equations:

• \(P'(t) = -Pm + βPN\)(Predator) 
• \(N'(t) = Nr - αPN\)(prey) 

where: alpha = predation rate and Beta is called the conversion factor (nicht das gleiche alpha wie beim logistic!!)

Isoclines:

• N'(t) \(= N(r-αP) <-> P = r/α\)
• P'(t) \(= P(-m + βN) <-> N = m/β\)

It loses its periodicity and the it starts to spiral and decrease.

- Ziel ist es, herauszufinden ob die Bakterien durch induktion einer Mutation oder durch selektion resistent zu bakteriophagen weden

Hypothesen:

• Hc: Contact hypothesis, resistance is acquired by contact with the virus:
  • Number of resistant bacteri is proportional to the total number of bacteria and the probabiblity for a bacteria to acquire immunity by contact
  • number of resistant colonies should be more less the same in all plates
• Hm: bacterial resistance is acquired by spontaneous mutation during cell division
  • number of bacteria resistant depends on the number of cell divisions between the mutation enzyme and the introduction of bacteriophage
  • variable proportions of resistant bactera from plate to plate
• LD supports the mutation hypothesis