analysis
Schulmathematik
Schulmathematik
161)
f(x) = (wurzel x) e-x
162)
163)
164)
???
165) Diskutieren Sie, wie geeignete Optimierungsaufgaben zum allgemeinbildenden Wert des Mathematikunterrichts beitragen können!
166) Was wird im Hinblick auf mathematische Lösungsstrategien für Anwendungsaufgaben unter dem "empirisch-numerischen Standpunkt" und dem "theoretischen Standpunkt" verstanden?
167) Führen Sie die Ihnen bekannten elementaren (nicht auf der Analysis beruhenden) Methoden an, die im Unterricht zur Lösung von Extremwertaufgaben zur Verfügung stehen!
168) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe (mit oder ohne Kontext), bei der die Lösung ein Randextremum ist!
Der Ellipse soll das flächengrößte achsenparallelle Rechteck eingeschrieben werden. Bestimme die Seitenlänge und die Fläche des Rechtecks.
169) Formulieren Sie die Mittelungleichung! Vergessen Sie nicht jenen Teil der Aussage , der die Mittelungleichung zu einer Lösungsmethode für manche Extremwertaufgaben macht!
170) Beweisen Sie die Mittelungleichung für n=2!
???
171) Führen Sie eine der elementaren Lösungsmethoden des Isoperimetrischen Problems für Rechtecke vor!
172) Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe, die durch symmetrisierung gelöst werden kann!
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174)
175) Lösen Sie mit Hilfe der Analysis: Welches Rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse 1 besitzt den Größten Umfang?
176)
???
177)
178) ?
?
179) ?
?
180)
3) Beschreiben Sie die Grundzüge eines Kompetenzmodells!
was sind die Winter'schen Grunderfahrungen?
2) Was ist eine "Grundvorstellung" zu einem mathematischen Begriff?
Eine Grundvorstellung zu einem mathematischen Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem Sinn gibt.
4) Was ist eine "Fundamentale Idee" in einer Wissenschaft?
5) Beispiele für "Fundamentale Ideen" in der Mathematik
Zahl, Messen, Algorithmus, Optimieren, Symmetrie, Näherung, funktionaler Zusammenhang, Änderung, Mittelung (Ausgleich), Rekonstruieren
6) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Allgemeinen Ziele" des Mathematikunterrichts!
Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist, dass SuS lernen (außermathematische) Probleme mithilfe von speziellen Methoden oder Verfahren zu lösen (schöpferisch-kreativer Gesichtspunkt) und im Stande sind zu interpretieren und mit versch. Darstellungsformen wie Grafiken und Tabellen zu arbeiten (sprachlich - kommunikativer Gesichtspunkt).
7) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Inhaltlichen Ziele" des AMthematikunterrichts!
Zum Begriffsverständnis gehört, dass Lernende:
8) Geben Sie einige Argumente, die für den Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht sprechen!
9) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen GV zum Folgenbegriff und beschreiben Sie diese kurz.
10) Wie kann der Bergiff der Folge in den Jahren vor der 6.Klasse vorbereitet werden? Nennen Sie einige Möglichkeiten!
11) Nennen Sie einige Beispiele für Unterrichtsrelevante Folgen, die keine Zahlenfolgen sind!
Die Mathematik kennt zahlreiche interessante und wichtige Typen von Folgen: Folgen von geometrischen Figuren, diskrete Musterfolgen, Folgen von Vektoren, Folgen von komplexen Zahlen, Folgen von Matrizen, Folgen von Vektorräumen und viele andere. Das entspricht einer Auflistung von nummerierten Objekten, die keine Zahlen sind.
12) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, das Thema ausführlich zu behandeln.
13) Nennen Sie die in der VO besprochenen Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff und beschreiben Sie sie kurz.
14) Geben sie eine genaue Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwertes.
Konvergenz: Wir nennen eine reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge (an)n aus N. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn es für jedes epsilon>0 genau ein nepsilon gibt, sodass für alle n aus N mit n>=nepsilon giilt:
Betrag (an-a)< epsilon.
15) Geben Sie eine Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwerts, die zwar genau ist, aber möglichst wenig "Formalismus" benötigt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn für jede positive reelle Zahl nur endlich viele Folgenglieder weiter von a entfernt sind als ?.
Konvergenz einer Folge: Besitzt eine reelle Zahlenfolge einen Grenzwert, so nennen wir sie konvergent, andernfalls divergent.
16) Was ist mit der Formulierung "Dynamische Sichtweise" im Zusammenhang mit dem Grenzwertbegriff gemeint? Inwiefern kann sie hinderlich sein?
17) Formulieren und begründen Sie Ihre Meinung: Soll man im Matheunterricht einen formal-exakten oder einen intuitiven Grenzwertbegriff vermitteln?
Einen intuitiven Grenzwertbegriff! Laut Danckwerts und Vogel hebt die exakte Definition des Grenzwertes die Schwierigkeit nicht auf zu verstehen, was ein Grenzwert ist. Im Gegenteil: Die Def. umgeht die Probleme geradezu, indem sie eine Operationalisierung bereitstellt und damit den Grenzwertbegriff handhabbar macht.
18) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, im MAtheunterricht rekursiv definierte Folgen nicht zu kurz kommen zu lassen!
19) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen Termdefinierter Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
20) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen rekursiv def. Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
Ich würde die SuS auffordern, die einzelnen Folgenglieder graphisch darzustellen, denn: "Grafische Darstellungen helfen oft, die wesentlichen Eigenschaften eines mathematischen Objektes schnell zu "überblicken".
Im Fall der Folge würde ich zur Darstellung einen Punktgraphen wählen, da aus diesem gut auf die Monotoniereigenschaften und Beschränktheit der Folge schließen kann.
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Flashcards
3) Beschreiben Sie die Grundzüge eines Kompetenzmodells!
was sind die Winter'schen Grunderfahrungen?
2) Was ist eine "Grundvorstellung" zu einem mathematischen Begriff?
Eine Grundvorstellung zu einem mathematischen Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem Sinn gibt.
4) Was ist eine "Fundamentale Idee" in einer Wissenschaft?
5) Beispiele für "Fundamentale Ideen" in der Mathematik
Zahl, Messen, Algorithmus, Optimieren, Symmetrie, Näherung, funktionaler Zusammenhang, Änderung, Mittelung (Ausgleich), Rekonstruieren
6) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Allgemeinen Ziele" des Mathematikunterrichts!
Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist, dass SuS lernen (außermathematische) Probleme mithilfe von speziellen Methoden oder Verfahren zu lösen (schöpferisch-kreativer Gesichtspunkt) und im Stande sind zu interpretieren und mit versch. Darstellungsformen wie Grafiken und Tabellen zu arbeiten (sprachlich - kommunikativer Gesichtspunkt).
7) Beschreiben Sie die Ihnen am wichtigsten erscheinenden "Inhaltlichen Ziele" des AMthematikunterrichts!
Zum Begriffsverständnis gehört, dass Lernende:
8) Geben Sie einige Argumente, die für den Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht sprechen!
9) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen GV zum Folgenbegriff und beschreiben Sie diese kurz.
10) Wie kann der Bergiff der Folge in den Jahren vor der 6.Klasse vorbereitet werden? Nennen Sie einige Möglichkeiten!
11) Nennen Sie einige Beispiele für Unterrichtsrelevante Folgen, die keine Zahlenfolgen sind!
Die Mathematik kennt zahlreiche interessante und wichtige Typen von Folgen: Folgen von geometrischen Figuren, diskrete Musterfolgen, Folgen von Vektoren, Folgen von komplexen Zahlen, Folgen von Matrizen, Folgen von Vektorräumen und viele andere. Das entspricht einer Auflistung von nummerierten Objekten, die keine Zahlen sind.
12) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, das Thema ausführlich zu behandeln.
13) Nennen Sie die in der VO besprochenen Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff und beschreiben Sie sie kurz.
14) Geben sie eine genaue Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwertes.
Konvergenz: Wir nennen eine reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge (an)n aus N. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn es für jedes epsilon>0 genau ein nepsilon gibt, sodass für alle n aus N mit n>=nepsilon giilt:
Betrag (an-a)< epsilon.
15) Geben Sie eine Definition der Konvergenz einer Folge und des Grenzwerts, die zwar genau ist, aber möglichst wenig "Formalismus" benötigt.
Grenzwert: Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge. Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert dieser Folge, wenn für jede positive reelle Zahl nur endlich viele Folgenglieder weiter von a entfernt sind als ?.
Konvergenz einer Folge: Besitzt eine reelle Zahlenfolge einen Grenzwert, so nennen wir sie konvergent, andernfalls divergent.
16) Was ist mit der Formulierung "Dynamische Sichtweise" im Zusammenhang mit dem Grenzwertbegriff gemeint? Inwiefern kann sie hinderlich sein?
17) Formulieren und begründen Sie Ihre Meinung: Soll man im Matheunterricht einen formal-exakten oder einen intuitiven Grenzwertbegriff vermitteln?
Einen intuitiven Grenzwertbegriff! Laut Danckwerts und Vogel hebt die exakte Definition des Grenzwertes die Schwierigkeit nicht auf zu verstehen, was ein Grenzwert ist. Im Gegenteil: Die Def. umgeht die Probleme geradezu, indem sie eine Operationalisierung bereitstellt und damit den Grenzwertbegriff handhabbar macht.
18) Geben Sie einige Argumente, die dafür sprechen, im MAtheunterricht rekursiv definierte Folgen nicht zu kurz kommen zu lassen!
19) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen Termdefinierter Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
20) Im Unterricht steht ein erstes Kennenlernen rekursiv def. Folgen an. Sie entscheiden sich für ... . Was sollten Ihrer Meinung nach die ersten MAthematischen Handlungen sein, die Ihre SuS mit dieser Folge durchführen? Begründen!
Ich würde die SuS auffordern, die einzelnen Folgenglieder graphisch darzustellen, denn: "Grafische Darstellungen helfen oft, die wesentlichen Eigenschaften eines mathematischen Objektes schnell zu "überblicken".
Im Fall der Folge würde ich zur Darstellung einen Punktgraphen wählen, da aus diesem gut auf die Monotoniereigenschaften und Beschränktheit der Folge schließen kann.
21) Beschreiben Sie (kurz) das Heron-Verfahren ("Babylonisches Wurzelziehen")! Wie kann man die bei diesem Verfahren verwendete Rekursionsformel motivieren?
22) Zu welchem Zweck sollte man im Matheunterricht das Heron-Verfahren behandeln?
Es kann verwendet werden, um zum Grenzwertbegriff hinzuführen.
23) Was besagt der Banach'sche Fixpunktsatz? Welche mathematische Methode beruht auf seiner Aussage?
24) Beschreiben Sie anhand eines Beispiels, wie man eine Gleichung durch die Iteration eine Funktion lösen kann!
25) Was ist ein Spinwebendiegramm? Was beschreibt es?
Das Spinnwebdiagramm erlaubt, die Funktionswerte rekursiv definierter Funktionen grafisch darzustellen. Die Iteration einer Funktion mit neg. Steigung wird als Spinnwebdiagramm dargestellt. (mit pos. Steigung sind es Treppen zw 1.Median und Funktion) Auf dem Spinnwebdiagramm entspricht ein stabilder Fixpunkt einer Einwärtsspirale, ein instabilder Fixpunkt einer Auswärtsspirale. Es folgt aus der Def. eines Fixpunkts, dass diese Spirale ein Zentrum haben, bei welchem die Diagonallinie den Funktionsgraphen schneidet.
26) Wozu sollte man im Matheunterricht Differenzenfolgen betrachten? Geben Sie ein didaktisches Argument?
Sie bieten einen anschaulicheren und formaleren Einstieg in die Differentialrechnung. Erarbeitung dieser erfolgt historisch parallel. Anhand der Differenzenfolgen kann eine diskrete Differentialrechnung erarbeitet werden.
27) Formulieren Sie die "Paarmengen-Definition" des Funktionsbegriffs.
Eine Funktion f ist eine Teilmenge des kartesischen Produks AxB zweier Mengen A und B, bei der für alle genau ein existiert mit ???
28) Nennen Sie einige Phänomene, anhand derer der Funktionsbegriff im Mathematikunterricht entwickelt werden kann!
29) Welche Rolle spielt die dynamische Geometrie im Bezug auf die Ausbildung des Funktionsbegriffs?
Dynamische Geometrie schult Denken mit funktionalen Abhängigkeiten. Einerseits sind beim Erstellen dynamischer Konstruktionen Abhängigkeiten zw Objekten zu berücksichtigen, andererseits können funktionale Zusammenhänge innerhalb einer Konstruktion mithilfe der Beweglichkeit erkundet und analysiert werden.
30) Nennen Sie die in der Vorlesung besprochenen "Aspekte von Variablen" (nach Malle) und beschreiben Sie sie kurz!
Einzelzahlaspekt: Eine Variable steht für eine feste Zahl aus einem Zahlenbereich.
Simultanaspekt: Eine Variable repräsentiert gleichzeitig alle Zahlen aus einem Zahlenbereich.
Veränderlichenaspekt: Eine Variable wird als veränderlich in einem Bereich aufgefasst. Die Zahlen des Bereichs werden "durchlaufen".
31) Was ist mit "didaktische Phänomenologie matehematischer Strukturen" gemeint?
32) Nennen Sie die in der VO besprochenen "Aspekte" zum Funktionsbegriff und beschreiben Sie sie kurz!
Zuordnungsaspekt: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.
Paarmengenaspekt: Eine Funktion f ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts AxB zweier Mengen A und B, bei der für alle x aus A genau ein y aus B existiert mit (x,y) aus f.
33) Nennen Sie die in der VO besprochenen Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff und beschreiben Sie sie kurz!
Zuordnungsvorstellung: Eine Funktion ordnet jedem Wert einer Größe genau einen Wert einer zweiten Größe zu.
Kovariationsvorstellung: Mit Funktionen wird erfasst, wie sich Änderungen einer Größe auf eine zweite Größe auswirken bzw. wie die zweite Größe durch die erste beeinflusst wird.
Objektvorstellung: Eine Funktion ist ein Objekt, das einen Zusammenhang als Ganzes beschreibt.
34) Nennen Sie die wichtigsten Darstellungsformen von Funktionen! Welche GV werden jeweils dadurch unterstützt?
35) Beschreiben Sie einige unterrichtliche Möglichkeiten, die Anlass zur Ausbildung und Festigung der Zuordnungsvorstellung sein können.
Die Quadratfunktion ordnet jeder reellen Zahl ihr Quadrat zu. Für positive Zahlen hat dieser Zusammenhang auch eine geometrische Bedeutung: Der Seitenlänge eines Quadrates wird der Flächeninhalt dieser Figur zugeordnet.
36) Beschreiben Sie einige unterrichtliche Möglichkeiten, die Anlass zur Ausbildung und Festung der Kovariationsvorstellung sein können!
Der Flächeninhalt eines Quadrats nimmt bei zunehmender Seitenlänge streng monoton zu. Beim Abkühlen von heißem Tee nimmt die Temperatur des Tees mit der Zeit ab - und zwar zunächst schneller und dann immer langsamer.
37) Beschreiben Sie einige unterrichtliche Möglichkeiten, die Anlass zur Ausbildung und Festigung der Objektvorstellung sein können!
Beim Abkühlen von heißem Tee kann der Temperaturverlauf mit einer Exponetialfunktion modelliert werden. Bei einer harmonischen Schwingung werden die Abhängigkeit des Ortes, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung von der Zeit jeweils durch eine trigonometrische Funktion beschrieben.
38) Geben Sie ein Argument, das dafür spricht anstelle von ... zu verwenden.
Dadurch wird die Objektvorstellung (Funktion als Ganzes) gefördert.
39) Geben Sie ein Beispiel für eine Ortskurve (Ortslinie)!
Erzeuge einen Schieberegler a und erstelle den Graphen der Funktion mit ...
Untersuche den Verlauf des Graphen bei Variation des Parameters a.
Berechne das Extremum A der Funktion f in Abhängigkeit von a. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du den Punkt A(../...) in der Zeichenfläche erzeugst.
Auf welcher Kurve bewegt sich das Extremum bei Variation des Parameters a? (Tipp: Mit der Spur von A kannst du diese Kurve sichtbar machen.)
40) Geben Sie ein Argument, demzufolge auch Ortskurven im Unterricht vorkommen sollten!
Die SuS sollen lernen,
Ortskurven bestimmter, ausgezeichneter Punkte zu betimmen
parametrisierte Kurven darzustellen und zu verstehen
den Hintergrund von parametrisierten Kurven zu verstehen
Außerdem: Übergang vom Eizelzahlaspekt bei Variablem (=Parameter a ist eine fixe, unbekannte Zahl) zum Veränderlichenaspekt (=Parameter a ist veränderlich, wodurch die Ortskurve entsteht) wird geübt.
