Statistik

Der Mittelwert einer Versuchsperson wird von allen Werten dieser Versuchsperson subtrahiert

Eine einfache Varianzanalyse würde so zum selben Ergebnis führen

Wenn über mindestens einen Faktor wiederholte Messungen und über mindestens einen keine wiederholten Messungen vorliegen

Nicht-parametrisch

• Verteilungsfrei
• Sind weniger eingeschränkt und können universaler angewendet werden

Die unter der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten werden mit den beobachteten Häufigkeiten vergleichen

W = √{Σ^k_i [(P_b,i – P_e,i) ²]/P_e,i}    bzw.  w = √(��²/N)

Die Effektstärke entspricht der Prüfgröße unabhängig von der Stichprobengröße

Beschränken sich auf die Verteilung der nominalskalierten Merkmalen

��² testet Omnibushypothesen

Sind zwei Ergebnisse stochastisch unabhängig, dann gilt: p(A∩B)=p(A)*p(B) -> Die Schnittmenge soll gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten sein

Stochastische Unabhängigkeit ist eine Voraussetzung

Die Verfahren für ordinalskalierte Daten können angewendet werden, wenn parametrische Verfahren nicht angewendet werden dürfen/sollten.

Sie haben bei Verletzung der Voraussetzung mitunter eine höhere Power als parametrische Verfahren.

Beides sind Alternativen zum t-Test. U-Test = t-Test für unabhängige Stichproben; Wilcoxon-Test = t-Test für abhängige Stichproben

• der U-Test?
  • Alternative zum t-Test für unabhängige Gruppen
  • Testet die Hypothese, dass die mittleren Rangplätze der Gruppengleich sind
  • Der Vergleich der mittleren Rangplätze wird indirekt vorgenommen
  • Es ist unwichtig, welche Gruppe betrachtet wird
  • Es kann jeder Rangplatz einer Gruppe mit jedem Rangplatz der anderen Gruppe verglichen werden
• der Wilcoxon-Test?
  • Vorzeichen-Rang-Test
  • Alternative zum t-Test für abhängige Stichproben
  • Testet die Gleichheit der Rangsummen von positiven und negativen Differenzen
  • Rangplatzvergabe wie beim U-Test

Eine asymptotische Funktion ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen annähert.

• Skalenniveau
  • Ordinalskalenniveau -> nichtparametrische Tests
  • Mindestens Intervallskalenniveau -> beides möglich
• Voraussetzungen
  • Parametrische Verfahren haben strenge Regeln
    • NV
    • Varianzhomogenität
• Effizienz
  • Voraussetzungen erfüllt -> parametrische Tests effizienter
  • Voraussetzungen nicht erfüllt -> nichtparametrische Tests häufig effizienter, v.a. aber bei kleinen Stichproben
• Robustheit
  • Bei Verletzung von mehr als einer Voraussetzung -> nichtparametrische Tests
• Existenz einer Alternative
  • Es gibt nicht für jeden parametrischen Test eine nichtparametrische Alternative

Die Regression basiert auf der Korrelation

Produkt-Moment-Korrelation -> intervall x intervall

Punkt-biseriale-Korrelation -> intervall x nominal (dichotom)

Biseriale-Korrelation -> intervall x nominal (künstlich dichotomisiert)

Spearman-Rangkorrelation -> ordinal x ordinal

Biseriale Rangkorrelation -> ordinal x nominal (dichotom)

Tetrachorische Korrelation -> nominal (künstlich dichotom) x nominal (künstlich dichotom)

Phi-Koeffizient -> nominal (dichotom) x nominal (dichotom)

t-Test: Testet die Korrelation gegen eine Populationskorrelation = 0

z-Test: Vergleich zu einer anderen empirischen Korrelation oder Populationskorrelation gleich und ungleich 0

Stellt Symmetrie her

Voraussetzung für t-Test ist, dass die Stichprobenmittelwerte normalverteilt sind. Nach dem Zentralen Grenzwertsatz nähert sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit steigendem Stichprobenumfang einer Normalverteilung an.

-> Ab einer gewissen Stichprobengröße, kann man den t-Test verwenden.

Bei der einfachen Regression ist der Test für b_yx nichts anderes als der t-Test für Korrelationskoeffizienten.

Die Test für r, b_yx und r² sind bei der einfachen linearen Regression äquivalent.

Da b_yx und r² in diesem Fall nur Transformationen von r sind.

Eine auf Daten basierende Simulationsmethode, die zur statistischen Inferenz genutzt werden kann

Es werden wiederholt Stichproben mit Zurücklegen gezogen, um Stichproben mit der gleichen ursprünglichen Größe zu simulieren.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Hypothese (gegeben den Daten)

p(H|D) = [p(D/H)p(H)] / p(D)

         -> H = Hypothese

         -> D = Daten

Hintergrundwissen kann berücksichtigt werden

p(H|D) = Posteriors ≈ Priors * Daten

Vorgehen

1. Auswahl des Priors
2. Beobachtete Evidenz
3. Schätzung der Posteriorverteilung

Die Menge der Paare von Merkmalsausprägungen und Besetzungshäufigkeiten wird als Häufigkeitsverteilung bezeichnet. (=alle Häufigkeiten zusammen)

Tabellarisch

Graphisch (Säulendiagramme/Balkendiagramme)

Nominalskalierte Merkmale

         -> Kreisdiagramme, Stab-, Säulen- und Balkendiagramme

         -> Balken grenzen nicht anneinander, Anordnung ist beliebig

Ordinalskalierte Merkmale

         -> Stab-, Säulen- und Balkendiagramme

         -> Balken grenzen nicht aneinander, Ordnung auf der Abszisse ist festgelegt

Mindestens intervallskalierte Merkmale

-> Säulendiagramme, bei denen die Balken direkt aneinander angrenzen (Histogramm)

Wie viele Personen in einer Stichprobe haben einen Messwert, der kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist?

Kumulierte Häufigkeiten

         -> Absolute kumulierte Häufigkeit

                  kn_j = kn(a_j) = n(X ≤ a_j) = Σᵏ_j=1 n_j

-> Relative kumulierte Häufigkeit

         kh_j = kh(a_j) = h(X ≤ a_j) = Σᵏ_j=1 n_j /n

Ordinalskalenniveau nötig

Drücken jeweils eine bestimmte Eigenschaft einer Verteilung in einer einzigen Zahl aus

Lagemaße -> Zentrale Tendenz – Welches ist ein repräsentativer Wert für eine Verteilung

• Arithmetisches Mittel (Mittelwert = Strich über x)
• Median/Quantile
• Modalwert (der Wert der am häufigsten vorkommt)

Streuungsmaße -> Wie breit oder eng ist eine Verteilung?

• Standardabweichung (√Varianz = s)
• Varianz (s ²)
• Interquartilabstand (QA)

Um eine Verteilung hinreichend zu charakterisieren. Lage- und Streuungsmaße sagen nur zusammen etwas über die tatsächliche Häufigkeitsverteilung aus.

Grafische Darstellung

         -> Box-(Whisker-)plot

         -> Fehlerbalken

Kennwerte auf Intervallskalenniveau, sind von der gewählten Einheit abhängig. -> Einfluss auf das Ergebnis -> Standardisierung sinnvoll

Geben in einer einzelnen Zahl die Richtung und die Stärke eines Zusammenhangs (einer bestimmten Form) zwischen zwei Variablen an.

Produkt-Moment-Korrelation        -        intervall x intervall

Phi-Koeffizient                              -        nominal x nominal

Kendalls Tau,                               -        ordinal x ordinal

Spearmans Rangkorrelation

Die Produkt-Moment-Korrelation entspricht dem mittleren Kreuzprodukt der z-Werte

Ausreißerwerte

Einschränkung der Variabilität

Zusammenfassung heterogener Stichproben

Daher vor der Berechnung:

Streudiagramm

Univariate Statistiken

Konfundierende Variablen

• Ein Zusammenhangsmaß für zwei dichotome nominalskalierte Variablen
• Chi-Quadrat, wobei die Stichprobengröße beachtet wird
• \(\sqrt{\frac{χ^2}{N}}\)

Zusammenhangsmaße, die die Korrelation zwischen zwei mindestens ordinalskalierten Variablen bestimmen.

Kandells Tau

Tabelle anfertigen Daten nach Variable X ordnen und auszählen wie oft Variable Y damit übereinstimmt.

Spearmans Rangkorrelation

Wie Kandells Tau, aber mit Differenz

Größere Differenz -> kleinere Korrelation

Vorhersage der Werte einer Variablen durch die Werte einer anderen Variablen.

Berechnung von vorhergesagten Werten für das Kriterium auf Grundlage des Prädiktors

Misst den Einfluss einer Variable X auf die „Zielvariable“ Y. Einfluss = die quantitative Veränderung von Y, wenn sich X um eine Einheit ändert.

Bei linearem Regressionsmodell, ist diese Veränderung immer gleich, egal welches Niveau X aufweist.

QS_Fehler(a_yx,b_yx) = Σⁿ_i=1 e²_i = Σⁿ_i=1(y_i – ŷ_i)² = Σⁿ_i=1[y_i – (a_yx + b_yx * x_i)] ² → min

         Nullstellen der 1. Ableitung partiell differenziert nach b_yx  und a_yx

         2. Ableitung für die Nullstellen positiv

Richtung des Zusammenhangs

Einfluss auf das Regressionsgewicht