Analysis Folgen &Konvergenz
Sätze und Lemmas asu Vorlesung
Sätze und Lemmas asu Vorlesung
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Lernkarten
Grenzwert
Sein (an)n eine komplexwertige Folge und A ELemet C. (an)n knovergiert gegen A, wenn es für jedes Epsylon grösser Nulle in N Element N gibt, für welches gilt: |A-an| < Epsyslon für alle n >N.
Eindeutigkeit des Grenzwertes
Der Grenzwert einer konvergenten Folge (an)n
ist eindeutig bestimmt.
Beschränktheit
Eine konvergente Folge ist beschränkt.
Rechnen mit Grenzwerten
lim (an + bn) = lim an+ lim bn
lim (an*bn) = lim an * lim bn
für lim bn nicht 0:
lim (an/bn) = lim an /lim bn == an/bn für hinreichend grosse an und bn
Limes von Abbildung einer Folge
Sei D Untermenge von C und f D-> C stetig.
falls an eine Folge in D ist und limes an = A Element von D, dann gilt
lim f(an) = f (lim an) = lim (A)
Konvergenz von Teilfolgen
Falls (an)n in C konvergiert und (ank)k eine Teilfolge, so existiert ein Grenzwert mit
A = lim an = lim ank
Häufungspunkt
Sei (an)n eine Folge in C:
1) A ist ein HP der Folge
<=>
2) Es existiert eine Teilfolge (ank)k so das lim an = A
<=>
3) Für jedes Epsylon grösser 0 und N element N existiert ein n >= N, so dass |an-A| kleiner gleich Epsylon.
Cauchy Folge
Eine Folge (an)n in C ist eine Cauchy-Folge, falls es für
jedes Epsylon > 0 ein N el N gibt, so dass
|am -an| < Epsylon
für alle m > n> N.
Intuitiv ausgedrückt ist eine Cauchy-Folge also eine Folge, deren Folgenglieder für grosse
Indizes immer näher beieinanderliegen.
Konvergentz Cauchy Folge
Eine Konvergente Folge ist immer eine Cauchy Folge.
Eine Cauchy Folge ist Konvergent in R, muss aber nicht in anderen Räumen konvergent sein, da der Grenzwert evtl nicht in der Teilmenge liegt und darum die Folge nicht in konvergiert.
Konvergenz in C
eine Folge konvergiert in C, genau dann wenn:
(Re an)n gegen Re A konvergiert und
(Im an)n gegen Im A konvergiert.
Ungleichungen und Grenzwerte
Seien (an)n; (bn)n reelle Folgen mit
Grenzwerten A= lim an; bB= lim bn.
(i) Falls an <= bn für alle n el N, dann gilt auch A <= B.
Achtung: an ECHTKLEINER bn muss nicht zwingend => A echtkleiner B, kann auch gleich sein.
(ii) Falls A < B, dann existiert ein N el N, so dass an < bn für alle n N.
Sandwich Lemma
(an)n <= (bn)n <= (cn)n und A = lim an = lim cn
=> A= lim bn
Monotone Folgen
Sei (an)n eine reelle monotone Folge
(an)n ist beschränkt <=> (an)n ist konvergent
Limes Superior
lim sup = lim inf (ank)k
Mann nimmt das Supremum aller Folgenglieder. Das Infimum dieser neuen Folge ist der lim sup
Es gibt nur endliche viele an ausserhalt Limsup + Epsylong und Liminf - Epsylon
Analog lim inf
Lim sup(Lim inf unf HP
Für eine beschränkte reelle Folge gilt
1) für jede konvergente Teilfolge gilt:
lim inf an <= lim ank <= lim sup an
2) Es gibt eine Konvergente Teilfolge ank mit
lim ank = lim sup an
Analog lim inf
Somit sind lim sup und lim inf HP
lim sup/lim inf und Grenzwert
(an)n ist eine beschränkte reelle Folge
an konvergiert <=> lim sup an= lim inf an
Linearität lim sup
Lim sup ist nicht linear !!!
lim sup (an+bn) ist NICHT = lim sup an + lim sup bn
lim inf (-an) = -lim sup (an)
bestimmte divergenz
Für alles eps >0 E N el N A n>=N: an > 1/eps
divergenz gegen plus unendlich
uneigentlicher Grenzwert
