Signale und Systeme 1
Vorlesung an der TU Wien
Vorlesung an der TU Wien
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Cartes-fiches
Zeitliche Verschiebung: \(x(t-t_0)\)
Zeitliche Spiegelung
Zeitliche Skalierung \(x(at) \ \ , \ \ für \ a>0\)
Komplexe Signale - Darstellung mittels Real- und Imaginärteil
\(x(t)\ \ = \ \ x_R(t) + jx_I(t) \ \ = \ \ \Re \lbrace x(t)\rbrace + j\Im\lbrace x(t)\rbrace\)
Komplexe Signale - Berechnung Realteil
\(x_R(t) = \frac{1}{2} [x(t) + x^*(t)]\)
Komplexe Signale - Berechnung Imaginärteil
\(x_I(t) = \frac{1}{2j} [x(t) - x^*(t)]\)
Komplexe Signale - Darstellung mittels Polarform (Betrag und Phase)
\(x(t) = |x(t)| \cdot e^{j\angle x(t)}\)
Ein Signal heißt GERADE wenn gilt:
Ein Signal heißt UNGERADE wenn gilt:
Berechnung - Geraden Anteil eines Signals
\(x_g(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]\)
Berechnung - Ungerader Anteil eines Signals
\(x_u(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\)
Korrekte Zerlegung eines Signals in geraden und ungeraden Anteil:
\(\int\limits_{-T}^T x_u(t) \, \mathrm{d}t = \ ?\)
0
Komplexe Signale
Ein Signal heißt konjugiert gerade, wenn gilt:
Komplexe Signale
Ein Signal heißt konjugiert ungerade, wenn gilt:
Korrekte Zerlegung eines komplexen Signals in geraden und ungeraden Anteil:
Berechnung - Konjugiert gerader Anteil eines komplexen Signals
\(x_{g^*}(t) = \frac{1}{2}[x(t)+x^*(-t)]\)
Berechnung - Konjugiert ungerader Anteil eines komplexen Signals:
\(x_{g^*}(t) = \frac{1}{2}[x(t)-x^*(-t)]\)
Realteil von \(x_{g^*}(t)\) ist :
Imaginärteil von \(x_{g^*}(t)\) ist:
Realteil von \(x_{u^*}(t)\) ist:
Imaginärteil von \(x_{u^*}(t)\) ist:
\(\int\limits_{-T}^T x_{g^*}(t)\mathrm d t = \ ?\)
\(\int\limits_{-T}^T x_{u^*}(t)\mathrm d t = \ ?\)
Ein Signal heißt periodisch, wenn gilt:
Ein Signal heißt zeitbegrenzt, wenn gilt:
Ein Signal heißt linksseitg, wenn
Ein Signal heißt rechtsseitig, wenn
Ein Signal heißt kausal, wenn gilt:
\(x(t) = 0 \ \ \ für \ \ \ t <0\)
Ein Signal heißt antikausal, wenn gilt:
\(x(t) = 0 \ \ \ für \ \ \ t > 0\)
Ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt, bezeichnet man das Signal als ...
Kausale Signale - Beziehung zwischen geradem und ungeradem Anteil
Ein Signal heißt (wert) beschränkt, wenn gilt:
\(|x(t)| < M_x < \infty\)
Was ist ein kontinuierliches System?
Ein (zeit-) kontinuierliches System ist eine Abbildung \(\mathcal{H}\), die einem zeitkontinuierlichem Eingangssignal ein zeitkontiniuerliches Ausgangssignal zuordnet: \(y(t) = \mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace\).
Definition - Lineares System (Superpositionsprinzip)
\(\mathcal{H} \lbrace a_1x_1(t) + a_2x_2(t) \rbrace = a_1 \mathcal{H} \lbrace x_1(t)\rbrace + a_2 \mathcal{H} \lbrace x_2(t) \rbrace \ \ \ , \ \ \ a_1, a_2 \in \mathbb{R(C)}\)
Definition - Zeitinvariantes System:
\(y(t-t_0) = \mathcal{H} \lbrace x(t-t_0) \rbrace\)
Was bedeutet LTI - System?
Linear Time Invariant System
Ein System, das sowohl linear als auch zeitinvariant ist.
Definition - Kausales System
Hängt das Augangssignal zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_0\) nur von dem Verlauf des Eingangssignals bis einschließlich zu diesem Zeitpunkt ab, so bezeichnet man das System als kausal: \(y(t_0) = \mathcal{H} \lbrace x(t \le t_0) \rbrace\)
Definition - BIBO - Stabilität
Bounded Input - Bounded Output
Reagiert ein System auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem beschränkten Ausgangssignal, bezeichnet man das System als stabil:
\(|x(t)| < \infty \ \ \ \Rightarrow \ \ \ | \mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace| < \infty\)
Definition - Sprungfunktion \(\varepsilon (t)\)
\(\varepsilon(t) =\begin{cases} 1, \ \ \ t>0\\0, \ \ \ t<0 \end{cases} \)
Weitere Bezeichnungen: \(\sigma(t)\) oder \(\sigma_{-1}(t)\).
Für \(t=0\) ist die Sprungfunktion nicht definiert. Man wählt hier den Wert 0,5.
