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Flashcards
Def: (Fourierttransformierte von f)
Die Fouriertransformierte von \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\) ist gegeben durch:
\(f_1(k) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-i < k,x >}dx\)
und die inverse der Fouriertransformierten von f ist gegeben durch:
\(f_2(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(k)e^{i < k,x >} dk\)
Def: (Gauss-Funktionen)
\(f(x) = e^{- \frac{1}{2}|x|^2}\)
wobei gilt: \(|x|^2 = x_1^2 + \dots + x_n^2\)
Theorem: (Poissonsche Summationsformel)
für eine stetig diffbare Funktion f für die gilt: \(|f|,|f'| \leq \frac{C}{(1+x^2)}\) mit C>0 und sei \(g(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x + kL)\). Dann konvergiert g(x) gleichmässige auf [0,L] und g ist ebenfalls stetig diffabr. Zusätzlich gilt:
\(g(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x + kL) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} g_n e^{\frac{2 \pi i n x}{L}} = \sum_{n \in \mathbb{Z}}\frac{1}{L} f_1(\frac{2 \pi n}{L})e^{\frac{2 \pi i n x}{L}} \)
für x = 0 folgt daraus die Poissonsche Summationsformel
Def: (hermitsche Funktionen)
Sei n eine natürliche zahl, so definiert man die hermitschen Funktionen als
\(h_n = (-1)^n e^{\frac{1}{2}x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)
Satz: (Eigenfunktionen der Fouriertransformierten)
Die hermitschen Funktionen sind Eigenfunktionn der Fourier-Transformierten im eindimensionalen zum Eigenwert (-1)^n
Def: (Hermitsches Polynom)
\(H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)
Theorem: (Beziehung zwischen Hermitschen Polynom und hermitschen Funktionen)
Es gilt:
\(h_n(x) = H_n(x) e^{- \frac{1}{2}x^2}\)
Theorem: (Umkehrsatz)
\(f,f_1 \in L^1 \Rightarrow f_2 \circ f_1 = f \\f,f_2 \in L^2 \Rightarrow f_1 \circ f_2 = f\)
Insbesondere gilt:
\(f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n}f_1(k) e^{i < k,x >}dk\)
Satz: (Plancherel - Formel)
\(f,f_1 \in L^1 \Rightarrow f,f_1 \in L^2\) und weiter gilt:
\(||f||_2 = (2 \pi)^{\frac{-n}{2}} ||f||_2\)
Theorem: Die Fouriertransformierte ist eine lineare Abbildung und ist stets injektiv.
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