Laplace-Transformation
Die wichtigsten Zusammenhänge der Umwandlung von dem Zeit- in den Bildbereich
Die wichtigsten Zusammenhänge der Umwandlung von dem Zeit- in den Bildbereich
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Cartes-fiches
Definition der einseitigen Laplace-Transformation \(x(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace X(s)\)
\(X(s) = \mathcal{L}_I\{x(t)\} = \int^{\infty}_{0^-}{ x(t) e^{-st}}dt\)
Die allgemeine Form des Konvergenzgebietes einer Laplace-Transformierten ist ein Streifen paralell zur imaginären Achse der komplexen s-Ebene.
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = e^{at} \cdot \varepsilon(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = \frac{1}{s-a}\)
mit
\(\mathrm{Re}{ \{ s \} } > \mathrm{Re}{ \{ a \} }\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \delta(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = 1\)
mit
\(s \in \mathbb{C}\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \varepsilon(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = \frac{1}{s}\)
mit
\(Re\{s\} > 0\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \rho(t) = t \cdot \varepsilon(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = \frac{1}{s^2}\)
mit
\(Re\{s\} > 0\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \frac{t^m}{m!} e^{at} \cdot \varepsilon(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = \frac{1}{(s-a)^{m+1}}\)
mit
\(Re\{s\} > Re\{a\}\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \sin(\omega_0 t) \cdot \varepsilon(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\)
mit
\(Re\{s\} > 0\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \cos(\omega_0 t) \cdot \varepsilon(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}\)
mit
\(Re\{s\} > 0\)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
\(x(t) = \delta(t - t_0) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(X(s) = e^{-st_0}\)
mit
\(s \in \mathbb{C}\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Linearität?
\(c_1x_1(t) + c_2x_2(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace c_1X_1(s) + c_2X_2(s)\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Faltung?
\(x(t) * y(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace X(s) \cdot Y(s)\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Verschiebung?
\(x(t-t_0) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace e^{-st_0} \cdot X(s)\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Dämpfung?
\(e^{at} \cdot x(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace X(s-a)\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
lineare Gewichtung?
\(t \cdot x(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace {- \!\frac{d}{ds}X(s)}\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Differentiation?
\(\frac{d}{dt} x(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace s \cdot X(s)\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Integration?
\(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \frac{1}{s} \cdot X(s)\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
Skalierung?
\(x(at) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \frac{1}{|a|}\cdot X(\frac{s}{a})\)
Eigenschaften und Rechenregeln:
konjungiert komplexes Signal?
\(x^*(t) \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace X^*(s^*)\)
Spezielle Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation:
Verschiebung links?
\(x(t + t_0) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(e^{st_0} [\enspace X(s) - \int_{0^-}^{t_0}x(t) \cdot e^{-st} dt \enspace] \)
mit \(t_0 > 0\)
Spezielle Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation:
Verschiebung rechts?
\(x(t - t_0) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(e^{st_0} [\enspace X(s) + \int_{-t_0}^{0^-}x(t) \cdot e^{-st} dt \enspace] \)
mit
\(t_0 > 0\)
Spezielle Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation:
Differentiation?
\(\frac{d}{dt} x(t) \\ \enspace \circ \!\! -\!\!\! -\!\! \bullet \enspace \)
\(s \cdot X(s) - x(0^-)\)
