Zeitdiskrete Signale und Systeme
Lernunterlagen zur Vorlesung Signale und Systeme 2 an der TU Wien
Lernunterlagen zur Vorlesung Signale und Systeme 2 an der TU Wien
Signalenergie (aperiodischer Signale)
\(E_x = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\)
Kann bei unendlich langen Signalen einen unendlichen Wert oder einen endlichen Wert annehmen.
Parsevalsche Beziehung für periodische Signale
\(P_x =\dfrac{1}{N} \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} |c_k|^2\)
Sprungfunktion
\(x[n]=\sigma[n] = \begin{cases} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \\ \end{cases} \)
reellwertiges, unendlich langes Signal aufspalten in geraden und ungeraden Anteil
\(x[n] = x_g[n] + x_u[n]\\x_g[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[-n])\\x_u[n] = \frac{1}{2} (x[n] - x[-n])\)
Symmetrieeigenschaften Fourierreihendarstellung - ungerade Periodendauer N
\(c_0 \ \ \ \ reell \\ c_k = c^*_{N-k} \ , \ \ \ \ k = 1,2,..., \frac{N-1}{2}\)
\(x[n] = c_0 +2 \mathcal{Re} \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}} c_k \ e^{j \frac{2\pi}{N}kn} \right\}\)
Gaußförmiger Impuls
\(x[n] = e^{-\alpha n^2}\)
Mittlere Signalleistung (aperiodische Signale)
\(P_x = \lim_{L \to \infty} \frac{1}{2L+1} \displaystyle\sum_{n=-L}^{L} |x[n]|^2\)
gerade Signale
Symmetrisch bezüglich \(n = 0\)
Definition: \(x[-n] = x[n]\)
Zeitverschiebung
Signalvoreilung: \(x[n+k] \ , \ k>0\)
\(x[0]\) wird an den Zeitpunkt \(n = -k\) verschoben
Signalverzögerung: \(x[n-k]\ , \ k >0 \)
\(x[0]\) wird an den Zeitpunkt \(n =k\) verschoben
Vorteile Fourierreihendarstellung periodischer, zeitdiskreter Signale
Einsimpuls
\(x[n] = \delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \\ \end{cases} \)
Zeitinversion
x[-n]
Exponentialfunktion
\(\begin{equation} x[n]= \begin{cases} a^n & n \geq 0 \\0 & n < 0 \\ \end{cases} \end{equation}\)
Lineare Systeme - Impulsantwort
\(h[n,k] = \mathcal{T} \lbrace \delta[n-k] \rbrace\)
ungerade Signale
Antisymmetrisch zum Nullpunkt \(n = 0\)
Definition: \(x[-n] = -x[n]\)
Einsimpuls dargestellt durch Sprungfunktion
\(\delta[n] = \sigma[n] - \sigma[n-1]\)
Symmetrieeigenschaften Fourierreihendarstellung - gerade Periodendauer N
\(c_0, c_{N/2} \ \ \ \ reell \\ c_k = c^*_{N-k} \ , \ \ \ \ k = 1,2,..., \frac{N}{2}-1\)
\(x[n] = c_0 + c_{N/2} (-1)^n + 2 \mathcal{Re} \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}-1} c_k \ e^{j \frac{2\pi}{N}kn} \right\}\)
Fourierreihendarstellung für zeitdiskrete, periodische Signale
\(x[n] = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} c_k \ e^{j \frac{2\pi}{N}kn} \ , \ n = 0,1,..., N-1\)
\(c_k = \dfrac{1}{N} \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \ e^{-j \frac{2\pi}{N}kn} \ , \ k = 0,1,..., N-1\)
Sprungfunktion dargestellt durch Einsimpuls
\(\sigma[n] = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]\)
Komplexe Exponentialschwingung
\(x[n] = e^{j\Theta_0n} = cos(\Theta_0n) + j \ sin(\Theta_0n) \)
komplexwertig, unendlich langes Signal aufspalten in geraden und ungeraden Anteil
\(x[n] = x_{cs}[n] + x_{ca}[n]\\x_{cs}n] = \frac{1}{2} (x[n] + x^*[-n])\\x_{ca}[n] = \frac{1}{2} (x[n] - x^*[-n])\)
Gibbsches Phänomen
Zeitkontinuierlicher Fall:
Bei Signalen mit Sprungstellen tritt an diesen Stellen eine Abweichugn in Form von Überschwingen auf, das auch bei unendlich vielen Reihengliedern nicht verschwindet.
Zeidiskreter Fall:
Der Effekt wird hier ebenfalls beobachtet, verschwindet allerdings wenn alle Reihenglieder in der Fourierreihe vorhanden sind. Sprungstellen bei periodischen, zeitdiskreten Signalen werden also exakt dargestellt.
Lineare Systeme - Zusammenhang Eingangs- und Ausgangssignal
\(x[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]\)
\(\delta\)-Puls (periodische Signale)
\( x[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n + kN] = \begin{cases} 1 & n = 0, \pm N, \pm 2N, \pm 3N,...\\ 0 & sonst \\ \end{cases}\)
Lineare Systeme - Superpositionsprinzip
\(y[n] = \mathcal{T} \lbrace ax_1[n] + bx_2[n] \rbrace = a\mathcal{T} \lbrace x_1[n]\rbrace+b\mathcal{T}\lbrace x_2[n]\rbrace\)
Harmonische Exponentialschwingung
\(x[n] = e^{j2\frac{\pi}{N}kn} \ , \ k = 0,1,...N-1, \forall n\)
Die Idee der Fourierreihendarstellung
Zeitinvariante Systeme - Impulsantwort
\(h[n-k] = \mathcal{T} \lbrace \delta [n-k]\rbrace\)
Bezeichnung für Systeme mit unendlicher bzw. endlicher Impulsantwort
Infinite Impulse Response Duration Filter ( IIR - Filter )
&
Finite Impulse Response Duration Filter ( FIR - Filter )
Faltungssumme
\(y[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \ h[n-k] = \displaystyle\sum_{k=\infty}^{\infty} x[n-k] \ h[k]\)
Zusammenschaltung linearer, zeitinvarianter Systeme - Parallelschaltung
\(h[n] = h_1[n] + h_2[n]\)
Zusammenschaltung linearer, zeitinvarianter Systeme - Kettenschaltung
\(h[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_1[k] \ h_2[n-k] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_1[n-k] \ h_2[k]\)
Gesamtimpulsantwort - Bedingung BIBO-stabiles System
\(\displaystyle\sum_{k= - \infty}^{\infty} |h[k]| < \infty\)
Kausalität - Eigenschaft
Bei kausalen Systemen eilt die Systemantwort der Systemanregung NICHT voraus.
Impulsantwort kausaler Systeme
\(h[n] = 0 \ \ \ \ für \ n<0 \)
Vorteile der Beschreibung von zeitdiskreten LTI Systemen im Frequenzbereich
Übertragungsfunktion (Eingeschwungener Zustand)
\(H(e^{j\Theta}) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \ e^{-j\Theta k}\) (enspricht der Fouriertransformation von h[n])
Inverse Fouriertransformation
\(x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm{X}(\mathrm{e}^{j\Theta}) \ \ \mathrm{e}^{j\Theta n} \ \ \mathrm{d}\Theta = \mathcal{FT^{-1}} \lbrace \mathrm{X} ( \mathrm{e}^{j\Theta})\rbrace\)
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Lernkarten
Signalenergie (aperiodischer Signale)
\(E_x = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\)
Kann bei unendlich langen Signalen einen unendlichen Wert oder einen endlichen Wert annehmen.
Parsevalsche Beziehung für periodische Signale
\(P_x =\dfrac{1}{N} \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} |c_k|^2\)
Sprungfunktion
\(x[n]=\sigma[n] = \begin{cases} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \\ \end{cases} \)
reellwertiges, unendlich langes Signal aufspalten in geraden und ungeraden Anteil
\(x[n] = x_g[n] + x_u[n]\\x_g[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[-n])\\x_u[n] = \frac{1}{2} (x[n] - x[-n])\)
Symmetrieeigenschaften Fourierreihendarstellung - ungerade Periodendauer N
\(c_0 \ \ \ \ reell \\ c_k = c^*_{N-k} \ , \ \ \ \ k = 1,2,..., \frac{N-1}{2}\)
\(x[n] = c_0 +2 \mathcal{Re} \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}} c_k \ e^{j \frac{2\pi}{N}kn} \right\}\)
Gaußförmiger Impuls
\(x[n] = e^{-\alpha n^2}\)
Mittlere Signalleistung (aperiodische Signale)
\(P_x = \lim_{L \to \infty} \frac{1}{2L+1} \displaystyle\sum_{n=-L}^{L} |x[n]|^2\)
gerade Signale
Symmetrisch bezüglich \(n = 0\)
Definition: \(x[-n] = x[n]\)
Zeitverschiebung
Signalvoreilung: \(x[n+k] \ , \ k>0\)
\(x[0]\) wird an den Zeitpunkt \(n = -k\) verschoben
Signalverzögerung: \(x[n-k]\ , \ k >0 \)
\(x[0]\) wird an den Zeitpunkt \(n =k\) verschoben
Vorteile Fourierreihendarstellung periodischer, zeitdiskreter Signale
Einsimpuls
\(x[n] = \delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \\ \end{cases} \)
Zeitinversion
x[-n]
Exponentialfunktion
\(\begin{equation} x[n]= \begin{cases} a^n & n \geq 0 \\0 & n < 0 \\ \end{cases} \end{equation}\)
Lineare Systeme - Impulsantwort
\(h[n,k] = \mathcal{T} \lbrace \delta[n-k] \rbrace\)
ungerade Signale
Antisymmetrisch zum Nullpunkt \(n = 0\)
Definition: \(x[-n] = -x[n]\)
Einsimpuls dargestellt durch Sprungfunktion
\(\delta[n] = \sigma[n] - \sigma[n-1]\)
Symmetrieeigenschaften Fourierreihendarstellung - gerade Periodendauer N
\(c_0, c_{N/2} \ \ \ \ reell \\ c_k = c^*_{N-k} \ , \ \ \ \ k = 1,2,..., \frac{N}{2}-1\)
\(x[n] = c_0 + c_{N/2} (-1)^n + 2 \mathcal{Re} \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}-1} c_k \ e^{j \frac{2\pi}{N}kn} \right\}\)
Fourierreihendarstellung für zeitdiskrete, periodische Signale
\(x[n] = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} c_k \ e^{j \frac{2\pi}{N}kn} \ , \ n = 0,1,..., N-1\)
\(c_k = \dfrac{1}{N} \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \ e^{-j \frac{2\pi}{N}kn} \ , \ k = 0,1,..., N-1\)
Sprungfunktion dargestellt durch Einsimpuls
\(\sigma[n] = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]\)
Komplexe Exponentialschwingung
\(x[n] = e^{j\Theta_0n} = cos(\Theta_0n) + j \ sin(\Theta_0n) \)
komplexwertig, unendlich langes Signal aufspalten in geraden und ungeraden Anteil
\(x[n] = x_{cs}[n] + x_{ca}[n]\\x_{cs}n] = \frac{1}{2} (x[n] + x^*[-n])\\x_{ca}[n] = \frac{1}{2} (x[n] - x^*[-n])\)
Gibbsches Phänomen
Zeitkontinuierlicher Fall:
Bei Signalen mit Sprungstellen tritt an diesen Stellen eine Abweichugn in Form von Überschwingen auf, das auch bei unendlich vielen Reihengliedern nicht verschwindet.
Zeidiskreter Fall:
Der Effekt wird hier ebenfalls beobachtet, verschwindet allerdings wenn alle Reihenglieder in der Fourierreihe vorhanden sind. Sprungstellen bei periodischen, zeitdiskreten Signalen werden also exakt dargestellt.
Lineare Systeme - Zusammenhang Eingangs- und Ausgangssignal
\(x[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]\)
\(\delta\)-Puls (periodische Signale)
\( x[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n + kN] = \begin{cases} 1 & n = 0, \pm N, \pm 2N, \pm 3N,...\\ 0 & sonst \\ \end{cases}\)
Lineare Systeme - Superpositionsprinzip
\(y[n] = \mathcal{T} \lbrace ax_1[n] + bx_2[n] \rbrace = a\mathcal{T} \lbrace x_1[n]\rbrace+b\mathcal{T}\lbrace x_2[n]\rbrace\)
Harmonische Exponentialschwingung
\(x[n] = e^{j2\frac{\pi}{N}kn} \ , \ k = 0,1,...N-1, \forall n\)
Die Idee der Fourierreihendarstellung
Zeitinvariante Systeme - Impulsantwort
\(h[n-k] = \mathcal{T} \lbrace \delta [n-k]\rbrace\)
Bezeichnung für Systeme mit unendlicher bzw. endlicher Impulsantwort
Infinite Impulse Response Duration Filter ( IIR - Filter )
&
Finite Impulse Response Duration Filter ( FIR - Filter )
Faltungssumme
\(y[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \ h[n-k] = \displaystyle\sum_{k=\infty}^{\infty} x[n-k] \ h[k]\)
Zusammenschaltung linearer, zeitinvarianter Systeme - Parallelschaltung
\(h[n] = h_1[n] + h_2[n]\)
Zusammenschaltung linearer, zeitinvarianter Systeme - Kettenschaltung
\(h[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_1[k] \ h_2[n-k] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_1[n-k] \ h_2[k]\)
Gesamtimpulsantwort - Bedingung BIBO-stabiles System
\(\displaystyle\sum_{k= - \infty}^{\infty} |h[k]| < \infty\)
Kausalität - Eigenschaft
Bei kausalen Systemen eilt die Systemantwort der Systemanregung NICHT voraus.
Impulsantwort kausaler Systeme
\(h[n] = 0 \ \ \ \ für \ n<0 \)
Vorteile der Beschreibung von zeitdiskreten LTI Systemen im Frequenzbereich
Übertragungsfunktion (Eingeschwungener Zustand)
\(H(e^{j\Theta}) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \ e^{-j\Theta k}\) (enspricht der Fouriertransformation von h[n])
Inverse Fouriertransformation
\(x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm{X}(\mathrm{e}^{j\Theta}) \ \ \mathrm{e}^{j\Theta n} \ \ \mathrm{d}\Theta = \mathcal{FT^{-1}} \lbrace \mathrm{X} ( \mathrm{e}^{j\Theta})\rbrace\)
