Allgemeine Mechanik - Grundlagen Physik I
Bezugssysteme
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Def: (Zustandsraum)
Der Raum aller möglichen Werte der Freiheitsgrade \(q^k\)
Satz: (Bewegungsgesetz)
\(\vec{F_k}(t) = \frac{d}{dt} \vec{p_k}(t) = m_k \vec{a}_k(t)\)
Satz: Newtonsche Prinzip der Determiniertheit
Es folgt aus dem Existenz und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf das für kleine t und Anfangsbedingungen t_0 sich die Bewegungsgleichungen eindeutig lössen lasen, unter den bekannten schwachen Annahmen an F
Def: (Mechansiches System)
Eiin System mit N freiheitsgraden \(q^k(t)\) nennen wir ein mechanisches System, falls es Bewegungslgeichen der form genügt:
\(\ddot{q}^k(t) = a^k(q^i(t);\dot{q}^i(t);t)\)
Def: (Inertialsystem)
In einem Inertialsystem bewegt sich ein freies Teilchen geradlinig und gleichförmig
Def: (Scheinkräfte)
Physikalische Kärfte lassen sich einem bestimmten physikalischen Phänomen zuordnen. Als Scheinkräfte bezeichnet man hingegen Biräge zur Beschleunigung der Korrdinaten die lediglich von der Wahl des Bezugssystems herrühren. Per Konstruktion sind Scheinkräfte immer proportional zur Masse des entsorechenden Teilchens.
Def: (Ereignisraum)
Der Raum der Ereisnisse \((t,\vec{x})\) ist somit \(\mathbb{R}^{1+3}\)
Def: (Galilei-Transformation)
\(t' = \lambda t + a\)
\(\vec{x}' = R \vec{x} + \vec{v}t+\vec{b}\)
wobei gilt: \(\lambda \in \{ -1, 1\} \quad R \in O(3) \quad v,b \in \mathbb{R}^3\)
Diese Abbildungen bilden wiederum eine Gruppe, die Galilei-Gruppe
Eigenschaften von Galilei-Transformationen
- Galileitransformationen erhalten den Zeitabstand
- für t = t1 erhalten sie den Raumabstand. Ist t ungleich t_1 so ist der räumliche Abstand nicht definiert.
Def: (Allgemeine Transformation zwischen Bezugssystemen) - (Euklidische Transformation)
\(t' = \lambda t+a\)
\(\vec{x}' = R(t)\vec{x} + \vec{b}(t)\)
Diese Transformationen erlauben es uns insbesondere, das räumliche Bezugssystem in zeitabhängier Weise zu rotieren und zu verschieben.
Satz: Galileische Relativitätsprinzip
Das Galileische Relativitätsprinzip besagt, dass alle Naturgesetzte invariant sind unter der Galilei-Transformation zwischen Inertialsystemen. Bewegungslgiechungen eines isolierten mechanischen Systems sind also in allen Inertialsystemen identisch und damit sind alle Inertialsysteme vollkommen gleichberechtigt.
Def: (Potentiale)
Für konservatife Kraftfelder exisitert eine skalare Funktion, genannt Potential so das gilt:
\(\vec{F_k} = - grad(V(\vec{x_1}, \dots,\vec{x_n}))\)
Def: (Schwerpunkt des Systems)
\(\vec{X} := \sum_{k=1}^n \frac{m_k}{M}\vec{x}_k\)
Def:(Gesamtmasse des Systems)
\(M := \sum_{k = 1}^n m_k\)
Satz: Impulssatz
\(\frac{d}{dt} \vec{P} = \vec{F}\)
Def: (Gesamtdrehimpuls L)
\(L = \sum_{k = 1}^n \vec{x_k} \times\vec{p_k}\)
Def: (Drehmoment)
\(M := \sum_{k = 1}^n \vec{x_k} \times \vec{F_k} = \frac{d}{dt}L\)
Def: (kinetische Energie T)
\(T := \sum_{k = 1}^n \frac{1}{2}m_k \dot{\vec{x_k}}^2\)
Def: (Leistung P)
\(P:= \sum_{k = 1}^n \dot{\vec{x_k}} \cdot \vec{F_k}\)
Def: (Coriolis-Kraft)
\(F_c = -2m \vec{\omega} \times \dot{\vec{y}}\)
wobei y die Koordinaten im neuen Bezugssystem sind
Def: (Zentrifugalkraft)
\(F_Z = -m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{y})\)
Def: (Führungskraft)
\(F_F = -m\vec{a}\)
