Analysis II für TPH
Analysis II (TUW) Differentialrechnung in mehreren Variablen, Funktionenräume, komplexe Funktionentheorie
Analysis II (TUW) Differentialrechnung in mehreren Variablen, Funktionenräume, komplexe Funktionentheorie
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Cartes-fiches
Wie lauten die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen und was besagen sie?
\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\) \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \quad\)
Sind die Cauchy-Riemann'schen DGL erfüllt und u(x,y) und v(x,y) in einer Umgebung eines Punktes stetig differenzierbar, dann ist f differenzierbar an diesem Punkt.
Eine Funktion, die in einer Umgebung der Anschlussstelle \(z_0\) durch ihre Taylorreihe dargestellt wird, nennen wir [...] an \(z_0\).
analytisch
Was trifft auf die folgenden komplexen Funktionen zu?
Wie berechnet man den k-ten Nebenzweig der komplexen Logarithmusfunktion?
\(\ln_k z:=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)\)
In einem Funktionenraum bedeutet gleichmäßige Konvergenz Konvergenz bezüglich welcher Norm?
Maximumnnorm oder auch Supremum-Norm
\(||x||_\infty:=\displaystyle \max_{t\in[a,b]}|x(t)|\)
Was ist ein normierter Raum und welche Eigenschaften muss diese Norm erfüllen?
Definitheit: \(||x||\geq0 \quad\) und \(||x||=0 \iff x=0\)
Homogenität: \(\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|\)
Dreiecksungleichung: \(\|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|\)
Ein mit einer Norm versehener Raum heißt normierter Raum
Ein normierter Raum \((X,\|\cdot\|)\) heißt [...], wenn jede in X verlaufende Cauchyfolge bezüglich der Norm\(\|\cdot\|\) in X konvergent ist, dh. wenn ihr Grenzwert \(\in X\) ist.
vollständig
Ein vollständiger normierter Raum heißt
Banachraum
Seien \((X,\|\cdot\|_X)\) und \((Y,\|\cdot\|_Y)\) normierte Räume über K und \(f:X\to Y\) eine lineare Abbildung.
f heißt beschränkt, wenn ein K > 0 existiert mit:
Was ist die Abbildungsnorm
\(\|f(x)\|_Y \leq K\|x\|_X \quad \) \(\forall x \in X\)
Die kleinstmögliche dieser Konstanten K heißt die (Abbildungs-)Norm von f:
\(\|f\|=\|f\|_{Y\leftarrow X}:=\) \(\displaystyle \sup_{x \neq 0}\frac{\|f(x)\|_Y}{\|x\|_X}=\) \(\displaystyle \sup_{\|x\|_X=1}\|f(x)\|_Y\)
(Verallgemeinerung der Matrixnorm)
Welche Aussagen treffen auf Abbildungen in Funktionenräumen zu?
Sei \(f:X\to Y\) eine lineare Abbildung
Was ist die Idee bei der Vervollständigung eines normierten Raumes?
Sei \((X,\|\cdot\|_X)\) ein nicht vollständiger normierter Raum.
1) betrachte alle Cauchyfolgen in X, die nicht gegen ein \(x\in X\) konvergieren. Zwei Cauchyfolgen heißen äquivalent, wenn gilt: \((x_\nu) \sim (y_\nu)\): \(\displaystyle \lim_{\nu \to \infty}\|x_\nu-y_\nu\|_X=0\) Man erhält Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen, Zerlegung der Menge aller dieser Folgen in disjunkte Teilmengen \(\overline x\)
2) Diese Elemente \(\overline x\) werden zu dem Raum X hinzugenommen.
3) Nun soll noch die Norm nach \(\overline X\) fortgesetzt werden. Man wählt einen Repräsentanten aus einer Klasse aus und definiert die Norm als \(\|\overline x\|_{\overline X}:=\displaystyle\lim_{\nu\to\infty}\|x_\nu\|_X\)
Wie lautet der Fixpunktsatz von Banach?
Voraussetzungen und Aussage
Sei \((X,\|\cdot\|)\) ein Banachraum, \(D\subseteq X\) eine abgeschlossene Teilmenge von X und \(F: D\to D\) eine kontrahierende Abbildung von D in sich (dh. \(F(D)\subseteq D\) und
\(\|F(x)-F(\tilde x)\|\leq\rho\|x-\tilde x\|\quad\) \(\forall x,\tilde x \in D\) mit einer Lipschitzkonstante \(\rho \in [0,1)\) )
Dann gilt:
- F hat genau einen Fixpunkt \(x^* \in D\) mit \(x^*=F(x^*)\)
- Für einen beliebigen Startwert \(x_0 \in D\) konvergiert die Fixpunktiteration \(x_{\nu+1}:=F(x_\nu)\) gegen \(x^* \) und zwar mit der Kontraktionsrate \(\rho\): \(\|x_{\nu+1}-x^*\|\leq\rho\|x_n-x^*\|\)
Seien p und q reelle Polynome mit \(\text{Grad }p+2\leq\text{Grad }q\). p besitze keine reellen Nullstellen.
Wie kann \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{p(x)}{q(x)}dx\) mithilfe der komplexen Analysis berechnet werden?
\(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{p(x)}{q(x)}dx=\) \(\displaystyle 2\pi i\sum_{k=0}^n \text{Res}_{z=z_k}\frac{p(z)}{q(z)}\)
Wie lautet der Satz von Picard?
Auf einem Intervall [0,T] der Länge \(T\lt \frac 1L\) existiert eine eindeutige Lösung \(x^*(t)\) des Anfangswertproblems: \(x'(t)=f(t,x(t)),\quad\) \(t\in[0,T],\quad x(0)=x_0\) f hänge Lipschitz-stetig von x ab mit Lipschitzkonstante L.
Dann konvergiert die Fixpunktiteration auf [0,T] gegen \(x^*\)
\(x_0(t)=x_0\)
\(x_{\nu+1}(t)=x_0+\) \(\displaystyle \int_0^tf(s,x_\nu(s))ds\)
mit \(\|x_{\nu+1}-x^*\|_\infty \leq\) \(LT\|x_\nu-x^*\|_\infty\), wobei \(LT \lt 1\)
Sei \(F:D\subseteq(X,\|\cdot\|_X)\to (Y,\|\cdot\|_Y)\) eine Abbildung zwischen normierten Räumen. F heißt an der Stelle x [...], falls eine beschränkte lineare Abbildung \(\phi:(X,\|\cdot\|_X)\to (Y,\|\cdot\|_Y)\) existiert, sodass gilt
\(F(x+h)=F(x)+\phi(h;x)+r(h)\) mit \(\|r(h)\|_Y=o(\|h\|_X)\)
\(\phi(h;x)=:\mathcal DF(x)(h)\)
linear approximierbar
Sei M Teilmenge des normierten Raumes X. Die Menge aller Linearkombinationen von endlich vielen Elementen aus M heißt [...] von M
lineare Hülle
Welche Aussagen treffen zu?
Sei U ein abgeschlossener Unterraum eines normierten Raumes X. Dann heißt eine linear unabhängige Menge \(B\subseteq U\) mit \(U=\overline{\mathcal L(B)}\) [...] von U
Basis
Ein normierter Raum X heißt [...], wenn er eine abzählbare, überall dichte Teilmenge M besitzt, das bedeutet: \(M\subseteq X\) mit \(\overline M = X\)
separabel
Wie ist auf einem Funktionenraum die Norm \(\|x\|_1\) Norm definiert?
Ist dieser Raum \((C[a,b],\|\cdot\|_1)\) ein Banachraum?
\(\|x\|_1:=\displaystyle \int_a^b|x(t)|dt\)
Der Raum ist kein Banachraum (nicht vollständig)
Die Vervollständigung des Raumes ist der Banachraum der absolut integrierbaren Funktionen: \((L^1(a,b),\|\cdot\|_1)\)
Wie nennt man die durch die Lösung des Bestapproximationsproblems definierte lineare Abbildung?
Welche Eigenschaften besitzt sie?
Orthogonalprojektor auf U entlang von \(U^\perp\)
Idempotenz: \(P(Px)=Px=u=Pu\) bzw \(P^2=P\)
Symmetrie, Selbstadjungiertheit: \(Px\cdot y=x\cdot Py, \quad\) \(P=P^T\)
Welche Eigenschaften muss ein inneres Produkt erfüllen?
Ein inneres Produkt auf X ist eine Abbildung \(\langle\cdot,\cdot\rangle:X \times X\to \mathbb K\) mit folgenden Eigenschaften:
- Linearität im ersten Argument
- Hermite-Eigenschaft: \(\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}\)
- Definitheit: \(\langle x,x\rangle \geq0\) und \(\langle x,x\rangle =0 \iff x=0\)
Welche Aussagen treffen auf endlichdimensionale Vektorräume zu?
Welche Aussagen treffen auf einen Vektorraum mit innerem Produkt zu?
Ein vollständiger Raum mit innerem Produkt heißt
Hilbertraum
Wie ist der Hilbertraum \(\mathit l^2\) der quadratisch summierbaren Folgen definiert? Wie das innere Produkt und die Norm?
\(\mathit l^2 :=\)\(\left\{ x=(x_\nu)_{\nu\in\mathbb N}:\displaystyle \sum_{\nu=1}^\infty|x_\nu|^2\lt \infty\right\}\) mit dem inneren Produkt: \(\langle x,y\rangle:=\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty x_\nu y_\nu\)
Wie ist das innere Produkt im Hilbertraum \(L^2(a,b)\) der quadratisch integrierbaren Funktionen definiert?
\(\langle x,y\rangle:=\displaystyle\int_a^b x(t)y(t)dt\)
Was trifft auf den Raum \(X=L^2(a,b)\) zu?
Sei \((X,\langle \cdot,\cdot\rangle)\) ein Raum mit innerem Produkt und \(b \in X\) fest.
Es sei \(f(x):=\langle x,b\rangle\)
Was trifft auf f zu?
Wie lautet der orthogonale Projektionssatz für Hilberträume?
Sei U ein abgeschlossener Unterraum eines Hilbertraumes X. Dann gilt:
- Für jedes \(x\in X\) existiert ein eindeutiges \(u \in U\) mit \(\|x-u\|=\displaystyle\min_{v\in U}\|x-v\|\)
- Für den Approximationsfehler gilt \(x-u\in U^\perp\)
- Die Abbildung (Orthogonalprojektion, Orthogonalprojektor auf U) \(P:X\to U\) ist
- linear
- stetig, wobei \(\|P\|=1\)
- idempotent
- selbstadjungiert
Sei \(\Phi=\{\phi^{(1)},\phi^{(2)},...\}\) ein abzählbares Orthonormalsystem im Hilbertraum X.
Wann konvergiert die Reihe \(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\gamma_\nu\phi^{(\nu)}\)
\(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\gamma_\nu\phi^{(\nu)}\) konvergiert genau dann, wenn gilt \(\gamma=(\gamma_\nu)\in l^2\), das heit, wenn die Reihe \(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty|\gamma_\nu|^2\) konvergiert.
In diesem Fall gilt auch: \(\displaystyle\left\| \sum_{\nu=1}^\infty\gamma_\nu\phi^{(\nu)}\right\|^2\)\(=\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty|\gamma_\nu|^2\)
Sei \(\Phi=\{\phi^{(1)},\phi^{(2)},...\}\) ein abzählbares Orthonormalsystem im Hilbertraum X.
Wie lautet die Bessel'sche Ungleichung?
Für jedes \(x\in X\) gilt:
\(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty |\langle x,\phi^{(\nu)}\rangle|^2\) \(\leq \|x\|^2\)
Die linke Reihe ist daher stets konvergent
Sei \(\Phi=\{\phi^{(1)},\phi^{(2)},...\}\) ein abzählbares Orthonormalsystem im Hilbertraum X.
Der Abschluss \(\overline{\mathcal L(\Phi)}\) ist ein abgeschlossener linearer Unterraum von X, und für jedes \(x\in X\) ist die Orthogonalprojektion gegeben durch die konvergente [...] p.
\(x\sim p:=\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty \gamma_\nu\phi^{(\nu)}\) mit \(\gamma_\nu=\langle x,\phi^{(\nu)}\rangle\)
Fourierreihe
Unter einer [...] in einem Hilbertraum X versteht man ein Orthonormalsystem \(\Phi=\{\phi^{(1)},\phi^{(2)},...\}\) mit der Eigenschaft, dass jedes \(x \in X\) in der Form \(\displaystyle x=\sum_{\nu=1}^\infty \gamma_\nu\phi^{(\nu)}\) dargestellt werden kann.
(Das = ist im Sinne der Konvergenz zu verstehen)
Orthonormalbasis
Wie lautet der Satz von Riesz-Fischer?
Sei X ein separabler Hilbertraum und \(\Phi\) eine Orthonormalbasis von X. Dann ist die Koeffizientenfolge \(\gamma_\nu\) in der Basisdarstellung \(x=\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\gamma_\nu\phi^{(\nu)}\) genau die Folge der Fourierkoeffizienten \(\gamma_\nu=\langle x,\phi^{(\nu)}\rangle\)
Das heißt \(x=\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty\gamma_\nu\phi^{(\nu)}\)ist die Fourierreihe von x. Es gilt \(\gamma\in l^2\) und außerdem die Parseval'sche Gleichung
\(\|x\|^2=\|\gamma\|^2=\) \(\displaystyle \sum_{\nu=1}^\infty|\langle x,\phi^{(\nu)}\rangle|^2\)
Sei X ein Hilbertraum
Welche Aussagen treffen zu?
Wie kann jedes \(f\in L^2(-\pi,\pi)\) durch eine trigonometrische Fourierreihe dargestellt werden? Wie konvergiert die Reihe?
\(f(x)=_{L^2}f_{Fourier}(x)=\) \(\displaystyle\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty \left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\)
mit \(a_k=\displaystyle \frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)dx\) und \(b_k=\displaystyle \frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)dx\)
Die Reihe konvergiert im Quadratmittel, also im Bezug auf die Norm \(L^2\)
Wie lautet die Parseval'sche Gleichung bei einer trigonometrischen Fourierreihe in \(L^2\) ?
\(\displaystyle\frac 1\pi \|f\|^2=\) \(\displaystyle\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2dx=\) \(\displaystyle\frac{a_0^2}2 +\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\)
Sei f eine beschränkte \(2\pi\)-periodische Funktion. Wie lautet das Dirichlet-Kriterium für punktweise Konvergenz?
f sei abgesehen von einer im Intervall \([-\pi,\pi]\) endlichen Anzahl von Sprungstellen stetig differenzierbar. Dann konvergiert die trigonometrische Fourierreihe von f punktweise gegen den Wert \(\displaystyle\frac{f(x+)-f(x-)}2\)
Der Grenzwert konvergiert also gegen f, außer an den Sprungstellen, wo er gegen das arithmetische Mittel konvergiert.
Wann konvergiert eine Fourierreihe gleichmäßig gegen eine Funktion f?
Wenn f \(2\pi\)-periodisch, stetig und stetig differenzierbar ist, abgesehen von einer im Intervall \([-\pi,\pi]\) endlichen Anzahl an Sprungstellen der Ableitung.
Dann konvergiert die trigonometrische Fourierreihe gleichmäßig gegen f.
