Analysis II für TPH
Analysis II (TUW) Differentialrechnung in mehreren Variablen, Funktionenräume, komplexe Funktionentheorie
Analysis II (TUW) Differentialrechnung in mehreren Variablen, Funktionenräume, komplexe Funktionentheorie
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Lernkarten
Wie nennt man eine Funktion der Gestalt
\(f(x)=c+b\cdot x\)
affine Funktion
Jede(s) [...] \(f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m\) wird durch eine \(m \times n\)-Matrix \(A \in \mathbb R^{m \times n}\) charakterisiert gemäß:
\(f(x)=A \cdot x\)
Die Menge der Eigenwerte einer Matrix bezeichnet man als
Spektrum
Eine lineare Abbildung hat bezüglich ihrer [...] eine sehr einfache Gestalt, nämlich Diagonalgestalt.
Eigenbasis
Spektralsatz:
Jede symmetrische Matrix A besitzt eine ...
orthogonale Eigenbasis
Wenn man den Wert einer Norm durch eine andere nach oben abschätzen kann, nennt man die beiden Normen
äquivalent
Konvergenz- und Stetigkeitsfragen sind von der Wahl der Norm unabhängig, falls man zwei [...] Normen vergleicht.
äquivalente
Was bedeutet anschaulich der Begriff der Abbildungsnorm oder induzierten Matrixnorm:
\(||A||:=\displaystyle \sup_{x \neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}=\) \(\displaystyle \max_{||x||=1}||Ax||\)
Den Betrag des betragsgrößten Eigenwertes einer Matrix bezeichnet man als [...] \(\rho(A)\)
Spektralradius
Ein [...] f setzt sich aus m skalarwertigen Koordinatenfunktionen \(f_k(x)\) zusammen.
Vektorfeld
Welche Aussagen treffen auf Stetigkeit zu?
Der Vektor der partiellen Ableitungen eines Skalarfeldes heißt [...] von f.
Gradient
Die totale Ableitung eines Vektorfeldes wird durch die [...] dargestellt
Jacobi-Matrix
Wie lautet die Kettenregel in der allgemeinen Fassung für Vektorfelder?
\(J(g \circ f)(\xi)=\)\(Jg(f(\xi)) \cdot Jf(\xi)\)
Wobei \(Jg(f(\xi)) \cdot Jf(\xi)\) eine Matrixmultiplikation ist
Wenn eine Funktion zweimal stetig partiell differenzierbar ist, kommt es bei der 2. partiellen Ableitung auf die Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird, nicht an. Dieses Resultat heißt Satz von
Schwarz
Wie lautet der Satz von Taylor (bis Grad 2) für Skalarfelder?
\(f(\xi +h)=f(\xi)+\)\(\nabla f(\xi) \cdot h+ \frac{1}{2}h^THf(\xi)h\)\(+ R_3(\xi,h)\)
Was besagt der Satz über implizite Funktionen und wann gilt er?
Sei f ein stetig differenzierbares Vektorfeld \(f: D\subseteq \mathbb R^m \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n\).
An einer Stelle sei \(f(\xi,\eta)=0\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}(\xi,\eta) \in \mathbb R^{n \times n}\) sei invertierbar.
Dann existieren Umgebungen und eine Funktion \(g:U \subseteq \mathbb R^m \to V \subseteq \mathbb R^n\) mit folgenden Eigenschaften:
1) \(g(\xi)=\eta\)
2) \(f(x,y)=0, \quad (x,y)\in U \times V\) \(\iff y=g(x), x \in U\)
3) Die Auflösungsfunktion g ist auf U stetig differnzierbar. Es gilt die Formel der impliziten Differentiation:
\(\displaystyle \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}f(x,g(x))}_{n \times m}+\)\(\displaystyle \underbrace{\frac{\partial}{\partial y}f(x,g(x))}_{n \times n} \cdot \underbrace{g'(x)}_{n \times m} =0\)
Für zweimal stetig differenzierbares f: \(D \subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R\) und \(\xi \in D\) bezeichnet man die \((n \times n)\)-Matrik
\(Hf(\xi):=\Big(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j}(\xi)\Big)\)
als [...]-Matrix von f an der Stelle \(\xi\)
Hesse
Wie lautet der Mittelwertsatz für Vektorfelder?
Sei \(f:D\subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R\), D offen, f stetig differenzierbar auf D. Seien \(x,y\in D\) derart, dass die Verbindungsstrecke zwischen x und y auf D enthalten ist.
\(f(x)-f(y)= \) \(\displaystyle \int_0^1Jf(x+t(y-x))dt \cdot (x-y)\)
f ist auch lipschitz-stetig:
\(|f(x)-f(y)| \leq\) \(\displaystyle\sup_{x \in D}||Jf(z)||\cdot ||x-y||\), \(\forall x,y \in D\)
f soll in eine Laurentreihe entwickelt werden.
Wenn f in einer Umgebung \(U \subseteq \mathbb C\) von \(z_0 \in \mathbb C\) differenzierbar ist mit ausnahme von \(z_0\), dann heißt \(z_0\) [...] von f.
isolierte Singularität
Sei \(z_0\)eine isolierte Singularität von f. Wenn der Hauptteil der Laurentreihe verschwindet, nennt man \(z_0\) eine [...]
hebbare Singularität
Sei \(z_0\)eine isolierte Singularität von f. Wenn der Hauptteil der Laurentreihe endlich ist, also \(c_n = 0 \) für \(n\lt -m \lt 0\) nennt man \(z_0\) einen [...] der Ordnung m.
Pol
Sei \(z_0\)eine isolierte Singularität von f. Wenn unendlich viele Koeffizienten im Hauptteil der Laurentreihe ungleich null sind, nennt man \(z_0\) eine [...]
wesentliche Singularität
Sei \(z_0\)eine isolierte Singularität von f. Der Koeffizient \(c_{-1}\) in der Laurent-Entwicklung f um \(z_0\) heißt das [...] von f an \(z_0\), man schreibt:
\(\displaystyle \text{Res}_{z=z_0}f(z):= c_{-1}\)
Residuum
Formuliere das absolute Highlight der Theorie der komplexen Funktionen :-)
Den Cauchy'schen Residuensatz
Sei \(\Gamma\)eine stückweise glatte, geschlossene Kurve, und f sei auf Inneren analytisch mit Ausnahme endlich vieler isolierter Singularitäten im Inneren von \(\Gamma\). Dann gilt:
\(\displaystyle \oint_\Gamma f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}_{z=z_k} f(z)\)
Vorgehensweise zur Bestimmung des Residuums an einer Polstelle \(z_0\)
\(\text{Res}_{z=z_0} f(z)=\) \(\displaystyle \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big((z-z_o)^mf(z)\big)\)
Definition Laurentreihe
Sei die Funktion \(f(z)\) in einem Kreisring \(r \lt |z-z_0| \lt R\) analytisch. Dann gilt für alle z in diesem Kreisring die Laurent-Entwicklung (Laurentreihe)
\(\displaystyle f(z)=\sum_{-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n\)
mit \(c_n=\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\)
mit einer beliebigen, ganz innerhalb des Kreisringes verlaufenden, stückweise glatten, geschlossenen Kurve \(\Gamma\)
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes nichtkonstante Polynom mit reellen oder komplexen Koeffizienten besitzt [...] eine Nullstelle in \(\mathbb C\)
Satz von Liouville
Jede beschränkte ganze Funktion f: \(\mathbb C \to \mathbb C\) ist [...]
konstant
Welche Aussagen treffen auf komplexe Differenzierbarkeit zu?
Cauchy'sche Ableitungsformel
\(f^{(n)}(z)=\) \(\displaystyle \frac{n!}{2 \pi i}\oint_\Gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta\)
Cauchy'sche Integralformel
Die stückweise glatte, geschlossene Kurve \(\Gamma\) sei der Rand eines Gebietes \(D \subseteq \mathbb C\). Die Funktion f sei differenzierbar in D und stetig auf \(\overline D\). Weiters sei z ein beliebiger Punkt im Inneren von D. Dann gilt für f(z) die Darstellung als Cauchy-Integral
\(\displaystyle f(z)=\frac 1{2 \pi i}\oint_{\Gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\)
Die Werte der Funktion f innerhalb des Gebietes sind durch ihre Werte auf dem Rand bereits eindeutig festgelegt
Ein Gebiet D heißt [...], wenn das Innere jeder auf D verlaufenden, glatten, geschlossenen Kurve in D enthalten ist.
einfach zusammenhängend
Was muss zutreffen, dass das komplexe Kurvenintegral wegunabhängig ist, dh. dass man schreiben kann:
\(\displaystyle \int_a^b f(z)dz\)
?
\(z=x+iy\)
\(u(x,y)=\text {Re}(f(z)) \quad\) \(v(x,y)=\text {Im}(f(z))\)
Was besagt der Cauchy'sche Integralsatz?
Sei f in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \(D \subseteq \mathbb C\) differenzierbar, so gilt für jede stückweise glatte, ganz in D verlaufende, geschlossene Kurve \(\Gamma\):
\(\displaystyle \oint_\Gamma f(z)dz=0\)
Ist f in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \(D \subseteq \mathbb C\) differenzierbar, so ist für \(z \in D\) auch die durch
\(F(z):= \displaystyle \int_a^z f(\zeta)d\zeta\) definierte Funktion in D differenzierbar und es gilt: \(F'(z)=f(z)\)
Jede Funktion F mit dieser Eigenschaft heißt [...] von f.
Stammfunktion
Welche Aussagen über komplexe Zahlen treffen zu?
Wie lautet die Euler'sche Formel?
\(r e^{i\varphi}=?\)
\(z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi +i\sin \varphi)\)
Was trifft auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit komplexer Funktionen zu?
a) Eine komplexe Funktion heißt stetig an der Stelle \(\zeta\), wenn gilt: \(\displaystyle\lim_{z\to\zeta}f(z)=f(\zeta)\)
b) Eine komplexe Funktion \(f = u+iv\) ist genau dann stetig, wenn die reellen Skalarfelder u(x,y) und v(x,y) stetig sind.
c) Eine komplexe Funktion ist komplex differenzierbar, wenn die Skalarfelder u(x,y) und v(x,y) differenzierbar sind.
d) Eine komplexe Funktion, die komplex differenzierbar ist, ist stetig
e) Wenn die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen von den Koordinatenfunktionen u(x,y) und v(x,y) erfüllt werden, ist f komplex differenzerbar.
