Welche Aussagen treffen zu? Sei f ein Skalarfeld: \(f:\mathbb R^n\to \mathbb R\) \(Hf(k)\) sei die Hessematrix an der Stelle k.

Ist Hf(k) positiv definit, so verläuft der Graph von f in einer Umgebung von k oberhalb der Tangential(hyper)ebene & Hf ist indefinit, wenn Hf positive und negative Eigenwerte besitzt, die ungleich null sind

Ist Hf(k) positiv definit, so verläuft der Graph von f in einer Umgebung von k oberhalb der Tangential(hyper)ebene

In der Nähe eines parabolischen Punktes k verläuft ein Teil des Graphen von f oberhalb, ein Teil unterhalb der Tangential(hyper)ebene

Hf ist indefinit, wenn Hf positive und negative Eigenwerte besitzt, die ungleich null sind

Falls alle Eigenwerte von Hf(k) größer oder gleich null sind, ist k ein elliptischer Punkt

Ist mindestens ein Eigenwert von Hf(k) null, so verläuft der Graph ober und unterhalb der Tangentialhyperebene

Sei \(f:D\subseteq \mathbb R^n\to\mathbb R\) ein mind. 2 Mal stetig differenzierbares Skalarfeld. Was trifft auf Niveaulinien in der Nähe stationärer Punkte zu?

Niveaulinien in der nähe einer lokalen Maximalstelle sind Ellipsen & Niveaulinien eines Sattelpunktes sind zwei Geraden, die sich im Sattelpunkt schneiden & Niveaulinien in der Nähe eines elliptischen stationären Punktes sind Ellipsen

Niveaulinien in der Nähe eines Minimums sind Kreise

Niveaulinien in der nähe einer lokalen Maximalstelle sind Ellipsen

Niveaulinien eines Sattelpunktes sind zwei Geraden, die sich im Sattelpunkt schneiden

Niveaulinien in der Nähe eines parabolischen Punktes sind Parabeln

Niveaulinien in der Nähe eines elliptischen stationären Punktes sind Ellipsen

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Sei X ein Hilbertraum

Welche Aussagen treffen zu?

Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis

Die Norm der Fourierkoeffizienten ist gleich der Norm von x.

Ist X separabel und besitzt X eine Orthonormalbasis, so gilt die Parseval'sche Gleichung

Die Fourierreihe ist die konvergente Orthogonalprojektion von x auf den durch die Basisvektoren aufgespannten Unterraum

Eine Teilmenge von X heißt Orthonormalsystem, wenn alle Elemente die Norm 1 haben

Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis

Die Norm der Fourierkoeffizienten ist gleich der Norm von x.

Ist X separabel und besitzt X eine Orthonormalbasis, so gilt die Parseval'sche Gleichung

Die Fourierreihe ist die konvergente Orthogonalprojektion von x auf den durch die Basisvektoren aufgespannten Unterraum

Eine Teilmenge von X heißt Orthonormalsystem, wenn alle Elemente die Norm 1 haben

Wie kann jedes \(f\in L^2(-\pi,\pi)\) durch eine trigonometrische Fourierreihe dargestellt werden? Wie konvergiert die Reihe?

\(f(x)=_{L^2}f_{Fourier}(x)=\) \(\displaystyle\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty \left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\)

mit \(a_k=\displaystyle \frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)dx\) und \(b_k=\displaystyle \frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)dx\)

Die Reihe konvergiert im Quadratmittel, also im Bezug auf die Norm \(L^2\)

Wie lautet die Parseval'sche Gleichung bei einer trigonometrischen Fourierreihe in \(L^2\) ?

\(\displaystyle\frac 1\pi \|f\|^2=\) \(\displaystyle\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2dx=\) \(\displaystyle\frac{a_0^2}2 +\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\)

Sei f eine beschränkte \(2\pi\)-periodische Funktion. Wie lautet das Dirichlet-Kriterium für punktweise Konvergenz?

f sei abgesehen von einer im Intervall \([-\pi,\pi]\) endlichen Anzahl von Sprungstellen stetig differenzierbar. Dann konvergiert die trigonometrische Fourierreihe von f punktweise gegen den Wert \(\displaystyle\frac{f(x+)-f(x-)}2\)

Der Grenzwert konvergiert also gegen f, außer an den Sprungstellen, wo er gegen das arithmetische Mittel konvergiert.

Wann konvergiert eine Fourierreihe gleichmäßig gegen eine Funktion f?

Wenn f \(2\pi\)-periodisch, stetig und stetig differenzierbar ist, abgesehen von einer im Intervall \([-\pi,\pi]\) endlichen Anzahl an Sprungstellen der Ableitung.

Dann konvergiert die trigonometrische Fourierreihe gleichmäßig gegen f.

Wie lautet die komplexe Schreibweise für die trigonometrische Fourierreihe in \(L^2\)

\(f(x)\sim \displaystyle\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ikx}\) mit \(c_k=\langle f(x),e^{ikx}\rangle=\) \(\displaystyle\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}dx\)

Wie lautet die komplexe Version der Parseval'schen Gleichung?

\(\displaystyle \frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2dx\) \(=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^\infty |c_k|^2\)

Ein Punkt \(\xi\in D\subseteq \mathbb R^n\) heißt [...] Punkt von f, falls \(Hf(\xi)\) positiv definit oder negativ definit ist. Das ist genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte von \(Hf(\xi)\) durchwegs positiv oder negativ sind.

elliptischer

Ein Punkt \(\xi\in D\subseteq \mathbb R^n\) heißt [...] Punkt von f, falls \(Hf(\xi)\) indefinit ist. Alle Eigenwerte von \(Hf(\xi)\) sind ungleich 0, aber manche positiv und manche negativ.

hyperbolischer

Ein Punkt \(\xi\in D\subseteq \mathbb R^n\) heißt [...] Punkt von f, falls \(Hf(\xi)\) singulär ist, d.h. mindestens ein Eigenwert von \(Hf(\xi)\) ist null bzw. \(\det Hf(\xi)=0\)

parabolischer

\(\xi\) heißt [...] von \(f:\mathbb R^n \to \mathbb R\), wenn gilt: \(\nabla f(\xi)=0\)

stationärer Punkt

Sei \(f:D\subseteq \mathbb R^n\to\mathbb R\) in einer Umgebung von k zweimal stetig differenzierbar, und sei k ein stationärer Punkt von f.

Hf(k) sei die Hesse-Matrix im Punkt k.

Welche Aussagen treffen zu?

k ist eine lokale Minimalstelle, falls Hf(k) positiv definit ist

k ist eine lokale Maximalstelle, falls Hf(k) positiv definit ist

k ist ein Sattelpunkt, falls Hf(k) indefinit ist

k ist ein Sattelpunkt, falls Hf(k) singulär ist

k ist eine lokale Minimalstelle, falls Hf(k) positiv definit ist

k ist eine lokale Maximalstelle, falls Hf(k) positiv definit ist

k ist ein Sattelpunkt, falls Hf(k) indefinit ist

k ist ein Sattelpunkt, falls Hf(k) singulär ist

Eine Funktion \(f:D\subseteq \mathbb R^n\to\mathbb R^n\) heißt [...] an der Stelle \(\xi\in D\), wenn Umgebungen U von \(\xi\) und V von \(f(\xi)\) existieren, sodass \(f:U\to V\) bijektiv ist. In diesem Fall existiert die lokale Umkehrfunktion \(f^{-1}:V\to U\)

lokal invertierbar

Wie lautet die Newton-Iterations-Formel zur Lösung eines nxn-Gleichungssystems?

\(Jf(x_{\nu-1})\Delta x_{\nu-1}=-f(x_{\nu-1})\) und \(x_\nu:=x_{\nu-1}+\Delta x_{\nu-1}\)

Es muss also gelten: \(f(x^*)=0\)

Wie lautet die totale Ableitung von \(f(x,g(x))\) nach x?

\(\displaystyle\frac d{dx}f(x,g(x))=\) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))+\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))g'(x)\)

Sei \(f:D\subseteq \mathbb R^2\to \mathbb R\) stetig differenzierbar, und \(\Gamma_c=\{(x,y)\in D:\) \(f(x,y)=c\}\). Ein Punkt \((\xi,\eta)\in \Gamma_c\) heißt [...] Punkt von \(\Gamma_c\), falls gilt: \(\nabla f(\xi,\eta)=(0,0)\)

singulärer

Wie lautet die Methode der Lagrange-Multiplikatoren?

Seien \(f:D\subseteq \mathbb R^2\to \mathbb R\) und \(\varphi:B\subseteq \mathbb R^2\to\mathbb R\) stetig differenzierbar. Wir definieren die Lagrange-Funktion \(F(x,y,\lambda):=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)

Dann gilt: Für jede Extremalstelle \((\xi,\eta)\) von \(f(x,y)\) unter der Nebenbedingung \(\varphi(x,y)=0\) mit \(\nabla \varphi(\xi,\eta)\neq(0,0)\) existiert ein Wert für den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\), so dass \((\xi,\eta,\lambda)\)eine Lösung des Lagrange'schen Gleichungssystems \(\nabla F(x,y,\lambda)=0\)ist.

Wann ist ein Vektorfeld \(f:D\subseteq \mathbb R^n\to \mathbb R^n\) lokal invertierbar?

Wenn f in einer Umgebung einer Stelle \(\xi\in D\) stetig differenzierbar ist und die Jacobi-Matrix \(Jf(\xi)=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(\xi)\) regulär ist:
Dann ist die Abbildung f an der Stelle \(\xi\) lokal invertierbar, und die lokale Inverse \(f^{-1}:V\to U\) ist auf V stetig differenzierbar und es gilt: \(J(f^{-1})=(Jf)^{-1}\)

Wie nennt man eine Funktion der Gestalt

\(f(x)=c+b\cdot x\)

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affine Funktion

Die Menge der Eigenwerte einer Matrix bezeichnet man als

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Spektrum

Eine lineare Abbildung hat bezüglich ihrer [...] eine sehr einfache Gestalt, nämlich Diagonalgestalt.

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Eigenbasis

Spektralsatz:

Jede symmetrische Matrix A besitzt eine ...

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orthogonale Eigenbasis

Wenn man den Wert einer Norm durch eine andere nach oben abschätzen kann, nennt man die beiden Normen

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äquivalent

Konvergenz- und Stetigkeitsfragen sind von der Wahl der Norm unabhängig, falls man zwei [...] Normen vergleicht.

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äquivalente

Den Betrag des betragsgrößten Eigenwertes einer Matrix bezeichnet man als [...] \(\rho(A)\)

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Spektralradius

Ein [...] f setzt sich aus m skalarwertigen Koordinatenfunktionen \(f_k(x)\) zusammen.

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Vektorfeld

Der Vektor der partiellen Ableitungen eines Skalarfeldes heißt [...] von f.

Gradient

Die totale Ableitung eines Vektorfeldes wird durch die [...] dargestellt

Jacobi-Matrix

Wie lautet die Kettenregel in der allgemeinen Fassung für Vektorfelder?

\(J(g \circ f)(\xi)=\)\(Jg(f(\xi)) \cdot Jf(\xi)\)

Wobei \(Jg(f(\xi)) \cdot Jf(\xi)\) eine Matrixmultiplikation ist

Wenn eine Funktion zweimal stetig partiell differenzierbar ist, kommt es bei der 2. partiellen Ableitung auf die Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird, nicht an. Dieses Resultat heißt Satz von

Schwarz

Wie lautet der Satz von Taylor (bis Grad 2) für Skalarfelder?

\(f(\xi +h)=f(\xi)+\)\(\nabla f(\xi) \cdot h+ \frac{1}{2}h^THf(\xi)h\)\(+ R_3(\xi,h)\)

Was besagt der Satz über implizite Funktionen und wann gilt er?

Sei f ein stetig differenzierbares Vektorfeld \(f: D\subseteq \mathbb R^m \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n\).

An einer Stelle sei \(f(\xi,\eta)=0\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}(\xi,\eta) \in \mathbb R^{n \times n}\) sei invertierbar.

Dann existieren Umgebungen und eine Funktion \(g:U \subseteq \mathbb R^m \to V \subseteq \mathbb R^n\) mit folgenden Eigenschaften:

1) \(g(\xi)=\eta\)
2) \(f(x,y)=0, \quad (x,y)\in U \times V\) \(\iff y=g(x), x \in U\)
3) Die Auflösungsfunktion g ist auf U stetig differnzierbar. Es gilt die Formel der impliziten Differentiation:

\(\displaystyle \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}f(x,g(x))}_{n \times m}+\)\(\displaystyle \underbrace{\frac{\partial}{\partial y}f(x,g(x))}_{n \times n} \cdot \underbrace{g'(x)}_{n \times m} =0\)

Für zweimal stetig differenzierbares f: \(D \subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R\) und \(\xi \in D\) bezeichnet man die \((n \times n)\)-Matrik

\(Hf(\xi):=\Big(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j}(\xi)\Big)\)

als [...]-Matrix von f an der Stelle \(\xi\)

Hesse

Wie lautet der Mittelwertsatz für Vektorfelder?

Sei \(f:D\subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R\), D offen, f stetig differenzierbar auf D. Seien \(x,y\in D\) derart, dass die Verbindungsstrecke zwischen x und y auf D enthalten ist.

\(f(x)-f(y)= \) \(\displaystyle \int_0^1Jf(x+t(y-x))dt \cdot (x-y)\)

f ist auch lipschitz-stetig:

\(|f(x)-f(y)| \leq\) \(\displaystyle\sup_{x \in D}||Jf(z)||\cdot ||x-y||\), \(\forall x,y \in D\)