MfP2 (1. Euklidische und hermitesche Vektorräume)

Formelsammlung Mathe für Physiker 2, Teil 1 1. Euklidische und hermitesche Vektorräume: 1.1 Skalarprodukte 1.2 Normen 1.3 Metriken 1.4 Orthogonale und Unitäre Abbildungen 1.5 Gram-Schmidt-Verfahren

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Über diese Lernkartei

Diese Lernkarten behandeln grundlegende Konzepte der euklidischen und hermiteschen Vektorräume auf Universitätsniveau. Sie decken Themen wie Skalarprodukte, Normen, Metriken, orthogonale und unitäre Abbildungen sowie das Gram-Schmidt-Verfahren ab. Studierende der Mathematik profitieren von diesen Karteikarten, um ein tieferes Verständnis der Eigenschaften und Anwendungen dieser Vektorräume zu erlangen.

Karten

Lernende

Sprache

Deutsch

Kategorie

Mathematik

Stufe

Universität

Erstellt / Aktualisiert

16.03.2017 / 31.07.2017

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1.1.1 Positive Definitheit

Eine Abbildung 〈·,·〉: V × V → K heißt positiv definit, wenn...

〈 v,v 〉 = 0 ⇔ v = 0 und 〈 v,v 〉 > 0

〈 v,v 〉 > 0 ⇔ v = 0 und 〈 v,v 〉 < 0

〈 v,v 〉 < 0 ⇔ v > 0 und 〈 v,v 〉 > 0

〈 v,v 〉 < 0 ⇔ v > 0 und 〈 v,v 〉 = 0

1.1.2 Euklisches Skalarprodukt

〈· , ·〉 : V × V → R heißt Euklidisches Skalarprodukt, wenn. . .
(für alle u,v,w∈V und alle λ,μ∈R.)

〈· , ·〉 positiv definit ist.

〈· , ·〉 bilinear ist: 〈 λu + μv,w 〉 = λ 〈 u,v 〉 + μ 〈 v,w 〉 & 〈 w,λv + μu 〉 = λ 〈 w,v 〉 + μ 〈 w,u 〉.

〈· , ·〉 symmetrisch ist: 〈 u,v 〉 = 〈 v,u 〉.

〈· , ·〉 asymmetrisch ist: 〈 u,v 〉 > 〈 v,u 〉 & 〈 u,v 〉 < 〈 v,u 〉.

〈· , ·〉 negativ definit ist.

1.1.2 Euklisches Skalarprodukt

Wie zeigt man, dass 〈· , ·〉 bilinear ist?

〈 λu + μv,w 〉 = λ 〈 u,v 〉 + μ 〈 v,w 〉

---&---

〈 w,λv + μu 〉 = λ 〈 w,v 〉 + μ 〈 w,u 〉

1.1.3 Hermitesches Skalarprodukt

〈· , ·〉 H : V × V → C heißt hermitesches Skalarprodukt auf V , wenn. . .
(für alle u,v,w∈V und alle λ,μ∈R.)

〈· , ·〉^H positiv definit ist.

〈· , ·〉^H C -linear im ersten Argument (sesquilinear)* ist: 〈 λu + μv,w 〉^H = λ 〈 u,v 〉^H + μ 〈 u,w 〉^H

〈· , ·〉^H hermitesch ist: 〈 u,v 〉^H = 〈 v,u 〉^H

〈· , ·〉^H negativ definit ist.

〈· , ·〉^H nicht hermitesch ist: 〈 u,v 〉^H > 〈 v,u 〉^H oder 〈 u,v 〉^H < 〈 v,u 〉^H

1.1.4 Kanonisches Skalarprodukt

Kanonisches Hermitesches Skalarprodukt

\(〈u,v〉^H:= \sum\limits_{i=1}^n ui * vi^*\)

1.1.4 Kanonisches Skalarprodukt

Kanonisches Euklidisches Skalarprodukt

\(〈u,v〉^H:= \sum\limits_{i=1}^n ui * vi\)

1.1.5 Sätze

Winkel zwischen zwei Vektoren:

\(\angle(v,w) ={ arccos{ ({〈v,w〉 \over ||v||*||w||})}}\)

1.1.5 Sätze

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (im Euklidischen Vektorraum):

|〈v,w〉| <= ||v||*||w||

|〈v,w〉| >= ||v||*||w||

|〈v,w〉| =/= ||v||*||w||

|〈v,w〉| / ||v||*||w|| = |〈v,w〉| /||w||*||v||

|〈v,w〉| / ||v||*||w|| =/= |〈v,w〉| /||w||*||v||

1.1.5 Sätze

Jedes Skalarprodukt induziert eine Norm:

\( ||v|| = \sqrt{〈v,v〉}\)

1.2.0 Normen

Eine Abbildung k·k : V → R heißt Norm, wenn...

||v|| = 0 ⇔ v = 0

|| λ · v || = | λ |·|| v ||

||v + w || ≤ || v || + || w ||

||v + w || > || v || + || w ||

|| λ · v || ≤ | λ |·|| v ||

1.2.1 Parallelogrammgleichung

Eine Norm ||·|| wird genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn...

||v + w||^2 + ||v − w||^2 = 2*||v||^2 + 2*||w||^2

||v + w||^2 + ||v − w||^2 < 2*||v||^2 + 2*||w||^2

||v + w||^2 + ||v − w||^2 > 2*||v||^2 + 2*||w||^2

||v + w||^2 + ||v + w||^2 =2*||v||^2 + 2*||w||^2

||v + w||^2 + ||v + w||^2 <= 2*||v||^2 + 2*||w||^2

1.2.2 Äquivalente Normen

Zwei Normen ||·|| ₁ und ||·||₂ auf einem Vektorraum V sind genau dann äquivalent, wenn es positive Konstanten C und c gibt, so dass ...???... gilt.

Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.

c ||v||₁ ≤ ||v||₂ ≤ C ||v||₁für alle v ∈ V

1.2.3 Operatornorm

Sei F : V₁ → V₂ und x ∈ V₁

_{\(||F|| = \sup\limits_{x≠0} {\{ {||Fx||(2)\over ||x||(1)}\}} = \sup\limits_{||x||(1)=1} ||x||(1) = \{||Fx||(2)\}\)}

Ist k F k < ∞ , so ist...

...so ist F stetig.

...so ist F nicht stetig.

...so ist F entweder stetig oder nicht.

1.2.4. Sätze

Jede Norm induziert eine Metrik:

d(p) (u,v) = ||u-v||(p)

d(p) (u,v) ≤ ||u-v||(p)

d(p) (u,v) > ||u-v||(p)

d(p) (u,v) < ||u-v||(p)

d(p) (u,v) ≠ ||u-v||(p)

1.3.0 Metriken

d (· , ·): V × V → R heißt Metrik, wenn...

d ( x,y ) = 0 ⇔ x = y

d ( x,y ) = d ( y,x )

d ( x,z ) ≤ d ( x,y ) + d ( y,z )

d ( x,z ) ≠ d ( x,y ) + d ( y,z )

d ( x,y ) ≠ d ( y,x )

1.3.1 k-Metrik

\(d(k) ( x,y ) = {^k\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n | x i − y i |^ k}}\)

1.4.0 Orthogonale und Unitäre Abbildungen

Eine surjektive* Abbildung F : V → V mit 〈 F ( v ) ,F ( w ) 〉 = 〈 v,w 〉 für alle v,w ∈ V heißt. . .

∗ Falls dim( V ) < ∞ , folgt die Surjektivität aus der Definition und muss nicht explizit gefordert werden.

...orthogonal , wenn ( V, 〈· , ·〉 ) ein euklidischer Vektorraum ist.

...unitär , wenn ( V, 〈· , ·〉 ) ein hermitescher Vektorraum ist.

...unitär , wenn ( V, 〈· , ·〉 ) ein euklidischer Vektorraum ist.

...orthogonal , wenn ( V, 〈· , ·〉 ) ein hermitescher Vektorraum ist.

1.4 Orthogonale und Unitäre Abbildungen

Welche der Aussagen sind wahr?

Die Gruppe der orthogonalen Abbildungen O( V ) ist eine Untergruppe der Automorphismen Aut( V ) und heißt orthogonale Gruppe.

Analog heißt die Menge U( V ) ⊂ Aut( V ) unitäre Gruppe.

Man definiert O( n ) : = O( R^n , 〈· , ·〉 ) ⊂ Mat( n, R ) . Für alle A ∈ O( n ) gilt A^t A = 1 n .

Analog ist U( n ) : = U( C^n , 〈· , ·〉 ) ⊂ Mat( n, C ) . Für alle A ∈ U( n ) gilt A^† A = 1 n .

Analog ist U( n ) : = U( R^n , 〈· , ·〉 ) ⊂ Mat( n, C ) . Für alle A ∈ U( n ) gilt A^t A = 1 n .

1.5 Gram-Schmidt-Verfahren

Normieren zum Schluss:

Sei B = ( b(1) ,...,b(n) )

\({\ ̃u(i) = b(i) − \sum\limits_{k=1}^{i-1} {〈\ ̃u(k) ,b(i)〉\over 〈\ ̃ u(k) ,\ ̃ u(k) 〉}\ ̃ u(k)}\)

\(\ ̃u i ={{\ ̃ u(i) \over\ ̃ ||u(i)|| }={\ ̃ u(i) \over \sqrt {〈\ ̃ u(i),\ ̃ u(i)〉}}}\)

U = ( u 1 ,...,u n ) ist ONB zu B

1.5 Gram-Schmidt-Verfahren

Normieren nach jedem Schritt:

Sei B = ( b(1) ,...,b(n) )

\({\ ̃u(i) = b(i) − \sum\limits_{k=1}^{n-1} {〈u(k) ,b(i)〉\ u(k)}}\)

\(\ ̃u i ={{\ ̃ u(i) \over\ ̃ ||u(i)|| }={\ ̃ u(i) \over \sqrt {〈\ ̃ u(i),\ ̃ u(i)〉}}}\)

U = ( u 1 ,...,u n ) ist ONB zu B

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