Grundlagen der Physik I

Die Einheit der Zeit ist die Sekunde (s)

1 s ist das 9 192 631 770-Fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids ¹³³Cs entsprechenden Strahlung.

Messverfahren: Quarzuhren, Atomuhren, Frequenzstabile Laser

Die Basiseinheit ist das Kilogramm (kg)

1 kg ist die Masse des Platin-Iridium-Zylinders, der als Massenormal in Paris aufbewahrt wird.

Messung entweder durch Trägheit oder Gewicht (Schwingungsdauer eines Federpendels oder durch Wiegen)

1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielen Teilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoffnuklids ¹²C enthalten sind.

Die Zahl dieser Teilchen ist die Avoagro-Konstante N_A oder Loschmidt-Zahl (6 * 10²³)

1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von Wasser

1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich konstatnen Stromes, der durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1m voneinander angeordnete unendlich lange, dünne Leiter fließt und zwischen diesen Leitern eine Kraft von 2*10^-7 N je m Leitungslänge hervorruft

Die Candela ist die Strahlungsleitung senkrecht zur Oberfläche eines schwarzen Körpers mit einer Öffnung von 1/60 cm² und einer Temperatur von 1770°C (Erstarrungspunkt von Platin) bei einer Frequenz von 5,4*10¹⁴ Hertz (\(\lambda = 555 \mathrm {nm}\))

1 cd entspricht 1/683 W/sr bei \(\lambda = 555 \mathrm {nm}\)

Steradiant

cgs: Länge: 1cm, Masse: 1g, Zeit: 1s

atomare-Einheiten: Ladung: 1e, Masse: 1m_e, Wirkung: \(1 \hbar\)

natürliche-Einheiten: Wirkung: \(1 \hbar\), Geschwindigkeit: 1c, \(k_B=1\)

\(\overline x =\langle x\rangle=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)

Der wahre Wert ergibt sich aus \(x_w =\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)

Der wahre Wert bleibt also unbekannt!

mittlerer Fehler (Standardabweichung) der Einzelmessung:

\(\sigma=\displaystyle\sqrt{\frac{\sum(\overline x - x_i)^2}{n-1}} \)

mittlerer Fehler (Standardabweichung) des arithmetischen Mittels:

\(\sigma_m=\displaystyle\sqrt{\frac{\sum(\overline x - x_i)^2}{n(n-1)}} \)

Man erhält eine Gauß'sche Normalverteilung

\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\cdot \displaystyle e^{\displaystyle -\frac{(x-x_w)^2}{2\sigma^2}}\)

Das arithmetische Mittel \(\overline f\) aller Funktionswerte \(f_{ik}\) ist gleich dem Funktionswert \(f(\overline x,\overline y)\) gebildet mit den arithmetischen Mitteln der Messgrößen:

\(f_w(x,y)=f(\overline x, \overline y)\) \(\pm \displaystyle \sqrt{\sigma_x^2\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^2+\sigma_y^2\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)^2}\)

\(\Delta f=f_w - f(\overline x, \overline y) \leq\) \(\displaystyle \Big|\sigma_x\frac{\partial f}{\partial x} \Big|+ \Big|\sigma_y \frac{\partial f}{\partial y}\Big|\)

\(\displaystyle\vec r(t)=\frac{\vec at^2}{2}+\vec v_0t+\vec r_0\)

\(\displaystyle \vec a=\frac{dv}{dt} \mathbf {\hat e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{\hat e}_n\)

\(v=\pm\sqrt{2hg}\)

Jeder Körper verharrt im Zustand der RUhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.

Wir definieren Kraft als Ursache der Impulsänderung

\(\displaystyle\vec F=\frac {d\vec p}{d t}\), wenn m=const: \(\displaystyle\vec F=m\frac {d\vec v}{d t}\)

Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft \(F_1\) auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft \(F_2\) auf den anderen Körper:

actio = reactio

\(F_1=-F_2\)

Träge Masse: Widerstand gegen Bewegungsänderung (aufgrund der Masse)

Schwere Masse: Ursache der Gravitation

Schwere und träge Masse sind nicht unterscheidbar (Äquivalenzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie)

1. Kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die man benötigt, um ein Objekt gerade in eine kreisförmige Umlaufbahn der Erde zu bringen. \(v_1=\sqrt{Rg}\)

2. Kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die nötig ist, um aus dem Gravitationsfeld der Erde zu fliehen. (Fluchtgeschwindigkeit) \(v_2=\sqrt{2Rg}\)

Die beiden Geschwindigkeiten unterscheiden sich also um einen Faktor \(\sqrt 2\)

\(W:=\displaystyle\int_{P_1}^{P_2} \vec Fd\vec r=\) \(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}F_xdx+\) \(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2}F_ydy+\)\(\displaystyle \int_{z_1}^{z_2}F_zdz\)\(=\displaystyle \int_a^b\vec F(\vec r(t))\cdot \vec r(t)dt\)

Die Arbeit ist ein Linienintegral / Kurvenintegral = Summe von einfachen Riemannschen Integralen.

Stehen \(\vec F\) und \(d\vec r\) senkrecht aufeinander, so ist W=0. Die Maßeinheit der Arbeit ist Nm oder Joule (J)

Leistung = Arbeit pro Zeit

\(P=\frac{dW}{dt}\), Maßeinheit: 1 J/s = 1 W (Watt)

Oder auch:

\(P=\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t_0}^t\vec F(\vec r(s))\cdot \vec {\dot r}(s)ds\) \(= \vec F(\vec r(t),t)\cdot \vec v(t)=\) \(\vec F\cdot\vec v\)

\(\Delta W=-(E_p(P_2)-E_p(P_1))\), \(\quad E_p \dots\) Potentielle Energie

In einem konservativen Kraftfeld ist in jedem Raumpunkt die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines Massenpunktes konstante. Diese konstante Summe heißt die mechanische Gesamtenergie E. Die Gesamtenergie E bleibt also bei konservativen Kräften erhalten

Potential: \(\displaystyle V(P):=\lim_{m \to 0} \Big(\frac{1}{m}E_p(P) \Big)\) zB Graviationspotential. V ist eine skalare Funktion

Feldstärke \(\vec G = -\vec\nabla V\)

Kraft: \(\vec F=-\vec \nabla E_p\) \(= m\cdot \vec G\)
 

Drehimpuls: \(\vec L=\vec r \times \vec p=m(\vec r\times \vec v)\) im Bezug auf den Koordinatenursprung

Das Vektorprodukt L steht senkrecht auf r und v

Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment:

\(\displaystyle\frac{d\vec L}{dt}=\vec r \times \vec F=D\)

1) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2) Der Radiusvektor (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen

3) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen:

\(\displaystyle \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}\) bzw. \(\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\mathrm {const}\)

Schwingungsgleichung: \(\frac {d^2x}{dt}+\omega_0^2x=0\)

Mit der Lösung:

\(x(t)=ce^{i\omega_0t}+c^*e^{-i\omega_0t}\) \(x(t)=|c|\big(e^{i(\omega_0t+\varphi)}+e^{-i(\omega_0t+\varphi)}\big)\)

\(x(t)=C_1\cos(\omega_0t)+C_2\sin(\omega_0t)\) \(x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)\)

Dies sind 4 äquivalente Darstellungen von Schwingungen

Statt der letzten Darstellung des Kosinus könnte man auch einen Sinus schreiben

Schwingungsdauer T: Periode, Zeit, nachdem derselbe Wert von \(x(t)\) erreicht wird.

Schwingungsfrequenz: \(\nu=f=\frac{1}{T}\)

Kreisfrequenz: \(\omega=2\pi\nu\)

Phase: Das Argument der Kosinusfunktion in der allgemeinen Darstellung einer Schwingung: \(\omega_0t+\varphi\)

\(x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)\)

Bei der Überlagerung mit gleicher Frequenz entsteht wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phase.

Bei der Überlagerung zweier Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz folgt nach dem Additionstheorem der Winkelfunktionen:

\(x(t)=\)\(2a\cos\displaystyle\Big(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\Big)\) \(\displaystyle\cos\Big(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\Big)\)

Es kommt zu einer Schwebung: Die erste Frequenz gibt dabei die Frequenz der "Einhüllenden" an