Math: Polynomdivision und Ableitungen II
Polynomdivision und der zweite Teil der Ableitungen (3 zusätzliche Regeln). Prüfung vom 02.02.17.
Polynomdivision und der zweite Teil der Ableitungen (3 zusätzliche Regeln). Prüfung vom 02.02.17.
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Cartes-fiches
Was heisst Stetigkeit?
Wenn eine Funktion stetig ist, kann man sie in einem Strich ziehen.
Was ist eine Gleichen 1ten, 2ten und 3ten (etc.) Grades?
1.Grad: 2x + 4
2. Grad: 2x2 +4x + 1
3. Grad: 2x3 + 4x2 + 3x + 1
Wie geht die Mitternachtsformel?
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(\Delta = {b^2-4ac}\)
Wie führt man eine Polynomdivision durch?
Zeige auch anhand eines Beispiels! (Ohne Faktorisierung)
Schritt 1: Nullstelle (durch raten) finden
Schritt 2: Die Polynomfunktion durch x - gefundene Nullstelle teilen
Schritt 3: Restliche Nullstellen finden (wenn gesucht)
Geg: x5+ x3 -1
Gefundene Nullstelle: +1
x5+ 0x4+ x3+ 0x2+ 0x -1 | x-1
x5-1x4 x4+x3 ... etc...
/ x4 + x3 ...etc...
Nenne die Nullstellen von 3x2+ 5x -8 und begründe die Vorgehensweise!
Da es ein Polynom 2. Grades ist (quadratisch), kann man die Mitternachtsformel anwenden.
3x2+ 5x -8 = 0
\(\Delta = {b^2-4ac} = 25-4*3*8 = 121\)
x1/2= \(x = {-b \pm \sqrt{\Delta} \over 2a}\) x1=\({-5 +{11} \over 6} = 1\) x2= \({-5 -{11} \over 6} = -{{8}\over {3}} \)
Wann und wie kann man den Satz von Gauss anwenden?
Wenn man bei einer Polynomdivision über dem 2. Grad den Rest 0 erhält.
Beispiel:
Lösung einer Polynomfunktion ohne Rest ist x2-4x+2, Nullstelle ist -1.
D.h.: (x2-4x+2) (x+1) = Polynomfunktion
"x2-4x+2" kann man nach Satz von Gauss weiter faktorisieren:
Mitternachtsformel anwenden: x1=3,41 x2= 0,58
=> Lösung ist: Polynomfunktion = (x+1) (x-3,41) (x-0,58)
Wie geht die Tangentenformel? Wie geht die Normalenformel?
- Tangente: \(T_{x_0}(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)
- Normale: \(N_{x_0}(x) = f(x_0)-{1\over f'(x_0)}(x-x_0)\)
Ableitungen: Wie geht die Produktregel?
\((f*g)' = f'*g + f*g'\)
"Erstes ableiten, zweites sein lassen. Plus erstes sein lassen, zweites ableiten."
Ableitungen: Wie geht die Kettenregel?
\([h(g(f(x)))]' = h'(z) * g'(y) * f'(x) = h'(g(f(x)))* g'(f(x))* f'(x)\)
Beispiel: \(f(x)=\sqrt{\cos(x)}\)
\(f'(x) = {1\over{2}} (\cos(x))^{-{1\over{2}}} * (-\sin(x))\)
Wie geht die Quotientenregel?
In Produkt umwandeln, dann gleich wie Produktregel.
\({{2x+1\over{3x-2}}} = (2x+1)(3x-2)^{-1}\)
Danach höchster Exponent faktorisieren. Erst dann hat man die Lösung.
(Wenn beides nicht 0 geben kann gibt es keine weiteren Nullstellen)
