Algebra
Algebra
Algebra
Wie lautet das Untergruppenkriterium?
\(\forall a,b\in G_u ,a^{-1} *b\in G_u \)oder
\(\forall a,b\in G_u ,a*b^{-1} \in G_u \)
Was sagt der Satz von Euler aus?
\(\forall a\in \mathbb{Z}^*_m : a^{\varphi (m) } = 1\)
Was sagt der kleine Satz von Fermat aus?
\(p\in \mathbb{P} : \forall a\in \mathbb{F}^*_p : a^{p-1}=1\)
Wann ist eine UNtergruppe Normalteiler eines Restklassenrings \(\mathbb{Z}^*\)
Wenn die Linksnebenklassen = den Rechtsnebenklassen sind.
das ist immer der fall wenn die \(\mathbb{Z} ^* \) komutativ ist
Was sagt die Dimensinsformel aus?
\(\varphi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}\) sei eine Lineare Abbildung von \(\mathcal{V} \) nach \(\mathcal{W}\) dann gild
\(dim(\mathcal{V} ) = dim (Kern(\varphi)) + dim(Bild(\varphi ))\)
oder \( dim (Kern(A)) =n-rang(A)\)
Wann gild eine Lineare Abbildung?
es muss gelten
\(\varphi(v_1+V_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)\)
und
\(\varphi(\alpha*v) = \alpha * \varphi(v)\)
Was ist die Dimension eines Vektorraums?
dim(Vekotrraum) = Rang (Basis)
Gibe ein beispiel fir den aufbau der Zeilenstufenform an.
1 x 0 0 x x
0 0 1 0 x x
0 0 0 1 x x
für welche Bla bidet B eine basis
Wenn die Vektoren linear unabhängig sind bilden Sie eine Basis.
Linear unabhängig sind Sie wenn die determinante ungleich 0 ist.
Also vorgehen... Determinante bestimmen und gucken was rauskommt.
Wie erhält mann bei einem (n,k) Linearcode die Basis für die lösungsmenge?
Die zeilen der Generatormatrix. z.B.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
l1 = 123
l2 = 456
l3 = 789
Die menge {l1,l2,l3} bildet eine Basis für den Code C
wie wird im chinesischen restsatz das B bestimmt?
B=b*Mi = 1(m)
Wie erkennst du in einem Moduloring Zwelche mögliche Elementarordnunge es geben kann?
Satz von Lagrange... suche Teiler von der Anzahl der Elemente in Z
Z.B. Z11 \(|U| \)Teilt \(|\mathbb{Z}^*|\)
Anzahl Elemente 10 Teiler sind 1,2,5,10
Was sit der Span(a)?
die Menge aller moglichen Linearkombinationen der Vektoren
ai , der Spann von A oder der von A erzeugte Unterraum von V
Was können wir Bei LGS Als äquivalent hinnehmen wenn gild
Spaltenvektoren von A bilden eine BAsis für \(\mathbb{R}^m\)?
<=> \(Kern(\varphi_A)={0}\)
<=>\(\varphi_A\)ist Injektiv
<=>A ist invertirbar
<=>\(det(A)\neq0!\)
<=>\(rang(A) = m\)
ggT von zwei Polynomen bestimmen.
A = B *Q +R
1. A wird durch B in der Polynomdivision gerechent.
2. das ergebnis ist der Quotient Q und das was unten heraus kommt ist das Q
3. Wie beim Euklidischen Algorytmuss dieses Prinzip wiederholen bis 0 herraus kommt.
Wann ist ein Plynom Irreduzibel?
wenn es nur Triviale Teiler besitzt. Wie eine Primzahl.
Wie geht Efizientes Potenzeiren?
1. Dualdarstellung der Exponenten finden.
2
.\(2^{2^0} = 2^1 = 2\)
\(2^{2^1} = 2^2 = 4\) und so weiter rechnen
3. die welche im Dualsystem 1 sind zusammenzählen
\(2^{340}=2^{254+64+16+4}\)und das ausrechnen
Was musst du schreiben wenn gefragt wird ob etwas ein (n,k)-linearcode ist?
C=L(H,0)
n = anzahl der zeilen z.B. 5
k= dimensin(C) = n - Rang(H) "anzahl der spalten" z.B. 5-2=3
Dann ist es ein (5,3) Linearcode
Man spricht von einer Gruppe wenn sie:
- Assoziativ auf M ist, a * (b * c) = (a * b) * c
- ein neutrales Element besitzt
- jedes Element ein Inverses besitzt
man spricht von einer abelschen Gruppe wenn sie:
- eine Gruppe ist
- und zudem kommutativ ist a * b = b * a
was bedeutet:
- kommutativ
- assoziativ
- neutrales Element
- inverses
- kommutativ:a * b = b * a
- assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
- neutrales Element a: a * n = n * a = a
- inversesb : a * b = b * a = n
Man sricht von einer Untergruppe wenn:
Teilmenge U einer Gruppe (G, *) wieder eine Gruppe bildet:
- wenn die Operation *:UxU abgeschlossen auf U ist
- das NEUTRALE Element von G auch Element von U ist
- für jedes a aus U das inverse a^-1 auch in U ist
Wann spricht man von einer Endlichen zyklische Gruppe?
\(G=\langle a \rangle=\{ a^0,a^1,a^2,...a^{n-1}\}\)
Falls a^k = e und k die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt k die Ordnung
des Elementes a.
Es gilt:
Man spricht von einer Zyklischen Gruppe wenn:
es eine erzeugendes element <a> gibt also
\(G=\langle a \rangle=\{ a^m|m\in \mathbb{Z}\}\)
Wei werden Linksnebenklassen von U nach a Definiert für a aus G
die Linksnebenklasse von U nach a als
\(a*U = \{a*x|x\in U\}\)
die Rechtsnebenklasse von U nach a als
\(U*a = \{x*a|x\in U\}\)
Was wird der Index von U in G genannt ud schreibt man [G:U]
Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen.
Was sagt der Satz von Lagrange für endliche Gruppen (G,*) und der Untergruppe U aus G?
H ist untergruppe von G dann
\(=> |H| \mid|G|\)
ord(H) | ord(G)
Was ist ein Homomorphismus
Eine Abbildung \(\varphi : G_1\to G_2\) von einer Grupe \((G_1,\odot)\) in eine Gruppe\((G_1,\otimes)\) wenn \(\forall a,b \in G_1\) gilt:
Muss Total sein( jede element der Unrsprungsmenge muss enthalten sein)
und die Strukturgleichung muss erfüllt sein
\(\varphi(a \odot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)\)
injektiv bedeutet
\(\forall a_i,a_j \in A \) \(a_i \neq a_j : f(a_i) \neq f(a_j)\)
Bijektiv bedeutet
Injektiv und Surjektiv:
Für jedes Element der Zielmenge gibt es genaus ein Element aus der Definitionsmenge
ein Isomarphismus ist ein:
bijektiver Homomorphismus
Also injektiv \(a \neq b \implies \varphi( a) \neq \varphi(b)\)
und surjektiv: zu jedem \(a' \in M_2\) gibt es ein \(a \in M_1\) mit \( \varphi(a) = a'\)
Was ist der Kern eines Homomorphismuses?
Als Kern werden all jene Elemente der Ausgangsmenge bezeichnet, die auf das Einselement der Zielmenge
abgebildet werden.
\(kern(\varphi) = \{x\in G_1 | \varphi(x) =e_2\} = \varphi ^{-1}(\{e_2\})\)
\(kern(\varphi) \)ist Untergruppe von \(G_1\)
\(e_1 \in kern(\varphi)\)
\(\varphi\)ist injektiv gdw. \(kern(\varphi) = \{e_1\}\)
Was ist ein Bild und die Bildmengen
Im Sinne der Algebra ist ein Bild ein Element der Bildmenge. Die Bildmenge ist die Ausgangsmenge einer
Relation. Jedes Element der Linken Menge ist ein Bild.
\(bild(\varphi) = \{y\in G_2 | y=\varphi(x) \text {für ein }x\in G_1\} = \varphi (G_1)\)
\(bild(\varphi)\) ist Untergruppe von\(G_2\)
\(\varphi\)ist surjektiv gdw \(bild(\varphi) = G_2\)
Was ist ein Ring?
Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen
\( \bigoplus: M\times M \to M \) und \(\bigodot : M\times M \to M \)
Welche eingenschaften haben Ringe?
- \((M,\bigoplus) \)ist eine abelsche Gruppe,
- die Verknüpfung \(\bigodot \) ist assoziativ
- und den Distributivgesetzen:
- \(a\bigodot(b \bigoplus c) = (a \bigodot b) \bigoplus (a \bigodot c)\)
- \((a\bigoplus b) \bigodot c = (a\bigodot c) \bigoplus (b \bigodot c)\)
Wann hat ein Ring Nullteiler?
a * b = 0 muss gelten ohne ,dass einer der beiden (a,b) 0 ist.
bsp:
\(( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+,*)\)
2*3 = 6 =0 mod 6
Wann Hat ein Ring Einheiten oder invertierbare Elemente?
Wenn es zu einem Element \(a\in R\) ein Element \(b\in R\)gibt, so das
a * b = 1 und b * a = 1
-
- 1 / 62
-
Lernkarten
War sit eine Carmicel-Zahl?
Eine Pseudoprime zahl zu jeder Basis
Wie funktioniert der Miller-Rabin-Test?
B-Sequenzen bestimmen.
\(m-1=2^s\cdot d\) die bais b wird dann damit Potenziert
\(< b^d , b^{2d},b^{4d},b^{8}...,b^{2^{s}\cdot d}>\)
Z.B m = 97, dann ist s = 5 d = 3.
b = 2 \(<2^3,2^6,2^{12},2^{24},2^{48},2^{96}>=<8,64,22,-1,1,1>\)
Damit das Ergebnis "Prim?" Kommt muss die B-Sequenz folgende Form aufweisen.
<x,x,x,-1,1,1,1...> oder <-1,1,1,1,1> oder <1,1,1,1>
Wie lautet das Untergruppenkriterium?
\(\forall a,b\in G_u ,a^{-1} *b\in G_u \)oder
\(\forall a,b\in G_u ,a*b^{-1} \in G_u \)
Was sagt der Satz von Euler aus?
\(\forall a\in \mathbb{Z}^*_m : a^{\varphi (m) } = 1\)
Was sagt der kleine Satz von Fermat aus?
\(p\in \mathbb{P} : \forall a\in \mathbb{F}^*_p : a^{p-1}=1\)
Wann ist eine UNtergruppe Normalteiler eines Restklassenrings \(\mathbb{Z}^*\)
Wenn die Linksnebenklassen = den Rechtsnebenklassen sind.
das ist immer der fall wenn die \(\mathbb{Z} ^* \) komutativ ist
Was sagt die Dimensinsformel aus?
\(\varphi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}\) sei eine Lineare Abbildung von \(\mathcal{V} \) nach \(\mathcal{W}\) dann gild
\(dim(\mathcal{V} ) = dim (Kern(\varphi)) + dim(Bild(\varphi ))\)
oder \( dim (Kern(A)) =n-rang(A)\)
Wann gild eine Lineare Abbildung?
es muss gelten
\(\varphi(v_1+V_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)\)
und
\(\varphi(\alpha*v) = \alpha * \varphi(v)\)
Was ist die Dimension eines Vektorraums?
dim(Vekotrraum) = Rang (Basis)
Gibe ein beispiel fir den aufbau der Zeilenstufenform an.
1 x 0 0 x x
0 0 1 0 x x
0 0 0 1 x x
für welche Bla bidet B eine basis
Wenn die Vektoren linear unabhängig sind bilden Sie eine Basis.
Linear unabhängig sind Sie wenn die determinante ungleich 0 ist.
Also vorgehen... Determinante bestimmen und gucken was rauskommt.
Wie erhält mann bei einem (n,k) Linearcode die Basis für die lösungsmenge?
Die zeilen der Generatormatrix. z.B.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
l1 = 123
l2 = 456
l3 = 789
Die menge {l1,l2,l3} bildet eine Basis für den Code C
wie wird im chinesischen restsatz das B bestimmt?
B=b*Mi = 1(m)
Wie erkennst du in einem Moduloring Zwelche mögliche Elementarordnunge es geben kann?
Satz von Lagrange... suche Teiler von der Anzahl der Elemente in Z
Z.B. Z11 \(|U| \)Teilt \(|\mathbb{Z}^*|\)
Anzahl Elemente 10 Teiler sind 1,2,5,10
Was sit der Span(a)?
die Menge aller moglichen Linearkombinationen der Vektoren
ai , der Spann von A oder der von A erzeugte Unterraum von V
Was können wir Bei LGS Als äquivalent hinnehmen wenn gild
Spaltenvektoren von A bilden eine BAsis für \(\mathbb{R}^m\)?
<=> \(Kern(\varphi_A)={0}\)
<=>\(\varphi_A\)ist Injektiv
<=>A ist invertirbar
<=>\(det(A)\neq0!\)
<=>\(rang(A) = m\)
ggT von zwei Polynomen bestimmen.
A = B *Q +R
1. A wird durch B in der Polynomdivision gerechent.
2. das ergebnis ist der Quotient Q und das was unten heraus kommt ist das Q
3. Wie beim Euklidischen Algorytmuss dieses Prinzip wiederholen bis 0 herraus kommt.
Wann ist ein Plynom Irreduzibel?
wenn es nur Triviale Teiler besitzt. Wie eine Primzahl.
Wie geht Efizientes Potenzeiren?
1. Dualdarstellung der Exponenten finden.
2
.\(2^{2^0} = 2^1 = 2\)
\(2^{2^1} = 2^2 = 4\) und so weiter rechnen
3. die welche im Dualsystem 1 sind zusammenzählen
\(2^{340}=2^{254+64+16+4}\)und das ausrechnen
Was musst du schreiben wenn gefragt wird ob etwas ein (n,k)-linearcode ist?
C=L(H,0)
n = anzahl der zeilen z.B. 5
k= dimensin(C) = n - Rang(H) "anzahl der spalten" z.B. 5-2=3
Dann ist es ein (5,3) Linearcode
