c2b_default

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Formeln und Anwendungen

Formeln und Anwendungen

9
0.0 (0)
D. G.
Lernen
D. G.
Diese Karteikarten behandeln das Thema exponentielles Wachstum und Zerfall auf Mittelschulniveau. Sie erklären, wie Größen wie die Anzahl Bakterien oder der Wert eines Geräts über Zeiträume wie Wochen, Tage oder Jahre wachsen oder abnehmen. Der Fokus liegt auf dem Verständnis von Wachstumsfaktoren, Ausgangsgrößen und der Berechnung von Endwerten. Schüler lernen, exponentielles Wachstum anhand von Tabellen zu erkennen und praktische Anwendungen, wie Zinsberechnungen oder Wertverluste, zu verstehen.
Karten
9
Lernende
1
Sprache
Deutsch
Kategorie
Mathematik
Stufe
Mittelschule
Erstellt / Aktualisiert
21.12.2016 / 07.01.2017
  • 1  / 9

Lernkarten

Woran erkennt man, ob eine Grösse (z.B. Anzahl Bakterien) exponentiell zunimmt?

Gegeben der Anfangswert A, die Anzahl Zeiteinheiten n, und der Wachstumsfaktor q.

Wie berechnet man anhand dieser Grössen den Endwert E bei exponentiellem Wachstum?

\(E = A * q^n\)

Dieser Zusammenhang kann auch in folgender Form dargestellt werden: \(E(t) = A*q^t\)

Dabei wird deutlich, dass der Endwert eine Funktion der Zeit t ist. Der Bestand (z.B. die Anzahl Bakterien) hängt davon ab, wieviel Zeit seit Beginn der Beobachtung verstreicht.

Eine Grösse wächst pro Zeiteinheit exponentiell mit dem Wachstumsfaktor q = 2.

Was bedeutet das?

Man weiss, dass eine Grösse pro Tag um 2% zunimmt.

Bestimme daraus den Wachstumsfaktor q pro Tag.

Max zahlt 2'000 Fr auf ein Sparkonto ein. Ihm wird ein  fixer Jahreszins von 2.5% zugesagt.

Er hebt in den folgenden Jahren nichts ab und zahlt nichts ein. Wie gross wird sein Kapital nach:

a) einem Jahr

b) zwei Jahren

c) fünf Jahren          sein?

 \(2000*1.025^1 = 2050 \\ 2000*1.025^2 = 2101.3 \\ 2000*1.025^5 = 2262.8 \)

Eine bestimmte Grösse (z.B. eine Anzahl Bakterien) wächst pro Woche um 20%.

a) Erkläre, wie gross der Wachstumsfaktor (q) pro Woche sein muss.

b) Berechne, wie gross der Bestand (z.b. die Anzahl der Bakterien) nach 10 Wochen sein wird

a) Nach 1 Woche hat man 100% + 20% der Ausgangsgrösse A; q = 120% = 120/100 = 1.2, somit 1.2*A

     Nach 2 Wochen hat man 120% von 120% der Ausgangsgrösse A; d.h. 1.2 * 1.2 = 1.22, somit 1.44*A

b) Nach 10 Wochen hat man 1.210 *A = 6.19 * A, also schon mehr als das 6-fach der Ausgangsgrösse.

 

 

Anna hat ein Notebook für Fr 1'450 gekauft.

Eine grobe Regel sagt, dass das Gerät pro Jahr jeweils die Hälfte an Wert verliert.

Wieviel ist das Gerät noch wert, nach:

a) 1 Jahr

b) 2 Jahren

c) 5 Jahren

 

a) 1450 * 0.5 = 725

b) 1450 * 0.52 = 362.50

c) 1450 * 0.55 = 45.30

\(\begin{array}{c|c} t& 0 & 10 & 20 & 30 & 40 \\ \hline y(t) & 1 & 3 & 5 & 7 & ... \end{array} \)

Welche Art von Wachstum wird durch diese Tabelle beschrieben?

\(\begin{array}{c|c} t & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 \\ \hline y(t) & 1 & 2 & 4 & 8 & ... \end{array}\)

Welche Art von Wachstum wird mit dieser Tabelle dargestellt?

Lernen