WT
wichtigste
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Kartei Details
| Karten | 65 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 10.03.2015 / 15.04.2015 |
| Weblink |
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Def
Kongruente Mengen
A,B Teilmengen aus R^n für n größergleich 1
Satz zu Maßfunktion (mit Potenzmenge)
keine Maßfkt für n größergleich 1 (bei Potenzmenge)
Def
(Sigma-) Algebra
Omega nicht leer, beliebig, P(Omega)
--> Maßfkt. i.A. nicht auf ganzer Potenzmenge def. nur auf Teilmengen --> baruchen bestimmte Struktur --> Einführung von Sigma-Algebren
Def
Messbare Mengen, Messraum
A Sigma-Algebra
Def
Inhalt, Maß
Omega nicht leer, C Teilmenge von P(Omega) mit Leerer Menge in C
Fkt von C auf Intervall [0, unendlich]
Begriffsdef
- Maßraum
- endliches Maß, endlicher maßraum
- W-Maß, W-raum
Begriffsdef
Def
Borelsche Sigma-Algebra
(Omega, d) metrischer Raum
--> Ziel: Sigma-Algebren auf metr. Räumen def
Beispiele zu Borelschen Sigma-Algebren
R^n mit euklidischer Metrik
Def
Gleichverteilung, Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum
Omega nicht leer, endlich
Beispiel Gleichverteilung (Fairer Würfel)
Fairer Würfel
Beispiel Gleichverteilung (Wiederholter Münzwurf)
Münzwurf
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Unfaire Münze)
Unfaire Münze
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Mehrfaches Werfen einer unfairen Münze)
Unfaire Münze
Def
Binomialverteilung
definiert auf N_0 (Ntürliche Zahlen inklusive 0)
Beispiel Binomialverteilung (Ankreuztest)
Anzreuztest
Def
Zählmaß, Dirac-Maß
Omega nicht leer
Def
Zähldichte
reelle Zahlenfolge
Beispiel Zähldichte (Poissonverteilung)
zugehörige W-maß zur Dichte: Poissonverteilung
Beispiel Pois und Binom (Zellenbelegung)
Zellenbelegung
Def
Sigma-Stetigkeit (von unten und von oben)
A_i Teilmengen aus Omega
Def
lim sup / lim inf für Mengen
Wahrscheinlichkeitsraum
Lemma von Borel-Cantelli Teil 1
W-raum
Falls die A_n hinreichend disjunkt --> fast alle Ereignisse aus Omega sind in nur endlich vielen A_n
Def
Halbring
H Teillmenge von P(Omega) (Potenzmenge von Omega)
Satz zu Halbring und Sigma-endliches Maß
H Halbring über Omega, Omega nicht leer, my (Abb von H aus) ein Sigma-endliches Maß
! Jedes Sigma-endliche Maß auf einem Halbring H lässt sich zu einem Maß auf Sigma(H) eindeutug fortsetzen.
Kor zu Halbring und Sigma-endllichen Maßen
H Halbring, A=Sigma(H), my, ny (Abb. von A aus) zwei Sigma-endliche Maße mit Eigenschaft my(A)=ny(A) für alle A Teilmenge von H
! Sigma-endliche Maße sind durch ihr Verhalten auf Durchschnitt-stabilen Erzeugendensytemen eindeutig bestimmt.
Beispiel zu Fortsetzung von Maßen
Beispiel
Beispiel Lebesgue-Maß
Beispiel
Def
my-Nullmenge, my-fast alle Gültigkeit
(Omega, A, my) ein Maßraum
Def
Vollständiger Maßraum
Maßraum (Omega, A, my)
Def
Gleichverteilung
Omega aus B^n
Def
Verteilungsfunktion
Funktion F (Abb von R aus)
Satz zu Verteilungsfunktion
Für alle W-maße P auf B ex genau eine Verteilungsfunktion F
Def
Bedingte Wahrscheinlichkeit
W-raum mit A,B und P(B)>0
P(A|B) Wahrscheinlichkeit von A unter er Bedingung B
Satz zu Bedingter W-keit (Eigenschaften)
W-raum, B mit P(B)>0
Eigenschaften
Satz
i) Formel von der totalen W-keit
ii) Formel von Bayes
W-raum, B_i höchstens abzählbare Zerlegung von Omega, B_i paarweise disjunkt und P(B_i)>0 (für alle i)
Beispiel (Alarmanlage)
W-keit Alarm und Einbruch
Stichprobe mit Reihenfolge mit Zurücklegen
Gleichverteilung
Stichprobe mit Reihenfolge ohne Zurücklegen
Gleichverteilung
Stichprobe ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen
Gleichverteilung
Stichprobe ohne Reihenfolge mit Zurücklegen
.
