Geometrie
Kartei Details
| Karten | 39 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 08.07.2015 / 02.11.2022 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/vektorgeometrie_betrag_summe_differenz_von_vektoren
|
| Einbinden |
<iframe src="https://card2brain.ch/box/vektorgeometrie_betrag_summe_differenz_von_vektoren/embed" width="780" height="150" scrolling="no" frameborder="0"></iframe>
|
Wie bestimmt man, ob drei Punkte auf einer Gerade liegen?
Zwei (verschiedene) Vektoren zwischen zwein der drei Punkte bilden ("Endpunkt minus Anfangspunkt") und prüfen, ob diese kollinear sind.
Sind zwei kollineare Vektoren linear abhängig oder unabhängig?
Zwei Vektoren sind genau dann kollinear wenn sie linear abhängig sind.
wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkt der Strecke AB mit:
A(1/-2/5), B(5/2/-1)
\(M,AB = ({1+5 \over 2}/{-2+2 \over 2}/{5-1 \over 2})=(3/0/2)\)
Wie erhält man einen Vektor mit gegebenem Anfangs- und Endpunkt?
Die Komponenten des Vektors sind die Differenzen der entsprechenden Koordinate der beiden Punkte, und zwar jeweils vom
Endpunkt minus Anfangspunkt
Wie sieht man an den Komponenten, ob zwei Vektoren parallel sind?
Jede Komponente des einen Vektors muss geteilt durh die entsprechenden Komponente des andern Vektors stets dieselbe Zahl ergeben.
Wann heissen mehrere Vektoren linear abhängig?
Mehrere Vektoren heissen linear abhängig wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
Wenn das nicht möglich ist, heissen sie voneinander linear unabhängig.
\(\overrightarrow{v}= \pmatrix{1\\2\\-2}\)
\(/\overrightarrow{v}/ = {\sqrt{1+4+4} } = {\sqrt{9} } = 3\)
Wie berechnet man den Differenzvektor zweier Vektoren, deren Komponenten gegeben sind?
\(\pmatrix{a\\b\\c}- \pmatrix{u\\v\\w}= \pmatrix{a-u\\b-v\\c-w}\)
Was ist der Gegenvektor eines Vektors und wie wird er berechnet?
Der Vektor, der gleiche Länge, gleiche Richtung, aber umgekehrte Orientierung hat.
Man ändert das Vorzeichen aller Komponenten.
Zu\(\overrightarrow{a}\)lautet der Gegenvektor also
\(-1 * \overrightarrow{a}= -\overrightarrow{a}\)
Wie bestimmt man die vierte Ecke eines Parallelogramms aus drei gegeben Ecken?
Den Vektor zwischen zwei der drei Ecken berechnen und zum Ortsvektor der dritten Ecke addierenm ergibt den Ortsvwktor der gesuchten vierten Ecken ( sechs Möglichkeiten, von welchen je zwei dieselbe der drei verschiedenen Lösungen liefern, Skizze hilft!)
Welche geometrische Abbildung ist durch einen Vektor eindeutig festgelegt?
Verschiebung (Translation)
Was kann man über die Linearkombination linear unabhängiger Vektoren sagen, die den Nullvektor ergibt?
Alle Skalare der Linearkombination sind Null.
Wie erhält man einen Vektor, der in die Richtung der Winkelhalbierenden zweier Vektoren zeigt (wenn diese mit ihren Anfangspunkten aufeinander gelegt werden)?
Man addiert (und subtrahiert, wenn auch die Winkelhalbierende des Aussenwinkels gesucht ist) die beiden Vektoren, die allerdings gleich lang sein müssen.
Falls sie noch nicht gleich lang sind multipliziert man jeden Vektor mit der Länge des andern (oder teilt ihn durch seine eigene).
Begründung: Diagonalen im Rhombus!
Welcher Punkt hat als Koordinanten genau das arithmetische Mittel der Kordinaten von drei Punkten?
Der Schwerpunkt des Dreiecks, dessen Ecken die drei Punkte sind.
Was ist ein Ortsvektor und welche Besonderheit erfüllen siene Komponenten?
Ein Vektor, dessen Anfangspunkt der Koordinatenursprung ist. (Also nicht frei verschiebbar!)
Seine Komponenten entsprechen den Koordinaten des Endpunktes, als dessen Ortsvektor man ihn bezeichnet,
Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke, wenn die Koordinaten der Endpunkte gegeben sind?
Die Koordinaten des Mittelpunkts sind jeweis das arithmetische Mittel der entsprechenden Koordinaten der Endpunktes:
\(M_{AB} = ({X_A + X_B \over 2}/{Y_A + Y_B \over 2}/{Z_A + Z_B \over 2})\)
Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks, wenn die Koordinaten der drei Ecken gegeben sind?
\(S_{dreieckABC}= ({X_A + X_B+X_C \over 3}/{Y_A + Y_B+Y_C \over 3}/{Z_A + Z_B+Z_C \over 3})\)
Welche geometrischen Eigenschaften legen einen Vektor eindeutig fest?
- Richtung (parallel wozu)
- Länge (wie lang)
- Orientierung (wie herum)
Berechne die Länge des Vektors
\(\overrightarrow{v}= \pmatrix{6\\2\\-3}\)
\(/\overrightarrow{v}/ = {\sqrt{36+4+9}}= {\sqrt{49}}=7\)
Können zwei Vektoren Komplanar sein?
Ja. Sind sie immer.
(Wähle gemeinsamen Anfangspunkt. Zusammen mit den Endpunkten sind es drei Punkte, die eine Ebene festlegen. Falls kollinear, nicht eindeutig.)
Können drei Vektoren Kollinear sein?
Ja. Sie müssen aber nicht unbedingt.
Was heisst geometrisch drei Vektoren sind komplanar?
Mehrere Vektoren heissen komplanar, wenn es eine Ebene gibt, zu der sie alle parallel sind.
Sind drei kompalare Vektoren linear abhängig oder unabhängig.
Linear abhängig.
Wie bestimmt man den Diagonalenschnittpunkt eines Parallelogramms?
Da sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren, ist der Diagonalnschnittpunkt Mittelpunkt jeder Diagonalen. Also einfach den Mittelpunkt zwischen zwei gegenüberligenden Ecken des Parallelogramms berechnen )je das arithmetische Mittel der sich entsprechenden Koordinaten dieser Ecken.)
Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate:
\(\overrightarrow{v}= \pmatrix{a\\b\\c}=/\overrightarrow{a}/= \sqrt{a^2+b^2+c^2} \)
("räumlicher Pythagoras")
Wie berechnet man den Summenvektor zweier Vektoren, deren Komponenten gegeben sind?
Komponentenweise addieren:
\(\pmatrix{a\\b\\c} + \pmatrix{u\\v\\w} =\pmatrix{a+u\\b+v\\c+w}\)
Wie sieht man an den Komponenten, ob zwei Vektoren linear abhängig sind?
Jede Komponente des einen Vektors muss geteilt durch die entsprechende Komponente des andern Vektors stets dieselbe Zahl ergeben.
Was ist eine Linearkombination von Vektoren?
Die Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren.
Was bedeutet die Addition zweier Vektoren geometrisch?
Die Translationen werden hintereinander ausgeführt.
Es ist die Diagonale im Vektorparallelogramm von der Ecke mit den beiden Anfangspunkten zur Ecke mit den beiden Endpunkten.
Der Anfangspunkt des einen Vektors wird auf den Endpunkt des andern Vektors gelegt und der Summenvektor zeigt vom Angangspunkt des zweiten zum Endpunkt des ersten Vektors.
Wie bestimmt man in der Vektorgeometrie Teilungsverhältnisse einer Figur aus gegeben Teilungsverhältnissen (wenn Strahlensatz oder anderes nicht funktioniert)?
Soll in einer Figur bestimmt werden, welches Verhäñtnis zwei Streck zueinander haben, und sind die Verhältnisse von anderen Strecken zueinander bekannt:
- wähle zwei bzw. drei (im Zweidimensionalen bzw. Dreidimensionalen) Vektoren, die linear unabhängig sind.
- Suche einen geschlossenen Weg (dessen Teilstücke die gefragten Strecken oder Ergänzungen von diesen enthalten).
- Drücke alle Teilstrecken des Wegs durch die zu Beginn gewählten Vektoren aus.
Weil die gewählten Vektoren linear unabhängig sind, der geschlossene Weg sich aber zum Nullvektor addiert, gilt, dass sämtliche Koeffizienten Null sein müssen. Damit hat man ein Gleichungssystem für die gesuchten Verhältniszahlen.
Wodurch ist ein Vektor eindeutig festgelegt?
Länge, Richtung, Orientierung
oder
Anfangs- und Endpunkt
oder
Komponenten (zwei bzw. drei)
Wie bestimmt man den Diagonalenschnittpunkt eines Parallelogramms?
Da sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren, ist der Diagonalenschnittpunkt Mitteslpunkt jeder Diagonalen. Also einfach den Mittelpunkt zwischen zwei gegnüberliegenden Ecken des Parallelogramms berechnen (je das arithmetische Mittel der sich entsprechenden Koordinaten dieser Ecken.)
Wie berechnet man das skalare Vielfache eines Vektors, wenn der Skalar und die Komponenten des Vektors, wenn der Skalar und die Komponenten des Vektors gegeben sind?
Komponentenweise mit dem Skalar multiplizieren:
\(s* \pmatrix{a\\b\\c} = \pmatrix{s*a\\s*b\\s*c}\)
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte, von denen die Koordinaten bekannt sind?
Man berechnet die Länge eines Vektors zwischen den beiden Punkten.
Konkret:
Die Wurzel aus der Summe der Quadrate entsprechender Koordinatendiffernzen.
\(\overline{AB}=/\overrightarrow{AB}/= {\sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2+(Z_B-Z_A)^2}}\)
Was ist ein skalares Vielfaches eines Vektors?
Wird ein Vektor mit einem Skalar s multipliziert, so entsteht ein Vektor, der:
- parallel zum ursprünglichen Vektor liegt
- die s - fache Länge dieses Vektors besitzt
- gleich bzw. umgekehrt orientiert ist wie dieser, je nachdem ob s positiv oder negativ ist.
Wie bestimmt man, ob zwei Vektoren parallel sind?
Jede Komponente des einen Vektors muss geteilt durch die entsprechende Komponente des andern Vektors stets dieselbe Zahl ergeben.
Berechne die Länge des Vektors
\(\overrightarrow{v}= \pmatrix{12\\-5\\}\)
\(/\overrightarrow{v}/ = {\sqrt{12^2+(-5)^2}} ={\sqrt{169}} =13\)
Was bedeutet die Subtraktion zweier Vektoren geometrisch?
Es ist die Diagonale im Vektorparallelogramm zwischen den beiden Ecken mit je einem Anfangs- und einem Endpunkt, und zwar zu dieser Ecke, wo der Endpunkt des Minuenden ist.
Der Anfangspunkt des Gegenvektors des zu subtrahierenden Vektors wird auf den Endpunkt des andern Vektors gelegt und der Differenzvektor zeigt vom Anfangspunkt des zweiten zum Endpungkt des ersten Vektors
Wie bestimmt man, ob ein Viereck ein Parallelogramm ist?
Einen Umlaufsinn für das Viereck wählen und dann die Vektoren zwischen der ersten und zweiten sowie vierten und dritten (!) Ecke in der gewählten Reiehnfolge berechnen. Nur, wenn diese beiden Vektoren gleich sind, handelt es sich um ein Parallelogramm.
