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Statistik 4

Wharscheinlichkeitstheorie 1

Wharscheinlichkeitstheorie 1

33
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Kartei Details

Karten 33
Sprache Deutsch
Kategorie Psychologie
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 11.01.2016 / 03.01.2023
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Menge:

Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einem Ganzen, die einzelnen Objekte sind Elemente

x ist Element der Menge A (Schreibweise):

x∈A 

y ist nicht Element der Menge A (Schreibweise):

y∉A 

Teilmenge:

  • A ist die Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B ist. 

  • Schreibweise: A ⊂ B 

Schnittmenge:

  • Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente, 
 die sowohl in A als auch in B sind. 

  • Schreibweise: A ∩ B 

Vereinigungsmenge:

  • Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente, 
 die in A oder in B sind 

  • Schreibweise: A∪B 

Differenzmenge:

  • Die Differenzmenge B \ A ist die Menge aller Elemente, 
 die in B aber nicht in A sind. 

  • Schreibweise: B \ A 

Komplementärmenge:

  • Für A ⊂ Ω ist die Komplementärmenge A von A bzgl. Ω die Menge aller Elemente von Ω, die nicht in A sind. 
  • Schreibweise: A=Ω\A 

Potenzmenge:

  • Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A 

  • P ( A ) = {M : M ⊂ A} 

Zufallsvorgang:

  • führt zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschliessenden Ergebnissen 

  • Zufallsexperiment: 

  • Zufallsvorgang, der unter kontrollierten 
 Bedingungen abläuft 

  • möglichen Ergebnissen 

  • Zufallsvorgang mit den möglichen Ergebnissen ω1, ω2, ..., ωK 

  • Ergebnisraum 

  • (auch Stichprobenraum): Ω = {ω1, ω2, ..., ωK} 

  • = Menge aller Ergebnisse ωi , i = 1,...,K, eines Zufallsvorgangs. 

  • Beispiele:

  • —  Münzwurf

  • —  Einmaliges Würfeln

  • Ω = {Kopf, Zahl}
    Ω = {1,2,3,4,5,6}
    Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} 

  • —  Zweimaliges Würfeln

  • (Zufalls-)Ereignis: 

  • Zusammenfassung mehrerer Ergebnisse eines Zufallsvorgangs (nach bestimmten Kriterien), Teilmengen von Ω 

  • Elementarereignisse: 

  • einelementige T eilmengen von Ω, 
 d.h. {ω1}, {ω2}, ..., {ωK} 

  • ω ∈ A 

  • Das Ereignis A tritt ein 

  • ω ∉ A 

  • Das Ereignis A tritt nicht ein 

  • A = ∅ 

  • unmögliches Ereignis 

  • A = Ω 

  • sicheres Ereignis 

  • disjunkte Ereignisse 

  • A ∩ B = ∅ 

Laplace-Experiment

Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse 


gleichwahrscheinlich sind 

Permutation:

  • Alle Kugeln einer Urne werden unter Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.
  • Anzahl der möglichen Anordnungen (= Permutationen) der k Objekte unter Berücksichtigung der Reihenfolge: k! 

Fakultät

  • Die Fakultät einer natürlichen Zahl k ist definiert als
  • Es gilt: 1! = 1

k ! = k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2 ) ⋅ ... ⋅ (k − (k − 1)) 0! = 1 

Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge: 

K = kn

k : Anzahl der möglichen Einzelergebnisse

n : Anzahl der Ziehungen

Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge: 

 \(K= {k!\over (k-n)!}\)

Anzahl K der möglichen Stichproben bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: 

\(K = {k!\over (k-n)! * n!}\)

Binomialkoeffizient 

Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:

\(K = {(k + n-1)!\over (k-1)! * n!}\)

Axiome von Kolmogoroff

  • Anforderungen an die Zahlenzuordnung zur Bewertung der Chancen eines Ereignisses

  • Erfüllen bestimmte Zahlenzuordnungen die Axiome, so spricht man von Wahrscheinlichkeiten. 

Bernoulli-Theorem:

(„Schwaches Gesetz der grossen Zahlen“):

„Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit h(A) von der 

tatsächlichen Wahrscheinlichkeit P(A) um weniger als eine beliebig kleine Differenz (ε) abweicht, geht gegen 1, wenn der Stichprobenumfang (n) gegen unendlich geht.“ 

pendelt sich ein

Bedingte Wahrscheinichkeiten:

  • Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A, 
 wenn ein Ereignis B bereits eingetreten ist. 

  • \(P (A|B) = {P (A ∩ B) \over P(B)}\), P(B) > 0 

Stochastisch unabhängig:

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:

P  (A|B) = P(A)

P (B|A) = P(B)

Multiplikationstheorem für 
 unabhängige Ereignisse:

P (A∩B) = P(A)⋅P(B) 

Bayes-Theorem:

(auch Satz von Bayes)

\(P(A|B) = {P(B|A)⋅P(A) \over P(B | A) ⋅ P(A) + P(B | A) ⋅ P(A)}\)

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