Mathematik

Zahlwortbildung:

1.  Lernen 1-12
2.  Lernen 13-20 (Immer einer und dann Zehner nennen)
3.  Lernen 30-40-50 (Immer mit zig)
4.  Lernen 21,22,23 (Gleich wie 13-20 aber mit "und")
5.  Lernen ab 100 (Richtungswechsel zuerst Hunderter, dann Einer, dann Zehner nennen)

Zählfehler:
Häufig werden Zahlen ausgelassen. Das verbale Zählen stellt hohe Anfordderung an das Arbeitsgedächtnis und eine nachlassende Konzentration beim Zählen kann zu diesen Auslassungen führen. Besondere Form der Zahlauslassung:

1. Zahlen mit gleichen Ziffern (Schnappszahlen):
   Wenn Kinder die Vorgänger einer solchen Zahl aussprechen (z.B. 3 und vierzig) finden sich zwei Zahlwörter in der bekannten Reihung. Dies lässt die Kinder vermuten, dass als als nächste Zahl die 5 kommt. In der Folge wird die 44 ausgelassen und die 45 als nächste Zahl genannt.
    
2. Erfindung neuer Wörter:
   Die meisten Sprachen fangen mit der vorderen Zahl an & enden mit der hinteren. (dix-sept) aber bei uns im Deutschen ist dies anders: Sieb-Zehn! Deshalb kommt es zu Fehlern wie Einzig (10), Zehnwei (12), Achtungsechzig (86) etc.
    
3. Schwierigkeiten beim Übergang über den Zehner:
   Anstelle von 29 oder 39 wird z.B. das Zahlwort "Neunzig" genannt! (Letzte Zahl wird genommen und "zig" hintendran gehängt)
    

Die verschiednen Bedeutungszusammenhänge von Zahlen werden in der Mathematikdidaktik unter dem Oberbegriff "Zahlaspekt" zusammengefasst. Für die Entwicklung eines umfassenden Zahlbegriffs ist es unabdingbar, dass Kinder Beziehungen zwischen den folgenden verschiedenen Zahlaspekten erkennen bzw. herstellen können.

• Kardinalaspekt:
  - Zahlt gibt Anzahl einer Menge an
  - Antwort auf: Wie viel?
   
• Ordinalzahlaspekt:
  - kennzeichnet Position in einer festen Reihenfolge (Ordunung)
  - Antwort auf: Der Wievielte?
   
• Masszahlaspekt:
  - Zahlen bekommen durch Masseinheit neue Bedeutung (3min - 3 meter)
  - Zahl sagz nur etwas aus als mit Mass (3kg Kirschen nicht dasselbe wie 3)
   
• Operatoraspekt:
  - beschreibt Wiederholungen von Vorgängen
  - Antwort auf: Wie oft? (einmal, zweimal..)
   
• Rechenzahlaspekt:
  - stehen algebrischen Gesetzmässigkeiten im Mittelpunkt bsp. 3+4 = 4+3
   
• Codierungsaspekt:
  - Zahlen in Telefonnummer, Autokennzeichen

1. Ebene: "Basisfertigkeiten"
   Unterscheiden von kleinen Anzahlen (1-4 Elementen) und das Vergleichen von Mengen im Sinn von "gleich viel, mehr, weniger etc.)
    
2. Ebene: "Anzahlkonzept"
   Erkenntnis, dass Zahlwörter Mengen repräsentieren bzw. das Mengen mit Zahlwörter beschreiben werden & bestimmt werden.
    
3. Ebene: "Mengenrelation als Anzahlen"
   Auf dieser Ebene vollzieht sich der Übergang zu einem arithmetischen Verständnis von Zahlen, Kinder erkennen, dass sich eine bestimmte Anzahl aus (zwei) anderen Anzahlen zusammensetzet und dass dies mit Zahlwörtern beschreiben werden kann. (5 Plättchen kann man in 2 und 3 aufteilen)

• Förderung Zählfertigkeiten (Grundbaustein des Rechnens):
  Zahlenlieder, Zahlenreihe aufsagen, Vereinfachtes Leiterlispiel
• Anzahlbestimmung (Erkenntnis, da Zahlwörter Mengen repräsentieren):
  Zahlen auf dem Bauernhof
• Verschiedene Zahlaspekte (Kardinal, Ordinal, Massanzahl, Codierung, Rechenzahl etc.)
  Jasskarte mit Sternen = Wie viele Sterne? , Telefonnummern, Preise etc.
• Teil-Ganzes-Konzept (Teilen & wieder zusammenfügen):
  Würfelpunkte : Insgm 6 Punkte: 3 Rote 3Weisse = 3x2=6

Zählkompetenz kann mach auch fördern durch Zählen ohne Zählhandlungen: Klatschen, Hüpfen, Stampfen etc.
Im Unterricht sollten also mit und ohne Zählhandlungen vorkommen (grosse Herausforderung für Kinder)!)

Konzeptionen elemanterer mathematischer Bildung sollte einerseits die mathematischen Inhalte dem Alter der Kinder entsprechend praktisch und konkret dargeboten werden, andererseits sollte aber auch darauf geachtet werden, dass fachliche Grundideen klar und anschlussfähig erfahrbar gemacht werden können. Vor allem sollte man darauf achten das Kinder mit unterschiedlichen Kompetenzniveaus miteinander spielen, lernen und arbeiten können.

Es gibt zwei konzeptionelle Richtungen:

• Trainings- bzw. Förderprogramme:
  Mit Trainingsprogramm "Entdeckung im Zahlenland" & "Komm mit ins Zahlenland" liegen zwei ähnliche Konzeptionen vor. Beide Konzeptre verfolgen das Ziel, einen Zahlenbegriff in ganzheitliche gestalteten Lerneinheiten aufzubauen und gestützt durch sinnliche Erfahrungen. Hilfsmittel sind Platten mit aufgemalten Ziffern. Das Hauptproblem ist die hohe emotionale Beziehung, die mit den Zahlen aufgebaut werden soll & das eine ständige Präsenz der Lehrerin voraussetzung ist. 
   
• Bewusstes Nutzen von natürlichen Lernsituationen:
  Natürliches Lernen ist im Gegensatz zu schulischem Lernen gekennzeichnet druch "ein hohes Mass" an Eigenaktivität, Sachinteresse, relativ grosse und andauernde Konzentration, verstärkte Einprägung etc.
  Man geht dabei gezielt mit einzelnen Situationen um & möchte nicht möglichst viel "durchquetschen". Denn vieles, mit dem die Kinder spielen und was sie bearbeiten, beinhaltet mathematische Vorerfahrung. Gute Beispiele für diese Konzeptrion sind "Mathe-Kings" oder "zahlenbuch".

Studie: SpiMaF = Spielintegrierte Mathematische Frühförderung

• 35 KG wurden in 3 Gruppen unterteilt (2x Interventionsgruppe 1x Kontrollgruppe)
• Beide Interventionsgruppen während 8 Wochen 3x wöchtenlich 30 Minuten mathematisch gefördert
  1. Interventionsgruppe gefördert mit: Mengen zählen Zahlen (mZZ)
  2. Interventionsgruppe geförder mit: Spielintegriertes Fördern (anhand 12 verschiedenen Spielen)
• Kontrollgruooe: Erhielt keine besondere mathematische Förderung, die LP setzte Unterricht wie gewohnt fort.

Resultate:

Die Kinder mit spielintegrierter Frühförderung (SpiF) lernen mindestens so gut wie mit dem Training. Die Lernfortschritte, welche die Kinder der drei Gruppen im Verlauf der Interventionszeit erzielt haben, sind deutlich:

• SpiF Gruppe deutlich mehr gelernt als Kontrollgruppe
• mZZ Gruppe nicht besser abgeschnitten als Kontrollgruppe
• Vom mZZ profitieren vor allem Kinder mit geringem mathematischem Vorwissen
• Von SpiF profitieren alle Kinder, unabhägig von Vorwissen/Lernstand

Kernaussage:

Spielintegriertes Fördern im KG ist sehr wichtig und man erzielt damit die gleichen Ergebnisse wie mit einem Trainigsprogramm. Es geht also aus didaktischer Sicht auch mit etwas weniger Verschulung. Die Spiele lassen sich einfacher an die Förderung des Rechnens bei fortgeschrittenen Kindern anwenden. Wichtig ist, dass die SPiele passend auf die frühen mathematischen Fähigkeiten der Kinder abgestimmt sind. Sie sollten unterschiedliche mathematische Aktivitäten fördern.

Kompetenzerwerb in Klassenstufen

Zu den Lernzielen des Mathematikunterrichts gehört auch der Erwerb geomatrischer Fähigkeiten und Fertigkeiten. Diese stehen in enger Beziehung zum räumlichen Denken. Es gibt verschiedene Stufen beziehungsweise Phasen des Lernprozesses, die Kinder beim geometrischen Lernen durchlaufen:

• Niveaustufe 0 (räumlich-anschauungsgebundenes Denken):
  Kinder erfassen und erkennen eine geometrische Figur als Gestalt. Erkennen aber Eigenschaften & Bestandteile der Figur nicht!
  Können z.b. gerade Linien von gewellten Linien unterscheiden, aber nicht Oval und Kreis.
   
• Niveaustufe 1 (visuelles Denken)
  Die Kinder können nun die Objekte anhand der Wahrnehmung nach sichtbaren Merkmalen beschreiben & erkennen Charakteristisches! z.B. Was passt zum Kreis? Oval, Dreieck oder Quadrat.

Spielerische mathematische Aktivitäten KG:

• geometrische Formen kennenlernen (Mosaik-Künstler = Blatt in 3 Stücke schneiden & Formen legen)
• Legen & bauen (Bauen ohne zu sehen = 1 SuS etwas vorbauen & dem zweiten beschreiben & nachbauen)
• Grunderfahrung Symmetrie (Spiegel-Spiel= 5 Plättchen & Spiegel so hinhalten dass 7 Plättchen zusehen)
• Orientierung im Raum (Wo bin ich? Kind beschreibt Weg & andere müssen gedanklich folgen)
• Motorische Grundfertigkeiten: (Rechte Hand auf linkes Knie)

Römisches Zahlensystem:

• Zuerst werden die Tausender notiert, dann die Hunderter, dann die Zehner & dann die Einer
• Falls zu D Hunderter bzw. zu L Zehner bzw. zu V Einer hinzugezählt werden sollen, stehen diese rechts von D bzw. L bzw. V.
• Ein Zeichen I, X oder C darf nur von dem jeweils Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden, man notiert das abzuziehende Zeichen dann unmittelbar links vor dem zu vermindernden Zeichen
• Unter beachtung der ersten drei Regeln müssen möglichst wenige Zeichen geschrieben werden

In der römischen Zahlschrift hat also jedes Zahlzeichen im Wesentlichen einen festen Wert, unabhängig von der Stellung im Zahlwort. Den Zahlwert eines mehrstelligen Zahlwortes erhalten wir im Wesentlichen durch Addition. Eine Null ist in der römischen Zahlschrift daher nicht notwendig. Wegen der Rehung werden die Zahlwörter allerdings oft recht lang und unübersichtlich.

Heutige Zahlenschrift:

Wir benutzen heute die Darstellung des Bündelungszeichens. Dies wird dadurch erreicht, dass den Zahlzeichen nicht ständig ein fester Zahelnwert zugeordnet wird. Vielmehr ist der Wert der Ziffern je nach Stellung im Zahlwort äusserst unterschiedlich.

• Die Ziffer gibt uns die Anzahl der Bündel betreffenden Mächtigkeit an (Zahlenwert der Ziffer)
• Die Stellung der Ziffer des Zahlwortes gibt die Mächtigkeit des zugehörigen Bündels an (Stellenwert der Ziffer)

Problem: Wortform (dreiundvierzig) Zifferform 43

Die Römer haben früher nicht mit den römischen Zahlen gerechnet. Sie benutzten für die Rechenoperation wie die Addition das Rechenbrett Abakus mit Hilfe von Münzen, Steinen oder Kugeln. Der Abakus besteht aus 7 Spalten mit beispielsweise den Einheiten I, X (=10'000), C (=100'000), M (=1'000'000). Während die Felder unterhalb dieser Einheiten für die entsprechenden Einheiten reserviert sind, stehen die oberen Felder für die Einheiten fünf, fünfzig, fünfhundert, fünftausend usw. zu Verfügung. Die Zahl 647'518 hat dafür folgende Darstellung:

Addition in 4 Teile:

• Verändern (dynamisch)
  Sabina hat 7 Farbstifte. Sie bekommt von ihrer Freundin noch 4 Farbstifte geschenkt. Wie viele Farbstifte hat Sabine nun? 7 + 4 = ?
• Ausgleichen (dynamisch)
  Anna hat 3 Murmeln. Sie nimmt 3 weitere aus der Schachtel. Nun hat sie gleich viele wie Tanja. 3 + 3 = ?
  Sätze mit gleich viel
• Vereinigen (Statisch)
  Daniel hat 5 Farbstifte. Claudia hat 3. Wie viele Farbstife haben sie zusammen? 5 + 3 = ?
  Sätze mit zusammen
• Vergleichen (statisch)
  Julia hat 2 Puppen und Yoko 5. Wie viele Puppen hat Yoko mehr? 2 + __ = 5
  Sätze mit wie viel mehr

Wichtig:

• dynamisch: Es verändert sich etwas
• statisch: Es verändert sich nichts
• Zu einer Aufgabe passen mehrere konkrete „Situationen“(Grundvorstellungen)
• Bei der Addition ist Verändern & Vereinigen am wichtigsten!

Subtraktion in 4- Teile

1. Abziehen (dynamisch) = Weggeben!
    Bsp: Anna hat 7 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin 3 Bonbons. Wie viele Bonbons bleiben ihr noch? 7- ___ = 3

2. Ergänzen / Ausgleichen (Eher Fall für in die Mitte!)
    Bsp: Anna hat 3 Bonbons. Sie bekommt von ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie 7 Bonbons. Wie viele hat
    sie bekommen? 3 + ___ = 7  

3. Vereinigung (statisch)
    Anne hat insgesamt 7 Bonbons, und zwar 3 Karamellbonbons und einige Pfefferminzbonbons. Wie viele  
     Pfefferminzbonbons hat sie? 7-2 = ?

4. Vergleichen (statisch) = Vergleichen!
     Sabrina hat 8 Farbstufte und damit 2 mehr als Julia. Wie viele hat Julia? 8-2 = ?

Wichtig:

• Zu einer Aufgabe passen mehrere konkrete „Situationen“(Grundvorstellungen)
• Bei der Subtraktion ist Abziehen & Ergänzen am wichtigsten!

Wissenschaftler warnen davor, zu viele Anschauungsmittel im Unterricht einzusetzen. Insbesondere schwächere SuS werden hier durch überfordert. Gründliche Analysen belegen, dass Kinder der selbst solche Anschauungsmittel, die ihnen aus dem Unterricht vertraut warten, anders als erwartet nutzen und deuten. In diesem Zusammenhang bestätigt sich, dass die verwendeten Anschauungsmittel und bildlichen Darstellungen nicht automatisch für sich sprechen oder eine augenscheinliche Bedeutung haben. Man darf aber auch nicht zu früh auf die Arbeitsmittel verzichten und nur auf der symbolischen Ebene lehren, denn eine verfrühte Abkehr von anschaulichen Darstellungen, bevor wirklich tragfähige mentale Bilder vom Kind konstruiert und genutzt werden, kann als Kardinalfehler des Anfangsunterrichts bezeichnet werden.

1. Tauschaufgaben
   Reduziert das auswendig lernen der Eins + Eins- Aufgaben
   Bei dieser Art von Aufgabe wird deutlich, dass durch das Tauschen der Zahlen das Endresultat gleich bleibt. (Kommutativgesetz = Vertauschgesetz)
   Bsp: Melanie hält in der rechten Hand 3 Ballone und in der linken Hand 5 Ballone. Was passiert, wenn sie die Arme überkreuzt? Schreibe die Rechnung auf!
    
2. Analogieaufgaben
   Zusammenhänge zwischen den Aufgaben finden mit dem Zwanzigerfeld, Rechenrahemen und Zahlenstrahl.
   Kinder merken dabei, dass es von der Rechnung 5+2 auf 15+2 keine neue Rechnung braucht.
    
3. Verdoppelungsaufgaben
   Diese Art von Aufgabe prägt sich bei den Kindern schnell ein & bildet einen Stützpunkt für weitere Additionsaufgaben.
   Man kann diese Aufgaben z.B. mit einem Spiegeldurchführen mit dem Zwanzigerfeld.
   Rechnung 6+6 - Man sieht 6 Punkte auf dem Zwanzigerfeld & haltet dort den Spiegel hin, die Punkte werden Verdoppelt & sichtbar sind 12 Punkte.
    
4. Fastverdoppelungsaufgaben
   Wenn das Verdoppeln gut beherrscht wird, kann man auf die Verdoppelungsaufgaben bei dieser Art von Aufgabe zurückgreifen.
   Beispiel: Wieviel ergibt 4+5=? -> Verdoppelung 5+5 rechnen und -1 am Ende abziehen.
   Ergebnis weicht immer 1+/-1
    
5. Nachbaraufgaben
   Fastverdoppelungen sind spezielle Nachbarsaufgaben. Die Allgemeinen Nachbarsaufgaben kann man von jeder gewünschten Addition ableiten: Nachbaraufgabe von 3+5 = 2+5 oder 4+5 oder 3+4 oder 3+6
    
6. Schrittweises Rechnen
   Man zerlegt die Aufgabe in verschiedene Schritte.
   z.B. hat man die Aufgabe 6+8 = ? - Man kann diese Aufgabe z.B. in eine Verdoppelungsaufgabe zerlegen = 6+6 und dann noch 2 dazurechnen.
    
7. Gegensinniges Verändern
   Der erste Summand wird um 1 vergrössert und der 2. Summand wird um 1 verkleinert, damit wieder das gleiche Ergebnis zustand kommt.
   Beispiel die Aufgabe 6+8 = 7+7
    
8. Das Gleichsetzen
   Das Gleichheitszeichen (=) wird von den Kindern zu Beginn oft als "ergibt" angeschaut. Es trennt jedoch die Aufgabe vom Ergebnis. Diese Strategie kann zu vielen Problemen führen:
   19 = 14 + 5  ;  8 + 7 = 10 + 5   ; 2.50 Euro = 250 Cent

1. Analogieaufgaben
   Zusammenhänge zwischen den Aufgaben finden!
   7-3 = 4, also analog auch 17-3 = 14
    
2. Nachbarsaufgaben
   Darunter versteht man alle Aufgaben, bei denen sich ein Summand von der gegebenen Aufgabe um 1 unterscheidet!
   Beispiel 17-8 über die leichtlösende Nachbarsaufge 18-8 rechnen & - 1 noch abziehen
    
3. Halbierungsaufgaben
   Ausgehen von Halbierungsaufgaben wie 12-6, die relativ früh auswendig beherrscht werden, lassen sich Fasthalbierungsaufgaben (spezielle Nachbarsaufgaben) wie 13-6 oder 12-5 leicht lösen.
    
4. Schrittweise Rechnen
   Komplexe Aufgaben werden oft schrittweise gerechnet, meist mit 10, bzw. Zehnerzahlen als Bezugspunkt. So kann beispielsweise 14-6 über 14-4 gelöst werden (zurück zum vollen Zehner) sowie 10-2 = 8 (Abziehen vom vollen Zehner). Am Zwanzigerfeld kann diese Strategie gut entdeckt werden.
    
5. Umkehraufgaben
   Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Dies hat zufolge, dass die Erstklässler neben dem kleinen Eins + Eins nicht auch noch das kleine Eins - Eins komplett auswendig beherrschen müssen. So können sie beispielsweise die Aufgabe 17-9 durch Rückgriff auf die auswendig gelernte Aufgabe 9 + 8 = 17 rasch lösen.

Wichtig: Viele Lehrmittel arbeiten immer nur mit einer Lösungsstrategie wie man über die 10 rechnen kann (Beispiel: 7+8=? 1. Schritt 7+3 = 10 ; 10+5 = 15!). Deshalb sollte man zu Beginn beim Zehnerübergang nicht mit einem Lehrmittel arbeiten, sondern den Kindern selber die Chance geben auf verschiedene Strategien zu kommen & die Kinder in einer Rechenkonferenz austauschen zu lassen!

Weitere Strategien zum Zehnerübergang:

1. Zehnerübergang mit "der Kraft der 5"
   Bei dieser Strategie führt man über die Verdoppelung der 5 auf ein übersichtliches Resultat. Man hat z.B. die Aufgabe 7+7 - Die Kinder werden augefordert jeweils 7 Finger in die Luft zu strecken! Zu zweit sollen sie dann überlegen, wie man, ohne zu zählen darauf kommen könnte, wie viele Finger es insgesamt sind.
   Die Kinder kommen dann auf die Idee 5+5 und 2+2 = 14 (Verdoppelungsaufgaben).Aber auch bei Aufgaben wie 8+6 = 5+5 und 3+1 sind anhand der Kraft der 5 lösbar.
    
2. Zehnerübergang durch "Verdoppeln plus ein" / "Verdoppeln minus eins"
   Man kann auch über den Zehnerübergang rechnen, anhand der Verdoppelungsaufaben. Die Strategie Kraft der 5 kann ein gutes Einstieg in das Automatisieren der Verdoppelungsaufgaben sein.
   Aufgabe 7+8 = Verdoppelung 7+7 + 1 (Automatisiertes Ablauf sollte geschehen!)
    
3. Zehnerübergang mit der "Kraft der Zehn" (Zehnertrick)
   Bei einer Aufgabe wie z.B. 7+9, lassen sich Additionen mit dem Summanden 10 ableiten:
   Ein Kind das 7+10 "leicht" findet und sofort 17 als Ergebnis weiss, wird vielleicht von selbst drauf kommen, dass dies für die Lösung von 7+9 hilft.
    
4. Zehnerübergang mit dem "Teilschrittverfahren" (Zehnerstopp)
   Bei diesem Verfahren lernen die Kinder immer zuerst auf 10 zu rechnen. Doch zum diese Strategie anzuwenden, müssen sie die Voraussetzungen besitzen, die es verlangt.
   Voraussetzungen Zehnerstopp:
   - Ergänzen bis 10 (Automatisiert)
   - Zerlegen aller Zahlen bis 9 (Automatisiert)
   - Rechnungen wie 10+ 3 als Babyleicht empfinden
   - etc.
   Beispiel Zehnerstopp: 7+8 =__? = 7+3 = 10 + 5 = 15

Intermodaler Transfer:
Intermodaler Transfer bedeutet, dass die drei Handlungen miteiander in Verbindung gebracht werden müssen (grösster Lernerfolg).    
1. Enaktive Ebene (Handlung)
    Verteilen von 12 Äpfel auf 3 Teller
    Chance: Hohe Aktivierung der Lernenden (alle Sinne beteiligt) & dynamische Vorgänge abbilden
     Risiken: Sie sind vergänglich, flüchtig. Nach der Handlung bleibt nichts fassbares übrig

2. Ikonische Ebene (Bilder)
     Aufzeichnen mit Pfeilen
     Chancen: Handlung & Erkenntnisse zu konservieren. Bilder immer wieder betrachtbar.
     Gefahren: Bilder sind statisch, starr, unbeweglich. Um dynamische Proizesse abzubilden, braucht es
     Bildfolgen. Bilder zu zeichnen brauchen Zeit (zeitintensiv)

3. & 4.  Symbolische Ebene (Rechnung)
     12: 3 = ?
     Chancen: Ermöglcht es sehr viele Infos auf engem Raum zu speichern. Verallgemeinerungen können
     gemacht werden, die werder die Handlungs- noch Bildebene in diesem Masse zulässt.
      Risiken: Symbole sind abstrakt, d.h. um sie zu verstehen, ist ein Abstraktionsprozess notwendig.
      Ein verfrühtes Arbeiten auf der Symbolebene kann zu sinnleerem Abarbeiten von Lösungsschemen führen.

Argumente:

• Verschiedene Strategien kennenlernen zu können hilft, dass die Kinder von verschiedenen Blickwinkel die Aufgaben betrachten können (Kennenlernen anhand Rechenkonferenz)
• Kinder können die für sie passende Strategie auswählen

Problematik

• Viele Lehrer/innen klagen von Schwierigkeiten mit den Teilschrittverfahren - dies kann kommen, wenn die LP sich auf ein Verfahren festlegt! Sollte man auf jeden Fall nicht tun!
• Kinder können geradezu ins zählende Rechnen getrieben werden, wenn sie mit einem Teilschrittferfahren arbeiten müssen, mit welchem sie nicht klar kommen
• Dieses zählende Rechnen wird zur Gewohntheit für die Kinder & bildet eine Sackgasse!

1. Zwanzigerfeld:
   Vorteil: Verdoppelungsaufaben kann man gut erkennen, gut strukturiert & sehr anschaulich (Farben, Abteiliungen)
   Nachteil: Rutscht schnell herum (Plättchen)
    
2. Operator:
   Vorteil: Spassiges lernen für die Kinder
   Nachteil: Bringt eigentlich für das Zählenlernen nicht viel -> Kinder zählen eher mit Finger hier
    
3. Darstellung mit farbigen Quadraten:
   Nachteil: Um zu zählen bzw. rechnen muss man jedes Feld einzel abzählen = nicht übersichtlich
    
4. Darstellung mit farbigen Kreisen:
   Vorteil: Für Beispielsaufgaben geeigent
   Nachteil: Nicht so gut für Strategien erkennen
    
5. Zahlenstrahl:
   Nachteil: für kleine Kinder eher kompliziert!
    
6. Eierkartons:
   Vorteil & Nachteil: Je nach Grösse (4,6,10) unterschiedlich gut zum darstellen
    
7. Rechenkette:
   Vorteil: Man kann schön von 6 auf 10 rechnen
   Nachteil: Farben können verwirren, gibt wenig Unterstützung in manchen Bereichen
    
8. Zählrahmen:
   Vorteil: Wenn man alle Kugeln auf eine Seite macht, ergib sich fast ein 20er-Feld & dann sieht man wieder Gemeinsamkeiten z.B. 5-er Bündeli
    
9. Abaco
   Vorteil: sehr übersichtliche einteilung, sehr übersichtlich mit den farben rot/blau
    
10. Finger:
    Vorteil: 10 sehr übersichtlich rechnen, man kann gemeinsam mit anderen Kindern rechnen
    Nachteil: nur - 10 & keine Zeit zu schreiben gleichzeitig

• Wenn man zählt, hat man oft keine Vorstellung von den Rechenoperationen
• Zählendes Rechnen ist fehleranfällis, vor allem im Zahlenraum ab 20 und Multiplkation / Division
• Kinder, die zählend rechnen, operieren meist mit Einschritten, sie fassen zahlen nicht zu grösseren Einheiten zusammen und Anzahlen werden nicht strukturiert erfasst
• Zählendes Rechnen erschwert die Einsicht in die dezimalen Struktur unseres Zahlensystems
• Zählende Rechnerinnen und Rechner verstehen Zahlen zumeist nicht
• Zählendes Rechnen ist äusserst resistent gegenüber Veränderung

• sichere und flexible Zählkompetenz aufbauen (Grundlage!)
  Kinder beginnen im Alter vo ca. 3 Jahren mit Zählen und zwar durch nachahmen und durch vielfältiges Anwenden. Zu einer sicheren Zählkompetenz gehören verschiedene Aspekte: Die Kenntnis der Zahlwörter (Vorwärts-Rückwärtszählen können), & Zählen in 2-er, 5-er, 10-er Schritten.
   
• Anzahlerfassung von kleinen Mengen
  Grössere Zahlenmenge können von Kindern nur erfasst werden. wenn sie visuell strukturiert & in kleinere Anzahlen verlegt werden!
  Beispiel 8 = 2 x 4 oder 2 x 3 + 2 - oder auch Würfelbild: Anordnung der Punkte bei 5!
  Zuerst soll man mit den Kindern mit kleinen Anzahlen (<10) gearbeitet werden und darauf achten, dass die SuS genügend Zeit zur Verfügung haben um zuerst zu zählen & dann versuchen Strukturen zu erkennen! Am Ende soll der Prozess reflektiert werden - durch Zeichnungen oder sprachliche Begleitung: Ich sehe hier drei und drei!
   
• Erarbeitung Zwanzigerfeld>
  Die Weiterführung der strukturierten Anzahlerfassung von kleinen Anzahlen geschieht idealerweise mit dem Zwanzigerfeld bzw. mit anderen strukturierten oder strukturgleichen Materialien. Durch die Vorstrukturierung wird in der Tatsache, dass Anzahlen grösser als 4 nur durch eine visuelle Gruppierung erfasst werden können!
   
• Lernwege der Kinder unterstützen
  Hier ist die verbale Unterstützung wichtig. z.B. wenn ein Kind am 20er-Feld arbeitet und abwechslungsweise rote & blaue Punkte legt, kann man als Unterstützung sagen, dass man zuerst alle Roten legt & dann die blauen!
   
• Vorstellungen aufbauen
  Bei den SuS werden nach und nach innere Vorstellungen der verschiedenen Anzahlen aufgebaut & diese werden später zum Lösen der Aufgaben verwendet. Lernschwache Kinder können evtl diese Vorstellungen nicht selbst aufbauen & deshalb muss man diesen Prozess anleiten & begleiten.
   
• Beziehung Teil-Ganzes & Zahlzerlegung
  Das Verständis, dass eine Menge in verschiedene Anzahlen zerlegt werden kann & wieder zusammengesetzt werden kann! (Vor allem Zerlegung von Zehner- Hunderter & Tausenderzahlen) Zerlegungen im Zahlenraum bis 10 gut machbar am Zwanzigerfeld, statischen Fingerbildern oder Rechenrahmen
   

1. Räumliche Wahrnehmung (=Beziehung Körper) = Statisch!
   Diese Teilkompetente beschreibt die Fähigkeit, räumliche Beziehung auf den eigenen Körper zu erfassen
   Bezug auf meinen Körper: Die Wandtafel hinter mir
    
2. Räumliche Beziehung (= Gruppierung) = Statisch!
   Diese Kompontente beinhaltet das Erfassen räumlicher Gruppierungen von Objekten bzw. Teile der Gruppierung und deren Beziehung zueinander
   Manuel sitzt neben Maria
    
3. Veranschaulichung (=räumliche Bewegung) =Dynamisch!
   Diese Kompontente umfasst die gedankliche Vorstellung von räumlichen Bewegungen z.B. Verschieben, Falten von Objekten, ohne Verwendung anschaulicher Hilfen
   
    
4. Räumliche Orientierung (=real / mental) = Dynamisch!
   Hierbei handelt es sich um die Fähigkeit, sich real oder mental im Raum zurechtzufinden
   Wenn ich an 2 Tischen vorbeilaufe & dann 5 Schritte nach rechts mache, bin ich beim Ausgang
    
5. Vorstellungsfähigkeit von Rotation (=Rotation) = Dynamisch!
   Diese Kompontente umfasst die Fähigkeit, sich schnell & exakt Rotationen von zwei- und dreidimensionalen Objekten vorzustellen
    

Bei 89 Kindergartenkindern wurde ein Geometrietest eingesetzt. Überprüft wurden in Form eines Gruppentests die Grundideen "geometrische Foren & ihre Konstruktion, Operieren mit Formen, Koordinaten, Masse, geometrische Gesetzmässigkeiten & Muster, Formen in der Umwelt und auch Übersetzung in die Sprache der Geometrie".
 

Die verschiedenen Aufgaben-Typen waren:

• Sitzplatzaufgabe (schwierigste Aufgabe)
  Kinder hatten ein Bild mit Kindern an ihren Plätzen & eine Konstruktion mit Tischen & Namen.
  Aufgabe war es, den freien Stuhl zu finden & anschliessend den Namen des Kindes einzukreisen, das fehlt
  -> Schwierigkeiten mit Begrifflichkeiten & allgemein räumlicher Orientierung
   
• Würfelkomplexaufgaben
  Mit Würfel das passende Würfelgebäude bauen, was sowohl das Erkennen räumlicher Beziehungen als auch räumliche Orientierung erfodert!
  -> Jüngere SuS Schwierigkeiten mit dem richtigen Sehen & das Einnehmen der verscheidenen Perspektiven
  -> Ältere SuS Problemlos mit dem Umgehen aber Schwierigkeiten mit Rechts & Links
   
• Weiteführung eines Musters
  Die Kinder bekamen ein Muster auf einem Hüsliblatt & mussten dieses Muster weiterführen z.B. Zacken im richtigen Abstand! Schwierigkeiten gab es bei der Rechts-Links-Orientierung

Im Anfangsunterricht:

Spielerische Aktivitäten, mathematikhaltige Bilderbücher (Arithmetische Aspekte, geometrische Aspekte, räumliche Aspekte, geometrische Formen & Körper etc!) Gutes Beispiels eines Bilderbuches: "Fünfter sein"

Förderaktivitäten zur Orientierung im Raum:
Würfelkomplexaufgaben mit Potzklotz! -> Verschiedene Würfelgebäude mit genau 5 Würfel sind auf Karten abgebildet und alle Spieler erhalten eine bestimmte Anzahl von Karten. Ein Gebäude wird mit Würfel auf einem Gitterplan aufgebaut & es muss reihum versucht werden, durch Umlegen von genau einem Würfel ein Gebäude auf einer eigenen Karte herzustellen. Es ist dabei nicht erlaubt, den Gitterplan zu drehen oder Würfel probeweise umzusetzen

Förderung zu geometrischen Abbildungen:
Das Fortsetzen eines Musters ist eine Möglichkeit die zur Förderung zu geometrischen Abbildungen dient. z.B. ein unvollständiges Muster aus Trapezen, das von den Kindern zu komplettieren ist. Hier wird zum Beispiel die Achsensymmetrie behandelt. Ebenso kann man auch Spiegelmemory oder Spiegelachsen bei Figuren behandeln.

Förderung zum Messen von Flächen - und Rauminhalt
Legespiele wie Tangram oder Lege schlau. Diese bestehen aus 7 verschiedene Formen. Diese Formen entstehen aus einem grossen Quadrat durch Halbierung von Strecken und geeigneter Verbindung von Teilpunkten.
1. Aufgabe Benennung der Formen
2. Aufgabe Auslegen der Formen

Förderung durch Computer gestütze Aktivitäten
Computergestütze Förderungsmöglichkeiten zeigen bei allen Studien ein positives Ergebnis. z.B. Programm "Bauwas": Durch Mausklick können beliebige Würfelgebäude aus gleich grossen Einheitswürfel konstruiert werden!

Bei den normalen Mathematikunterrichtsstunden geht es oftmals dadurch, dass SuS möglichst viele Aufgaben abarbeiten. Die Lehrer Differenzieren dabei & achten darauf, dass es den schnellen SuS nicht zu langweilig wird und die schlechten SuS nicht überfordert sind. Mit dem produktiven Üben jedoch wird dieses Szenario beendet.
Die LP stellt sich die Frage, wie Übungsphasen interessant, motivierend und herausfordernd für alle gestaltet werden können. Produktive Übungsaufaben können einen Beitrag dazu leisten, dass Übungsphasen effizienter und interessanter zu gestalten sind. Im Idealfall sind diese selbstdifferenzierend, entdeckungsoffen und daher motivierend für alle. Dies bedeutet, dass die Schülerinnen und Schüler beim Üben Entdeckungen machen können und gleichzeitig beim Entdecken üben. Alle Schülerinnen und Schüler sollen nach ihren Möglichkeiten gefördert werden und dies bedeutet, dass die Stärkeren herausgefordert und gleichzeitig die Schwächeren nicht abgehängt werden.

Kurz gesagt:
Problemstellungen die nicht in erster Linie auf das Finden einer richtigen Lösung ausgerichtet sind, werden "produktive Übungen" genannt. Es geht nicht darum, dass der Bedeutungshinhalt "vermittelt" werden kann durch die LP, sondern von den SuS erarbeitet, entdeckt und konstruierrt wird.  Im Rahmen solcher produtiven Übungen wird nicht nur automatisiert, es sollen:

• Strukturen entdeckt
• Vermutungen bestätigt oder verworfen
• weitere Fragen gestellt und
• Analogien (=ähnliche Strukturen) abgeleitet werden

Man nennt dieses Lernen aktiv-entdeckendes Lernen!

Bei den Übungsformen des produktiven Übens (selbst erarbeitendes, entdeckendes & konstruierendes) unterscheidet das Konzept zwei Dimensionen:

1. Die Darstellungsform
   Bei der Darstellungsform wird zwischen formalen und gestützen Übungen unterschieden.
   Beim formalen Üben werden die Aufgaben in der symbolischen Darstellungsform behandelt
   Beim gestützen Üben hingegen stützten sich die Aufgaben auf bildliche Darstellung (Ikonisch) oder Handlungsmaterial (enaktiv)
   
    
2. Der Grad der Strukturiertheit
   Bei der Strukturiertheit wird zwischen unstrukturiertem Üben & strukturiertem Üben unterschieden
   Beim unstrukturierten Üben sind die Aufgaben willkürlich ausgewählt & haben keine Beziehung zueinander
   Beim strukturierten Üben sind die Aufgaben einer Übungsserie durch einen ganzheitlichen Strukturzusammenhang aufeinander bezogen & die Lösungswege & Ergebnisse der einzelnen Aufgaben stehen in einem Zusammenhang und können sich gegenseitig unterstützen.

Alle Rechenarten können prinzipiell auf an sich einfache Grundoperationen zurückgeführt werden, weshalb elemantare Grundvorstellungen für die Grundoperationen in der Arithmetik an der Basis jeglicher Rechenoperationen von wesentlicher Bedeutung sind.

Addition:

• Hinzufügen "dynamisch"
  = verändern & ausgleichen
  Zu einer gegebenen Menge von Objekten werden weitere Objekte hinzugefügt
  Paula hat 5 Murmeln und sie bekommt noch 3 Murmeln geschenkt. (5+3= ?)
   
• Zusammenfügen "statisch"
  = vereinigen & vergleichen
  Zwei gegebene Mengen werden vereinigt / zusammengeführt
  Paula hat 5 Murmeln und Linus hat 3 Murmeln. Wie viele haben sie zusammen? 5 + 3 = ?

Subtraktion

• Wegnehmen "dynamisch"
  Wie viel muss ich von 7 wegnehmen um 5 zu erhalten? 7- ? = 5
   
• Ergänzen "statisch"
  Wie viel muss ich zu 5 dazu legen um 7 zu erhalten? 7-5 = ?

Multiplikation

• Zeitlich-sukzessiv (=mehrfach) "dynamisch"
  Merhmalige Wiederholung der gleichen Handlung im Zeitablauf
  Anna kann immer 5 Bücher gleichzeitig tragen. Sie macht den Weg 4 Mal. Wie viele Bücher sind nun auf dem
  Lehrerpult? Rechnung: 5 x 4 = ?
   
• Räumlich-Simultane Modellvorstellung "statisch"
  Produkt ist ein Ganzes & nicht nach und nach aufgebaut.
  1 Schachtel Eier hat 6 Eier. Diese sind in 2 Reihen à 3 Eier (6=3 x 2)
  Multiplikationen kann man mit dem Malkreuz zerlegen. So kann man aus der Aufgabe 7 x 8 = 56 vier Teilaufgaben machen = 4 x 3 & 3 x 3 & 4 x 3 & 3 x 3 (Kommunikativgesetz, Distributivgesetz, 1. Binomische Formel)

Division

• Das gerechte Verteilen
  Man kennt Personen & sucht Menge!
  Mama hat 8 Zältzli. Sie hat zwei Kinder. Wie viel erhält jeder?
   
• Das Messen oder Aufteilen>
  Man kennt die Menge & sucht Personen!
  Es hat 8 Kinder. Wir brauchen 4er Gruppen. Wie viele Gruppen gibt es?

Addition & Subtraktion

• Mit Plättchen arbeiten (blau / rot)
• Mit Nüsse oder sonstigen Gegenstände zählen, sortieren, addieren, subtrahieren

Division & Multiplikation

• Drehtafel der Zahlen von 1 - 100
• Arbeiten mit Plättchen (blau / rot)

Kopfrechnen:

• Alle Schrtte im Kopf, ohne Notizen
• Kopfrechnen beruht auf Zahlvorstellung & der geschichten Zerlegung in Teilaufgaben
• Es wird nicht nur Rechenfähigkeit, sondern auch da Gedächtnis beansprucht

Halbschriftliches Rechnen:

• Flexibles, auf Besonderheiten & Zahlenmaterial bezogenes Rechnen unter Verwendung von Strategien
  (Kinder können auch selbst Strategien entwickeln)
• Zwischenschritte, Zwischenrechnungen, Zwischenergebnisse werden fixiert
• Art & Weise der Notation nicht vorgegeben (Ermöglicht grosse Freiräume ) -> Versch. Kategorien von Lösungen
• Kinder können ihrem eigenen Können & Zutrauen nachgehen & müssen keine vorgegebene Wege verfolgen
• Voraussetzungen sind Zahlverständnis (Zahlvorstellung, Zahlbeziehung & Zahlgesetze)
• Kopfrechnen & Halbschriftliches Rechnen oft wechselseitig = Halbschriftliches Rechnen wird auch "gestützes Kopfrechnen" genannt.

Schriftliches Rechnen:

• Lösungsweg und die Schreibweise ist festgeschrieben (wird mit Ziffern 0-9 gerechnet)
• Sprechweise ist vorgeschrieben
• Können nicht von den SuS selbst entdeckt werden - oder nur bei starken Steuuerung der LP
• Schön dargestellt & genau
• Voraussetzungen sind das 1 + 1 und das 1 x 1 sowie automatisierte Umkehrungen (Subtraktion & Division)
• Anspruch wesentlich weniger hoch als beim halbschriftlichen Rechnen (Lernschwache haben hier also mehr Erfolg)
• Auch wenn man Prinzip nicht versteht, kann man die relativ einfachen Regeln schnell auswendig lernen (kein Zahlenverständnis -> besser für schwache Kinder!)

Früher: Nur gerechnet mit schriftlichem Verfahren
Heute: Halbschriftliche Verfahren werden immer wichtiger

Im Alltag braucht man immer mehr halbschriftliche Verfahren oder den Taschenrechner. Mit halbschriftlichen Verfahren kann man:

• Mathematisieren
• Entdecken
• Begründen
• Formulieren
• Kinder können ihren eigenen Weg finden
• Stützt Schwache und fordert Starke gleichzeitig

Addition:

• Stellenwert extra:
  Rechnung 487 + 354              = 487 + 300 = 787 + 50 = 837 + 4 = 841
   
• Schrittweise:
  Rechnung 487 + 354              = 400 + 300 = 700 ; 80 + 50 = 130 ; 7 + 4 = 11 Alles zusammen = 841
   
• Hilfsaufgabe:
  Rechnung 487 + 354               = 390 + 350 = 840 -3 = 837 + 4 = 841
   
• Vereinfachen:
  Rechnung 487 + 354                = 500 + 341 = 841

Subtraktion:

• Stellenwert extra
  Rechnung 634 - 378                = 634 - 300 = 334 - 70 = 264 - 8 = 256
   
• Schrittweise
  Achtung Hunderter werde gerade im Kopf zusammengerechnet
  Rechnung 634 - 378                = 334 - 70 - 8 = 256
   
• Hilfsaufgabe
  Rechnung 634 - 378                = 630 - 380 = 250 + 4 = 254 + 2 = 256
   
• Vereinfachen
  Rechnung 634 - 378                = 656 - 400 = 256
   
• Ergänzen
  Rechnung 634 - 378                = auf 400 Rechnen (= + 22) von 400 auf 634 rechnen (= + 234) 22+234 = 256

Multiplikation:

• Hilfsaufgaben
  Rechnung: 6 x 19                      = 6 x 20 = 120 ; 6 x 1 = 6 = 120 - 6 = 114
   
• Vereinfachen (gegensinniges Verändern)
  Rechnung 4 x 16                       = 8x8 = 64
  Rechnung 28 x 25                     = 14 x 50 oder 7 x 100

Division:

• Auffadieren des Divisor
  addieren bis die 60 erreicht ist
  Rechnung 60 : 12 =                   = 12 + 12 = 24 + 12 = 36 + 12 = 48 + 12 = 60            = 5
   
• Wiederholtes Subtrahieren
  Subtrahieren bis die 0 erreicht wird
  Rechnung 60 : 12=                    = 60-12 = 48 - 12 = 36 - 12 = 24 - 12 = 12 - 12 = 0     = 5
   
• Umkehraufgaben
  27 : 3 = 9, weil 3 mal 3 = 27
   
• Zerlegen des Dividenden
  Wenn es aufgeht zuerst die Zehner aufteilen, dann die Einer (=Schrittweise)
  Je höher die Zahl & je schwächer das Kind, desto mehr Teile muss man machen
  Rechnung: 39:3                    = 30 : 3 = 10       ;     9 : 3 = 3     ; 10 + 3 = 13
  Rechnung: 1357 : 23           = 920 : 23 = 40   ;    230 : 23 = 10  ; 92 : 23 = 4   ; 92 : 23 = 4    ; 23 : 23 = 1
   
• Zerlegen des Divisors
  Die Strategie biete sich nur bei bestimmten Aufgaben an. Sie ist nur möglich, wenn der Divisor geschickt in Faktoren zerlegt werden kann:
  Rechnung: 525 : 4              = 524 : 2 = 256 : 2 = 262 : 2 = 131
   
• Verinfachen durch gleichsinniges Verändern
  Bietet sich nicht oft an, da es meist keine wirkliche Verinfachung gibt. Man kann den Divisor und den Dividenden nur mit Operationen 2. Grades veröndern ( x oder : )
  Rechnung 3250 : 25          = 6500 : 50 = 1300 : 100 = 130
   
• Hilfsaufgaben
  Anstelle der Aufgabe wird eine einfachere, benachbarte Aufgabe berechnet. Von diesem Ergebnis wird dann auf das Ergebnis der Anfangsaufgabe geschlossen.
  Rechnung 987 : 3               = 990 : 3 = 330 - 1 = 329