Mathematik
Mathematik Didaktik Phsg Semester 1 & 2
Mathematik Didaktik Phsg Semester 1 & 2
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 58 |
|---|---|
| Utilisateurs | 17 |
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Université |
| Crée / Actualisé | 09.06.2016 / 08.06.2025 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/mathematik_8
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| Intégrer |
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Bedeutung der Rechenverfahren
Schriftliche Verfahren verlieren immer mehr an Bedeutung. Vor allem im Mittelalter sind sie populär gewesen. Heute werden nur noch Computer eingesetz. Untersuchungen bei Erwachsenen zeigen, dass sie, wenn sie in ihrem Berufsleben schriftlich rechnen müssen, in hohem Masse andere Verfahren benutzen, als diejenige, die in der Schule gelernt wurden. Der zeitliche Aufwand für das Automatisieren von schriftlichen Rechenverfahren (besonders bei Divison) steht in keinem Verhältnis zum Ertrag und ist kaum mehr gerechtfertig. Man greift immer mehr schnell zum Taschenrechner.
Der Bedeutungsverlust der schriftlichen Rechenverfahren bedeutet keineswegs eine generelle Absage an das Rechnen, weil andere Rechenarten gleichzeitig aufgewertet werden. Dies betrifft besonders das halbschriftliche Rechnen.
Die Frage ist nurnoch, wie man die besten Voraussetzungen für seine sinnvolle Nutzung schaffen kann. Grundlegend und daher unabdingbar für eine sinnvolle Nutzung sind sichere Zahlvorstellungen, auch von grossen Zahlen, sowie sicheres Kopfrechnen als Grunlage für Überschlagsrechnungen. Diese Basis muss gelegt sein, bevor man den Taschenrechner einbeziehen kann.
Schriftliche Strategie zur Addition
Im Gegensatz zu den halbschriftlichen Strategien sind der Lösungsgang und die Notation festgeschrieben. Selbst die Sprechweise ist vorgeschrieben. Bei halbschriftlichen Strategien wird mit Zahlen gerechnet, bei schriftlichen Rechenverfahren mit Ziffern. Dies bedeutet, dass der Anspruch an das Zahlverständnis beim halbschriftlichen Rechnen wesentlich höher ist als bei schriftlichen Rechenverfahren. Auch SuS, die die Funktionsweise des Halbschriftlichen Verfahrens nicht verstanden haben, können die Schriftliche Strategie mit relativ einfachen Regeln schnell auswendig und enstprechend anwenden. Es wäre aber falsch, vorschnell abzubrechen und sich rein auf die Regel des Verfahrens zu beschränken.
Beispiel:
4 7 9 5
2 3 4 5
________
7 1 4 0
Gesprochen:
5 plus 5 gleich zehn, schreibe 0, behalte 1
neun Plus vier plus eins gleich vierzehn, schreibe vier, behalte 1
sieben plus 3 plus 1 gleich 11, schreibe 1 behalte 1
Vier plus zwei plus eins gleich sieben, schreibe sieben
Schriftliche Strategie zur Subtraktion
Für die schriftliche Subtraktion gibt es grundsätzlich zwei Verfahren:
Das Abzieh- und das Ergänzungsverfahren, sowie aber auch verschiedene Übergangstechniken.
- Das Abziehverfahren
Beispiel 754 - 342 = 412
4 Minus 2 gleich 2, 5 Minus 4 gleich 1, 7 Minus 3 gleich 4
- Das Ergänzungsverfahren
Beispiel 754 - 342 = 412
2 und wie viel ergibt 4? 2!, 4 und Wieviel ergibt 5? 1!, 4 und wie viel ergibt 7? 4!
-> 2 Plus 2 = 4 ; 4 Plus 1 = 5, 3 Plus 4 = 7
Die beiden Verfahren sind genau umgekehrt!
Wie erwähnt gibt es aber noch Übergangstechniken für die schriftliche Subtraktion:
- Die Borgetechnik (Entbündeln):
Bei der Borgetechnik werden auf Kosten der nächst höheren Spalte zehn Einheiten geborgt.
Rechnung 54 - 26!
Man borgt sich quasi 1 Zehner- Reiheli & nimmt dafür 10 Einer! Dann han man 14 Einer & nimmt 6 weg. Rechnung 54 - 26 -> 4 Zehner und 14 Einer (=54) und nimmt von den 14 Einer 6 weg (von 26)
4 Zehner 14 Einer - 2 Zehner 6 Einer = 2 Zehner 8 Einer - Die Erweiterungstechnik
Minuend und Subtrahend werden um die gleiche Zahl vergrössert. Im Beispiel wird der Minuend um 10 Einer vergrössert und der Subtrahend um einen Zehner.
Rechnung 54 - 26!
Zu den 4 Einer kommen 10 Einer dazu = 5 Zehner 14 Einer
Zu den 2 Zehner kommt 1 Zehner dazu = 3 Zehner 6 Einer
5 Zehner 14 Einer - 3 Zehner 6 Einer = 2 Zehner 8 Einer
- Die Auffülltechnik (so rechnen wir meistens)
Die Affülltechnik korrespondiert mit dem Ergänzungsverfahren. Es wird solange stellenweise aufgefüllt bis der Minuend erreicht ist.
Rechnung 54 - 26!
Man geht von den 6 Einer aus und muss auf 14 kommen -> man füllt mit 8 Einern auf.
Durch die 8 Einern hat man neu 14 Einer -> Man trennt die 14 Einer in 1 Reihel und 4 Einer
Neu: Man möchte 5 Zehner und 4 Einer & hat 3 Zehner und 4 Einer -> Es fehlen noch 2 Zehner
2 Zehner und 8 Einer aufgefüllt = 28
Schriftliche Strategie zur Multiplikation
Die Neperschen Streifen sind technisch ausgereifte Verfahren des einfacheren Rechenschemas. Sie beschreiben ein historisch bedeutsames Verfahren, das auch aus fachdidaktischer Sicht interessant ist
Beispiel Bild:
365 x 24 =
________
120 (siehe Bild Rot)
1440 (siehe Bild Orange)
7200 (siehe Bild Blau)
________
8760
Schriftliche Strategie zur Division
Die schriftliche Divison gilt zu Recht als das anspruchvollste schriftliche Rechenverfahren - denn darin sind die Grundoperationen Division, Multiplikation und Subtraktion in einem einigermassen anspruchsvollen Verfahren vereint.
schriftliches Verfahren :
49806 : 9 = 5534
45
___
48
45
____
30
27
____
36
36
___
-
Verschiedene Aspekte der Addition & Subtraktion kennen & mit Sachsituationen verbinden
3 Aspekte Addition:
- Endgrösse unbekannt (a+b= ?)
- Veränderungsgrösse unbekannt (a + ? = c)
- Ausgangsgrösse unbekannt (? + b = c)
3 Aspekte Subtraktion
- Endgrösse unbekannt (a-b=?)
- Veränderungsgrösse unbekannt (a-?=c)
- Ausgangsgrösse unbekannt (? + b = c)
Die Bedeutung der Kernaufgaben innerhalb der Einführung des EinmalEins
- 1x Aufgabe (Nachbaraufgaben)
- 2x Aufgabe (Verdoppeln)
- 5x Aufgaben (kombinieren)
- 10x Aufgaben (kombinieren)
Rechengesetze in der Multiplikation
- Das Kommutativgesetz (Vertauschgesetz)
a x b = b x a Zahlenbeispiel: 3 x 5 = 5 x 3
- Das Distributivgesetz
a (b + c) = ab + ac = 4(x + 5) = Zahlenbeispiel: 4 x 3 + 4 x 5
- Die erste binomische Formel
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab Zahlenbeispiel: (3+5)^2 = 2x3x5+5^2
Die Entdeckung an der Einmalseinstafel beschreiben
- Quadratzahlen in der Diagonale
- Umkehraufgaben sind immer 9x grösser (9 nach links zählen bzw. nach rechts) & im gleichen Abstand zur Diagonale
- Königsaufgaben sind einfach einzuzeichnen (Alle Farbigen Quadrate sind Königsaufgaben: 1er Reihe, 2er Reihe, 5er Reihe, 10er Reihe, Quadrat-Zahlen)
- Nachbarsaufgaben immer bei Spiegelachse rechts & links (Kreuz)
Was sind Königsaufgaben in der Multiplikation?
Unter Königsaufgaben versteht man die Aufgaben, welche die Kinder am einfachsten können! Von diesen Königsaufgaben leiten die Kinder nacher andere Aufgaben ab anhand Verdoppelungsaufgaben, Nachbarsaufgaben etc.
Königsaufgaben:
- 1-er Reihe
- 2-er Reihe
- 5-er Reihe
- 10-er Reihe
- Quadrat-Zahlen (6x6, 5x5, 8x8 etc.)
Kopfrechentricks kennen
Rechentricks sind keine Zaubertricks, es sind eimfache auszuführende Regeln, die aber nur bei speziellen Aufgaben gültig sind.
Das Prinzip des entdeckenden Lernens
- Eine Methode zur Wissensaneignung
- Der Fokus der Betrachtung liegt dabei beim Schüler & nicht bei der Vermittlung der LP (=aktiv entdeckendes Lernen)
- LP organisiert Aktivitäten, in welchen die SuS eine intensive Auseinandersetzung mit dem Gegenstand bringen
- Produktives Üben (Entdeckendes Üben / Aktives üben) ist ein Teilaspekt des entdeckendes Lernen
Traditionelle Unterrichtskultur & neue Unterrichtskultur beschreiben können
Unter Unterrichtskultur versteht man die "Art und Weise", wie Lehrer und Schüler miteinander umgehen, welche (expliziten oder impliziten) Spielregeln sie befolgen und wie sie gemeinsam - gewollt oder ungewollt mit den anstehenden Sachthemen umgehen.
Beschreibung einer traditionellen Unterrichtskultur
- Lernen in kleinen Schritten
- Lernen im gleichen Tempo
- Eindeutige Aufgaben
- Viele verschiedene Aufgaben werden in kurzer Zeit bearbeitet
- Lösungswege werden vorgeben
- Stoffdruck / Zeitdruck
- Isolierte Bearbeitung von Einzelthemen
- Erarbeitende Unterrichtsgespräche, Einzelarbeit
Beschreibung einer neuen Unterrichtskultur
- Erfahrungsräume und Handlungsfelder für Schüler offen
- Lernen im eigenen Tempo
- Offene Aufgaben
- Sich Zeit nehmen / Zeit lassen
- Selbständige Suche nach eigenen Lösungswegen
- Verstehende Mathematik ist wichtiger als die Beherrschung grosser Stoffmengen
- Im Sinnzusammenhängen lernen
- Gespräche der Schüler untereinander / Arbeiten im Team
Grundstruktur des Lehrplan 21 & die darin verwendeten Begriffe: Kompetenzbereich & Handlungsaspekt
Die im Lehrplan 21 formulierten Kompetenzen beziehen sich auf die Kompetenzbereiche / Inhalte (was?) und auf die Handlungsaspekte (wie?). Beide Inhalte werden gleichwertig gesehen
Kompetenzbereich / Inhalte (was?)
Jeder Kompetenzbereich umfasse 3-7 Kompetenzen, in welchen je spezifische thematische Aspekte und Handlungsaspekte aufgenommen werden. Für jede Kompetenz wird die erwartete Kompetenzentwicklung mit mehreren Stufenbeschreibungen pro Zyklus beschrieben. Über die Zyklen hinweg werden auf diese Weise die angestrebte Kompetenzentwicklung und damit Wege des kumulativen Lernens dargelegt.
- Kompetenzbereich Zahl & Variable
- Kompetenzbereich Form & Raum
- Kompetenzbereich Grössen, Funktionen, Daten & Zufall
Handlungsapsket (wie?)
Unter Handlungsaspekten versteht man die unterschiedlichen Arten, sich mit Inhalten zu beschäftigen, welche sich auf unterschiedliche mathematische Tätigkeiten beziehen. Im Lehrplan 21 werden drei Handlungsaspekte unterschieden:
- Operieren & Benennen
Umgang mit Zahlen, Grössen und geometrischen Objekten
- Erforschen und Argumentieren
Entdeckung von Muster, Regelmässigkeiten oder Zusammenhängen
- Mathematisieren und Darstellen
Rechenwege darstellen, beschreiben, austauschen und nachvollziehen & die Entdeckung danach aufschreiben
Die 3 Lehrmittel kennen: Das Logisch, Mathemathik Zürcher Verlag, das Schweizer- Zahlenbuch
Das Lehrmittel Logisch
- ganze Begabungsbreite ansprechen
- zeitgemässe Mathematik
- zielorientertes Arbeiten von LP & SuS
- sparsame Anschauungsmittel
- Probleme & Aufgaben gemeinsam bearbeiten
Das Schweizer Zahlenbuch
- aktiv / entdeckendes Lernen
- Allgemeine Ziele
- Lernen als Knüpfen von Wissensnetzen
- sparsame Verwendung vpn Anschauungsmittel
Zürcher Lehrmittel Mathematik
- Durchläuft 4 Phasen:
1. Erfahrungen sammeln
2. Zusammenhänge erkennen
3. Fertigkeiten erwerben
4. Anwenden - Mathe für alle
- aktiv auf eigenen Weg
Das Lehrmittel aus dem "Zürcher Lehrmittelverlag"
Philosophie:
- Kinder sollen Phasen durchlaufen beim Lernen von Mathematik:
Ziel:
- 1. Phase = Erfahrungen sammeln
2. Phasen = Zusammenhänge erknnen
3. Phase = Fertigkeiten erwerben
4. Phase = Anwenden
Grundsatz:
- Eine Mathematik für alle
- Aktiv auf eigenen Wegen Mathematik lernen
- Mathematik miteinander und voneinander lernen
- Forschen, Argumentieren, Begründen und Darstellen
Positive Aspekte der Zahlenmauer
Viel Potential zu:
- Erforschen
- Argumentieren
- Mathematisieren
- Darstellen
Vor allem bei Aufgaben wie:
- Finde weitere Zahlenmauern mit den Zahlen 3,4,5
- Finde Zahlenmauern mit Endergebnis 20
Intermodaler Transfer
Intermodaler Transfer bedeutet, dass alle die drei Handlungen
- Ikonisch (=Bildlich)
Chance: Hohe Aktivierung der Lernenden (alle Sinne)
Risiko: Sie sind vergänglich, flüchtig - nach Handlung bleibt nichts übrig
- Enaktiv (=Handlung)
Chance: Bilder können immer wieder gebraucht werden
Risiko: Bilder sind statisch
- Symbol (Rechnung)
Chance: Es können Verallgemeinerungen gemacht werden
Risiko: Kind braucht zu verstehen ein Abstraktionsprozess
(Ikonisch, Enaktiv & Symbolisch) alle in Verbindung gebracht werden, um einen möglichst grossen Lernerfolg zu erzielen
