Mathe Thema 2: Größen; Längen

Das direkte Vergleichen greift die Vorerfahrungen zum Ordnen und Vergleichen
auf und regt durch Handlungen zu einer bewussten Auseinandersetzung
mit den Relationsbegriffen („... ist so lang wie ...“ u. a.) an. Diese zweistelligen Relationen,
wie ‚kürzer als’, ‚schwerer als’ u. a., verlangen, immer zwei Objekte hinsichtlich dieser Relation miteinander zu vergleichen. Ohne diese grundlegenden Erfahrungen in jedem Größenbereich können die Kinder kein Verständnis für die Äquivalenz- und die Ordnungsrelation in diesem Bereich aufbauen

Direktes Vergleichen gelingt nur dann, wenn sich die Objekte zu derselben Zeit an demselben Ort befinden

mithilfe selbst gewählter Maßeinheiten-->indirekten Vergleichen notwendig,

--> Voraussetzung: Kinder haben Transitivität der Ordnungsrelation im jeweiligen Größenbereich verstanden denn: dritter Repräsentant als Vermittler zwischen vergleichenden Objekten eingesetzt!

Vergleichen auf zweierlei Art:
1. zwei Repräsentanten an ver.Orte/Zeiten gebunden --> drittes Objekt als beweglicher Vergleichsrepäsentant 

Mit Stab probieren, ob der Tisch durch die Tür passt                                                                                                                  Schnur als Vermittler -->durch Anlegen an das zweite Objekt den Vergleich direkt ermöglicht.

2.Wenn die zwei Repräsentanten an ver.Orte/Zeiten gebunden-->drittes Objekt als ausmessender Vergleichsrepäsentant benutzt -->Objekt zum Messen in selbst gewählten Einheit deutlich kleiner 

Welcher Klassenraum ist eigentlich länger, unserer oder der Nachbarraum?
durch Schnurlänge vergleichen

bei „größere“ Längen anderen Möglichkeiten -->selbst gewählte Einheiten – 

zumeist Körpermaße wie für dieses Beispiel Schritte, Füße oder Körperlängen 

standardisierte Einheiten und damit als Messinstrumente z. B. das Tafellineal, einen Zollstock oder ein Bandmaß vorschlagen.

Selbst gewählte Einheiten -->Vertiefung von Messerfahrungen, 

-->Vergleichen mittels verschiedener Einheiten= Zusammenhang zwischen Maßeinheit und Maßzahl -->anderen Licht beleuchtet:

- Je größer die Maßeinheit, desto kleiner die Maßzahl. 

-->durch Vergleichen mit Körpermaßen motivieren, da die Fußlängen verschieden groß

- Je kleiner die Maßeinheit, desto genauer das durch die Maßzahl angegebene Messergebnis. 

durch nicht standardisierter Einheiten keine Verfeinerung möglich

z.B „halben Füßen“ verkleinern nicht möglich

- Bei selbst gewählten Maßeinheiten, „demselben“ Maß gemessen wurden.

Die Einheit „Fuß“ an jeweiligen Repräsentanten gebunden-->jechoch einsetzbar beim Vergleichen mit stadardisierten Meßverfahren

Notwendigkeit von standardisierten Einheiten wird somit für die Kinder einsichtig durch Vergleichen selbstgewählter Maßeinheiten

Kindern freistellen, ob sie standardisierte oder selbst gewählte Einheiten zum Messen 

 Vergleich beider Vorgehensweisen Ansatzpunkte für den reflektierten Umgang mit standardisierten Einheiten.

Die eigenen Körpermaße nicht nur  willkürliche Einheiten, 

-->sondern wichtige, immer verfügbare Repräsentanten für Größen                                                                                       -->zum Schätzen und Vergleichen 

von m;dm;cm;mm etc

Größen sind:

Größen direkt und indirekt vergleichen, zusammenfügen und abtrennen

Größen messen und dabei Messinstrumente mit geeigneten Skalierungen entwickeln sowie vorhandene Messgeräte sachgerecht verwenden

Stützpunktvorstellungen entwickeln 

Größen schätzen

Größen umwandeln und mit ihnen rechnen

Streng einzuhaltende Behandlung von Größen weniger sinnvoll aus konstruktivistischer Perspektive, dennoch wichtig inhaltlich voneinander abzugrenzen

·         Viele Kinder haben schon Vorerfahrungen mit Größen, bevor sie in die Schule kommen

·         Erste Größenvorstellungen bei Kindern noch nicht relational à Mensch groß oder klein, erst nach und nach verstehen die Kinder, dass ihre große Schwester zwar größer ist, aber kleiner als der Vater

·         Es entwickelt sich ein Verständnis dafür, dass zwischen Größen der gleichen Art Beziehungen entstehen

·         Direkte und unmittelbare Vergleiche als Beginn für Behandlung von Größen in der Grundschule à Vergleich von 2 Repräsentanten macht deutlich, dass eine Beziehung besteht

·         Beispiel: Rücken an Rücken aufstellen und sagen, wer länger ist

·         Direktes Vergleichen von Schritt- oder Armlänge und Gegenständen im Klassenraum unmittelbar

·         Für einen indirekten Vergleich wird ein Mittler notwendig à Höhe der Tür mit Bindfaden abmessen und dann an den Schrank halten à indirekter, mittelbarer Vergleich

·         Üblicherweise mit einem Zollstock durchgeführt à Lineal in der Grundschule

·         Größere Längenunterschiede oft schon visuell wahrnehmbar

 „Messen=Herzstück beim Aufbau von Vorstellungen über Größen-->Über Messen-->Größenvorstellungen entwickeln

·         Messen= indirekter, mittelbarer Vergleich von 2 Größen der gleichen Art

o   Eine der beiden Größen ist die Bezugsgröße (Maßeinheit), mit der die andere verglichen wird

o   Wie oft passt die gewählte Maßeinheit in die zu messende Größe?

o   Ausdrücke wie 4cm stehen also für Sachverhalt, dass eine als Maßeinheit gewählte Strecke der Länge 1cm vervierfacht worden ist: 4cm= 4 x 1cm

o   Term 3 x 2cm steht für die Verdreifachung der Maßeinheit 2cm

·         Multiplikation bei Größen ist kein miteinander Multiplizieren zweier Größen (3cm x 4cm) sondern à Vervielfachen einer Größe (Maßeinheit) mit einer natürlichen Zahl (Maßzahl)

·         Gegebene Größe mit einer Maßeinheit vollständig ausmessen lässt? Kommt nicht vor!!!

o   Gegebene Größe lässt sich nicht beliebig verkleinern à Im Alltag der Grundschule gelten Millimeter als kleinste Maßeinheit, die hinreichende Genauigkeit liefert

·         In GS werden messende Repräsentanten gewählt, dass der Messvorgang aufgeht

-->wichtig,zu thematisieren, bei dem „Reste“ bleiben

Normalfall führt zu 4 Konsequenzen, die zu einem vertieften Verständnis von Größen dazugehören

Entscheidung beim Messen, welche Maßeinheit hinreichende Genauigkeit liefert (Messe ich den Bleistift in cm, mm oder m?)

Größen kann man eigentlich nur ungefähr angeben (Stift ist ungefähr 14cm lang) à Jeder genauen Angabe liegt eine bewusste oder unbewusste Annahme über den hinreichenden Grad der Genauigkeit zugrund

Soll es genauer sein, dann kann die Angabe von Intervallen helfen (Stift ist zwischen 14 und 15 cm lang)

Soll es noch genauer sein, dann hilft nur die Verfeinerung der Maßeinheit (Stift ist 14cm und 4mm lang)

1.       Auswahl der Einheit

2.       Vervielfachen von und Zerlegen in Einheiten,

3.       Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten

o   Historische Entwicklung der Längenmessung

o   Unmittelbare körperliche Verfügbarkeit der Einheiten

o   Macht deutlich, dass unterschiedliche Fußlängen der Kinder einer Klasse unterschiedliche Maßzahlen beim Messen der gleichen Strecke zur Folge haben à Notwendigkeit einer normierten Einheitsmaßes begründen

o   Vervielfachen eines Einheitsmaßes als Grundidee wird auf diese Weise sehr deutlich

o   Je kleiner gewählte Maßeinheit ist, desto häufiger muss sie angelegt werden

o   Fehlende Skalierung bei Messvorgängen könne zu verkürzte Deutung des Messens als Zählen von Objekten führen

o   Messen mit flächigen Objekten (z.B. Fußabdrücke) erschwere Fokussierung auf Linearität der Längenmessung

o   Zusammenhang zwischen Einheit und Untereinheiten werden nicht erkannt

·         Kinder die Skalierungen auf den Messwerkzeugen als wiederholtes Anlegen eines Einheitsmaßes verstehen lernen

o   Nach ersten Messe mit Fußlänge können z.B. Messungen mit Würfeln der Kantenlänge 1cm (Zehnersystem-Blöcke) vorgenommen werden: Der Bleistift ist 12 Würfel lang

o   Da Anlegen der Würfel mühsames Geschäft ist, stellen wir Messwerkzeuge her, die mit Lineal oder Zollstock vergleichbar sind à Reihe Würfel zu einer Stange zusammenkleben und Würfel durchnummerieren à Würfellängen werden auf einen Pappstreifen übertragen und mit Zahlen versehen

·         Führt zu selbstentwickeltem Würfelmaß à vergleichbar mit Lineal

o   Besprechen: Warum steht eine Null bei Linealen? à Notwendig, weil Skala nicht an der vorderen Kante beginnt (anders bei dem Würfelmaß)

·         Schwierigkeiten beim Lineal

o   Anlegen des Lineals beim Nullpunkt

o   Mehrfache Anlegen des Lineals zum Ausmessen einer Strecke

o   Längenmessung kann auch dann vorgenommen werden, wenn Anlegen des Nullpunktes nicht möglich ist

·         Wichtig sind auch Übungen mit Umkehrung der Fragestellung: Sucht Objekte mit folgender Eigenschaft: Erst schätzen, dann messen und dann Eintrag in Tabelle mit Name der Objekte

·         Größenbereich Längen eine zentrale Rolle der Größen

o   Vorerfahrung der Kinder

o   Eindimensionalität und Greifbarkeit sind Größenvergleiche und Messvorgänge besonders einfach vorzunehmen

o   Exemplarischen Charakter ab 2. Klasse

·         Kindern ist nicht bewusst, welche Größen mit welchen Maßen gemessen werdenà nicht in der Lage innerhalb eines Größenbereichs die für den Repräsentanten geeignete Maßeinheit auswählen

o   Weitere Messvorgänge

o   Fehlende Maßeinheiten in Lückentexten ausfüllen

o   Tabelle, in der Kinder zu vorgegebenen Gegenständen eine für das Messen geeignete Maßeinheit angeben sollen

Schätzen als Form der nicht-zählenden, schnellen Anzahlerfassung und damit eine wichtige Komponente von Zahlverständnis

Schätzen ist immer eine überlegte und begründbare Aussage über ungefähre Anzahl oder Größe von vorgegebenen Objekten

Schätzen immer ein Vergleichen mit einer bekannten Anzahl oder Größe

 Schätzergebnis kann beruhen auf:

o   Direkter Vergleich (z.B. Erwachsener im Vergleich mit Tür)

o   Indirekter Vergleich durch mentales Ausmessen (Zerlegung eines Rechtecks mit Punkten durch Einteilung in 4 gleichgroße Felder à Hochrechnung auf Gesamtheit

 Stützpunktvorstellungen erleichtern den indirekten Vergleich erheblich, weil auf die vorhergehende Aufteilung des Ganzen zur Ermittlung  der genauen Anzahl eines Teils verzichtet werden kann

Auch direkter Vergleich kann so vorgenommen werden, wenn Bleistift 1 Handspanne lang ist = 10cm

Vorrat an festen Vergleichsgrößen als Stützpunktvorstellungen beim direkten und indirekten Vergleichen im Größenbereich Längen

Techniken des Schätzen Lernens, ein Teil des Ganzen genauer abzuschätzen und dann zu überlegen, wie oft dieser Teil im Ganzen enthalten ist

o   Besonders in Gruppen besprechen: Kinder lernen durch Kommunikation

o   Beispiele für Aufgaben auf S. 175

Für Schätzergebnisse sollen Kinder immer eine Erklärung und Begründung abliefern, um das Raten zu vermeiden

 Bei konkreten Messvorgängen haben Kinder erfahren, dass nicht selten ein Rest bleibt

Förderung des Verständnisses dieser gemischten Schreibweise dienen Übungen zum Umwandeln in eine kleinere gemeinsame Einheit

Empfehlung: Umwandlungsübung mit Eintragung in Tabelle zu verbinden à Zwischenmaße können fehlen und müssen durch Schreiben einer Null berücksichtigt werden

Können auch Helfen bei Übersetzung in Kommaschreibweise

Nachkommastellen sollen durch ziffernweise Benennung der einzelnen Nachkommastellen als Zahl erfolgen (5,409 à Fünf Komma vier null neun)

Dadurch kann verhindert werden, dass das Komma bloß ein Trennzeichen von verschiedenen Maßeinheiten sei à Fehler: 3m 5cm = 3,5m  

Das Inhaltsfeld Größen und Messen stellt ein wichtiges Bindeglied zwischen den Inhaltsfeldern Zahl und Operation und Raum und Form dar. Durch Messprozesse (Vergleichen, Schätzen, Messen) auch mithilfe von Repräsentanten der Standardeinheiten sowie geeigneten Standardeinheiten selbst entwickeln sich Größenvorstellungen in den Größenbereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte, Flächen- und Rauminhalte. Dies bildet die Grundlage für den Umgang mit Größen in Sachsituationen. Das Lösen von alltagsnahen Sachproblemen mit Größen erfordert darüber hinaus einen sicheren Umgang mit der Umwandlung von Maßeinheiten. Maßzahlen als einfache Bruchzahlen erschließen sich durch im Alltag gebräuchliche Maße.

...

Größenvorstellungen besitzen

o   Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte und Rauminhalte kennen

o   Größen vergleichen, messen und schätzen

o   Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind

o   Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen (umwandeln)

o   Im Alltag gebräuchliche einfache Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen kennen und verstehen

 Mit Größen in Sachsituationen umgehen

o   Mit geeigneten Einheiten und unterschiedlichen Messgeräten sachgerecht messen

o   Wichtige Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt zum Lösen von Sachproblemen heranziehen

o   In Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen

o   Sachaufgaben mit Größen lösen

reale Gegenstände
↓
•„gleichwertige“Gegenstände werden nicht mehr unterschieden
↓
•Größe der betreffenden Art

•Geld (keine Größe im physikalischen Sinne)

•Länge

•Zeit

•Masse (allerdings als „Gewicht“bezeichnet)

•Volumen (allerdings nur „Hohlmaße“)

•Flächeninhalt (Vorüberlegungen in der Geometrie)

Größen und Messen:

•Größenvorstellungen besitzen

•mit Größen in Sachsituationen umgehen

•Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte und Rauminhalte kennen,

•Größen vergleichen, messen und schätzen,

•Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind,

•Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen (umwandeln),

•im Alltag gebräuchliche einfache Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen kennen und verstehen.

•mit geeigneten Einheiten und unterschiedlichen Messgeräten sachgerecht messen,

•wichtige Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt zum Lösen von Sachproblemen heranziehen,

•in Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen,

•Sachaufgaben mit Größen lösen.

Größen selbst kann man sich nicht vorstellen.

•Es ist nur möglich, sich zugehörige Repräsentanten für Größen vorzustellen

•Beim Aufbau von Größenvorstellungen entstehen adäquate Abbilder von Repräsentanten von Größen im Bewusstsein des Menschen.

•Größenvorstellungen gehen stets aus konkreten Handlungserfahrungenund den damit verbundenen Wahrnehmungen hervor.

•Qualität der Vorstellungsbilder kann sehr verschieden sein

•abhängig von der Art, von der Häufigkeit und von der Bewusstheit der Wahrnehmung der einzelnen Objekte.

•Es spielt eine Rolle, ob die entsprechenden Repräsentanten visuell wahrnehmbar sind (

•Unmittelbare Größenvorstellungen sind Vorstellungen von Repräsentanten solcher Größen, die durch Handlungen wiedergegeben werden können (direkt wahrnehmbar)

•mittelbare Vorstellungen nicht durch direkte Wahrnehmungen.

•Vorstellungen von Repräsentanten solcher Größen, die so großoder so klein sind, dass sie nicht durch materielle Handlungen wiedergegeben werden können.

Die meisten Grundschüler verfügen über äußerst unzureichende Größenvorstellungen.
•Reuter, Sabrina (Gießen, 2009)

•Vermutung: Aufbau von richtigen und inhaltsreichen Größenvorstellungen findet im Mathematikunterricht der Grundschule nur ungenügend Berücksichtigung.

•Abendschein, Annika (Gießen, 2011)

•Aus diesem Grund kann zu dem Schluss gekommen werden, dass die Größenvorstellungen der meisten Kinder nicht ausreichend ausgebildet sind, da sie über ungenügende Stützpunktvorstellungen und Fähigkeiten im Schätzen verfügen.
Birx, Annika (Gießen, 2012)

TErfolg sehr gering: Messverständnis noch Größenvorstellungen über
konventionelle Einheiten vollständig

nicht standardisierter Einheiten unterstützt rein arithmetische Deutung
des Messens. Maßzahlen werden so zu
Zählzahlen.

Das Messen von Längen mittels „flächiger“ Objekte zu flächigen Vorstellungen führen,
 Unterscheidung von Längen, Flächen und Volumina schwer.

die Verfeinerung und
Vergröberung von Maßeinheiten.nur schwer duch nicht standardisierte Einheiten mglich-->keine Zusammenhänge
zwischen Maßeinheiten entwickeln. .