Kap. 1.3 Charakterisierung von Merkmalen
Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik - Teil Statistik, KE 1
Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik - Teil Statistik, KE 1
Kartei Details
| Karten | 21 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 28.10.2014 / 31.12.2015 |
| Weblink |
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Skalierung der Merkmalsausprägungen
- Merkmalswerte werden auf einer Skala gemessen
- Skalen unterscheiden sich nach Ordnungskriterien
- Skalenniveau ist wichtigste Eigenschaft von Merkmalen
- Skala mit dem niedrigsten Niveau ist die Nominalskala
Nominalskala
Unterscheidet nur nach Gleichheit oder Verschiedenheit.
Es existiert keine Rangordnung.
Nominale Merkmale sind Geschlecht, Nationalität, Studienfach oder Aktienart
Nominale Merkmale
- Nominale Merkmale können nur auf einer Nominalskala gemessen werden
- Unterscheidung nominaler Merkmale ist qualitativer Art (qualitative Merkmale)
- Liegt ein Merkmal vor, dessen Ausprägungen "Eigenschaft vorhanden" oder "Eigenschaft nicht vorhanden" sind, werden diese Ausprägungen oft mit 0 und 1 codiert (binäre, dichotome, 0-1 Variable)
Ordinal-/ Rangskala
- Liegt vor, wenn die Merkmalswerte neben der qualitativen Unterschiedlichkeit eine natürliche Rangordnung besitzen
- Für die Rangordnung in einer Ordinalskala kann keine konkrete Aussage über den absoluten Wert der Merkmalsausprägung gemacht werden und es können keine Informationen über die Abstände der Merkmalsausprägungen gegeben werden.
Ordinale Merkmale
- Intensitätsmäßige Merkmale
- Können bei Inkaufnahme des Informationsverlustes auch auf einer Nominalskala gemessen werden
- Bsp: Klausurnoten, Tarifklassen, Härtegrade von Bleistiften, Tabellenplätze z.Bsp in der Bundesliga
Metrische Skala/Kardinalskala
- Besitzt ein Merkmal die Eigenschaften eines ordinalen Merkmals und ist zusätzlich noch die Interpretation der Abstände zweier verschiedener Merkmalsausprägungen möglich
- Die metrische Skala kann wie folgt unterteilt werden:
Intervallskala
Verhältnisskala
Absolutskala
Intervallskala
- Es können Abstände zwischen den Ausprägungen verglichen werden
- Es liegt kein natürlicher, sondern ein relativer Nullpunkt vor
- Bsp: Temperatur gemessen in Celcius oder Fahrenheit, gregorianischer Kalender
Verhältnisskala
- Hier können die Abstände sowie die Verhältnisse zwischen den Auspägungen verglichen werden.
- Es liegt ein natürlicher Nullpunkt vor
- Bsp: Temperatur in Kelvin, Gewicht, Größe, Lebensdauer
Absolutskala
- Verhältnisskala, die nicht von Einheiten abhängt.
- Es existiert eine natürliche Einheit, z Bsp Stückzahlen, Anzahl von Personen
Diskrete Merkmale
- Wenn es nur endlich viele oder höchstens abzählbaar unendlich viele Ausprägungen des Merkmals gibt
- Bsp: Nominal skalilerte Merkmale; Merkmale, die durch Zählen bestimmt werden
- Nominal- und ordinalskalierte Merkmale sind stets diskret
Stetige (kontinuierliche) Merkmale
- Wenn es überabzählbar viele Ausprägungen des metrischen Merkmals gibt
- Bsp: Lebensdauer, Größe, Gewicht, Temperatur
Metrische Merkmale
- Unterscheiden sich durch ihre Größe
- Werden auch als quantitative Merkmale bezeichnet
- Unter Inkaufnahme eines Informationsverlustes können metrisch messbare Merkmale auch auf einer Ordinal- oder Nominalskala gemessen. Eine Umkehrung ist nicht möglich.
Skalentransformation
- Abbildung von einer Menge Merkmalsausprägungen in eine andere Menge Merkmalsausprägungen
- Es ist zu beachten, dass die Ordnungseigenschaften der Skala erhalten bleiben
- Je nach Skalenniveau sind verschiedene Transformationen zulässig, d.h. es darf keine Information verloren gehen.
- Jede zulässige Skalentransformation muss eindeutig sein
- Jede zulässige Transformation einer Ordinalskala muss wenigstens streng monoton sein
- Jede zulässige Transformation einer metrischen Skala muss linear sein
Eindeutige Skalentransformation
Jedem Wert der alten Skala wird genau ein Wert in der neuen Skala zugeordnet
Monotone Skalentransformation
Liegt vor, wenn die Rangordnung der Skalenwerte erhalten bleibt
Lineare Skalentransformation
Nutzen lineare Funktionen der Form y=a+bx, wobei das Verhältnis der Abstände zwischen den Skalenwerten erhalten bleibt.
Klassierung von Merkmalsausprägungen
- Stellt eine Zusammenfassung benachbarter Merkmalsausprägungen zu einer Klasse dar
- Vorgegebene Ordnung bleibt beibehalten
- Es sollten disjunkte Klassen mit möglichst gleicher Breite ausgewählt werden (Ausnahme: Randklassen)
- Informationsverlust, da exakte Ausprägungen nicht mehr festgestellt werden können
- Faustregel für diskrete Merkmale: bei n Merkmalswerten beträgt die Klassenanzahl \( {\sqrt n}\)
- 20 Klassen sollten nicht überschritten werden
- Klasse wird mittels der Klassengrenzen, der Klassenbreite und der Klassenmitte eindeutig bestimmt
Untere/Obere Klassengrenzen
- Untere Klassengrenze wird mit x*j-1
- Obere Klassengrenze wird mit x*j
- In der Praxis wir die untere Klassengrenze oft mit in die Klasse genommen ( [x*j-1-x*j) )
- Für theoretische Überlegungen ist es sinnvoller, dass die obere Grenze in die Klasse fällt ( (x*j-1-x*j] )
Klassenbreite
- Die Klassenbreite \({\bigtriangleup x_j=x*_j - x*_{j-1}}\)der j-ten Klasse ist als Differenz zweier aufeinanderfolgender Klassengrenzen definiert
Klassenmitte
- Die Klassenmitte \({x_j}\) wird mit \(x_j = {x*_{j-1} + x*_j \over 2}\) angegeben
- I.d.R. wird die Klassenmitte als repräsentativer Wert der einzelnen Klassse dargestellt
Offene Randklasse
- Erste oder letzte der geordneten Klasse, wenn keine untere bzw. obere Klassengrenze vorhanden ist
- Klassenmitte kann nicht ohne Probleme angegeben werden.
- Angabe des nächsten Wertes, der sich bei gleichen Abständen aller Klassenmitten ergibt
- Angabe eines Schätzwertes oder mutmaßlichen Wertes
- Explizite Berechnung eines Mittelwertes aus den ursprüchlien Merkmalswerten
