Inferenzstatistik

 • Bei großen Stichproben kann aufgrund der im zentralen Grenzwertsatz beschriebenen Gesetzmäßigkeit immer die Normalverteilung, bzw. – nach Standardisierung – die Standardnormalverteilung benutzt werden.

• Bei (in den Sozialwissenschaften häufigen) kleineren Stichproben werden – in Abhängigkeit der spezifischen Fragestellungen – verschiedene Annäherungen an die Normalverteilung benutzt,

wie z. B.

Binomialverteilung (z. B. Anteile

 t-Verteilung (z. B. Mittelwertsunterschiede, Korrelationen)

F-Verteilung (z. B. Mittelwerts-, Varianzunterschiede)

Freiheitsgrade (degrees of freedom = df) Viele Prüfverteilungen sind in Abhängigkeit der „Freiheitsgrade“ tabelliert Freiheitsgrade: Anzahl der Werte, die in einem statistischen Ausdruck frei variieren können Beispiel: Bei der Berechnung der Stichprobenvarianz aus n Werten können nur n-1 frei variieren, da

Wenn also z. B. n = 4 und die ersten drei Abweichungen vom Mittelwert 6, -9 und –1 betragen, muss die vierte Abweichung 0-6+9+1 = 4 sein. 

Warum n-1?

1. Die Varianz ist die Hälfte der mittleren quadratischen Abweichung der Messwerte voneinander

2. Bei n Werten gibt es n 2 Abweichungen

3. n von diesen n 2 Abweichungen sind 0 (die Abweichungen der Werte von sich selbst), der relative Anteil dieser „Null-Abweichungen“ ist n/n 2 =1/n.

4. Dieser Anteil macht in kleinen Stichproben viel aus (mittlere quadratische Abweichung ist systematisch kleiner als in großen Stichproben) und führt zu einer Unterschätzung der Populationsvarianz (bei sehr großen Stichproben macht 1/n wenig aus).

5. Diese Unterschätzung der Varianz wird ausgeglichen, wenn man die „Null-Abweichungen“ abzieht: man hat es also mit n 2 -n = n(n-1) quadratischen Abweichungen der Messwerte voneinander zu tun.

6. Eingesetzt in die Ableitung der Varianz aus den mittleren Abweichungen der Messwerte voneinander ergibt sich die n-1 im Nenner. 

Varianz= 1/2 der quadratischen Abweichungen

Null-Abweichungen“ abziehen: n 2 -n = n(n-1)