Hydromechanik

... eine durch Stromlinien begrenzter Teil eines Strömungsfeldes wird als Stromröhre, der Inhalt als Stromfaden bezeichnet.

Volumen, das pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt dA der Stromröhre fliesst
⇒ berechnet sich aus der Fliessgeschwindigkeit und der Querschnittsfläche zu dQ = v · dA (Flächenelement steht senkrecht auf den Stromlinien)

Da kein Massefluss durch die Mantelfläche der Stromröhre möglich ist, können nur die Querschnittsflächen dAein und dAaus durchströmt sein. 

Bei Quellen- und Senkenfreiheit innerhalb der Stromröhre und bei inkompressiblen Fluid gilt: (siehe Gleichung) 

bestimmt die Form der Strom-, Bahn- und Streichlinien

die Stromlinien der instationären Strömung sind in diejenigen der stationären Strömung überführbar, indem das Bezugssystem mit der Strebe (s. Bild) mitbewegt wird.

Die Geschwindigkeitsvektoren aus der instationären Strömung überlagern sich mit der Bewegungsgeschwindigkeit des Koordinatensystems zu den Geschwindigkeitsvektoren der stationären Strömung.

Erhaltung der Masse (= Massenerhaltungssatz = Kontinuitätsbedingung) der gesamten Energie 

Der Zufluss über die Zeit ist gleich dem Abfluss über die Zeit plus der Massenänderung (durch Kompression des Fluides) innerhalb des Kontrollvolumens.

keine Kompressibilität 
die Dichte ρ_w = const 

(Massenbilanz ziehe Bild)

... jeder Fliessvorgang mit vernachlässigbarem Energieverlust

in der praktischen Anwendung: Strömung wird näherungsweise als reibungsfrei betrachtet

• das System ist örtlich begrenzt, d.h. es handelt sich um Betrachtungen z.B. des Ein- oder Auslaufes oder allgemein um geometrisch begrenzte Systeme,...
• das Fluid ist reibungsfrei, d.h. es handelt sich um ein ideales Fluid mit η = 0, 
• die Strömung ist wirbelfrei (= rotationsfrei).

Graphische Darstellung mit Hilfe von Stromfunktion ψ und einer Potentialfunktion  φ.

Hierbei beschreibt die Stromfunktion ψ den Verlauf er Stromlinien, und die Potentialfunktion φ denVerlauf der Potentiallinien.

1. Stromlinien sind Linien gleicher Stromfunktion ψ [m2s] . Senkrecht zu den Stromlinien findet kein Durchfluss statt.
2. Potentiallinien sind Linien gleicher Potentialfunktion φ [m2s] .
3. Strom- und Potentiallinien stehen senkrecht aufeinander.
4. längslaufende Berandungen sind ebenfalls Stromlinien, d.h. Potentiallinien senkrecht auf Rändern/Begrenzungen.
5. das Netz der Diagonalen bildet ebenfalls ein Quadratraster.
6. das Quadratrasternetz ist durch die Geometrie des Strömungsfeldes und den Bedingungen am Rand des Systemes (d.h. Randstromlinien, Randpotentiallinien) eindeutig definiert.
7. die Geschwindigkeit v an jedem Punkt ist umgekehrt proportional zum Abstand der Potential- bzw. Stromlinien.

• Geschwindigkeitsverteilung v(x, y, t) :
  → Geschwindigkeitshöhe h_kin ( = v^2/2*g, = kinetische Energie) an jedem Punkt zu jeder Zeit
• Piezometerhöhenverteilung h(x, y, t) :
  → Druckhöhe h_dru ( =p/ρ*g, = Druckenergie) + geodätische Höhe h_pot (= z, = potentielle Energie),
• Druckverteilung p(x, y, t) :
  durch Energieerhaltungssatz (System ist reibungsfrei!) und bekannten Abmessungen z berechenbar,
• Durchfluss q(x, y, t) :
  der Durchfluss an jedem Punkt im System durch oben abgebildete Gleichungen.

1. zweidimensionaler Strömung (x, y):],
2. Inkompressibilität: des Fluids, d.h. ρ = const.,
3. vernachlässigbare Energieverluste : reibungsfreiheit angenommen, h_v ≈ 0,
4. konvergierende Strömungsberandung : → beschleunigte Strömung.

• wesentliche Eigenschaft: Stoffeigenschaft „zähigkeitsfrei“
• Einfluss der Zähigkeit wird vernachlässigt
• steht neben dem Trägheitseffekt nur unter dem Einfluss von Druck und Schwerekräften (also keinen Tangentialkräften)

Die Vernachlässigung der Flüssigkeitsreibung...
- ... ist bei Fluiden mit geringer Zähigkeit und somit geringer Reibungskräfte zulässig.
Ausserdem sind selbst zähigkeitsbehaftete Fluide bei bestimmten Strömungsformen unbeeinflusst von zähigkeitsbedingten Kräften (Kap. 4.4 „Potentialströmung“),
- ... führt zu einfachen und übersichtlichen Gesetzmässigkeiten.

Die Energiehöhe H ist direkt ableitbar aus den drei relavanten Formen der mechanischen Energie (kinetischen Energie E_kin, Druckenergie E_dru, potentielle Energie E_pot) der Festkörpermechanik.

Bei Fluidströmungen werden zur praktischen Handhabung diese Energien durch den Faktor ρ · g geteilt.
Somit ergibt sich die Energiehöhe H als Summe aus Geschwindigkeitshöhe, Druckhöhe und geodätischer Höhe

Die Energiehöhe H ist bei einem idealen Fluid konstant entlang des Strömungsweges! Der Verlauf der Energiehöhe H entlang des Strömungsweges wird Energielinie (E.L.) genannt.

Die Druckhöhe h wird üblicherweise als Summe der Druckhöhe und der geodätischen Höhe z definiert, da sie massgeblich von der Lage des Fluidteilchens relativ zum Bezugsniveau (Kap. 3) abhängt.

Der Verlauf der Druckhöhe h entlang des Strömungsweges wird Drucklinie (D.L.) genannt.

Die Energiehöhe H ist bei stationärer, reibungsfreier Strömung, konstantem Bezugsdruck und konstanter Dichte im gesamten Strömungsfeld konstant.

Die Dimension der BERNOULLI - Gleichung ist:
massenbezogene Energie im Verhältnis zur Gravitationsbeschleunigung.

\( [\frac{\mathrm Nm}{\mathrm kg} \times \frac{\mathrm s²}{\mathrm m}] = [m]\)

Aus der BERNOULLI - Gleichung für stationäre, rotationsfreie Bewegung 

Druckverteilung bei horizontal-ebener Strömung (x-y Ebene, vz = 0 , z = const.) und bei vernachlässigbarem Schwerekrafteinfluss (g wirkt nur in z-Richtung):
(siehe Bild)

Die Verteilung des Druckes p kann in einer reibungsfreien Strömung eines inkompressiblen Fluides mit Hilfe des Druckbeiwertes c_p dimensionslos aufgetragen werden.

Vorteil:
bei vorgegebener geometrischer Form sind die ermittelten Druckverteilungskurven für beliebige Werte der Geschwindigkeit v0, des Bezugdruckes p_0, der Fluiddichte ρ und der absoluten Abmessungen der Strömungsränder (Bezugslänge b) gültig 

Gleichung schliesst den Fall „ohne Schwerkrafteinfluss“ (= ebene Strömung) mit ein.

im  Staupunkt wird die Geschwindigkeit zu Null:
hier wird der grösste Druck, der dynamische Druck (= Staudruck) erreicht

Der Druckbeiwert hat an dieser Stelle den Wert (cp = + 1 , 0).

Ein Flüssigkeitsteilchen auf der Staulinie wird vollständig abgebremst, seine gesamte kinetische
(Bewegungs-) Energie (= Geschwindigkeitshöhe v^2_0 / 2g) wird in Druckenergie umgesetzt. 

Die Kenntnis der Druckverteilung an einem abgerundeten, längs angeströmten Zylinder erlaubt es, die Strömungsgeschwindigkeit über Standrohrspiegelhöhen zu messen. Hierzu werden Druckanbohrungen an der Spitze des Zylinders (PITOT - Rohr) oder in der Mantelfläche (PIEZOmeter-Rohr) oder an beiden Punkten (PRANDTL- Rohr) angebracht. Dementsprechend wird entweder die BERNOULLIsche Energiehöhe H, die piezometrische Höhe h oder die Differenz der Beiden gemessen. Aus dieser Differenz, die der Geschwindigkeitshöhe entspricht, lässt sich die Fliessgeschwindigkeit errechnen.

Wenn der Druck in einer Flüssigkeit (Wasser) bis auf den Dampf- oder Siedepunkt absinkt, dann kommt es zur Bildung von Gasblasen.

Der Verdampfungsdruck p_D des Wassers ist temperaturabhängig. Bei einer Temperatur von 100°C entspricht der Verdampfungsdruck p_D ungefähr dem Atmosphärendruck auf Meereshöhe ( → Definition der Celsius-Temperaturskala), bei niederen Temperaturen nimmt er ab und nähert sich dem Absolutdruck null (siehe Tabelle).

Druck- und Druckhöhenangaben sind stets auf dem Atmosphärendruck bezogen (→Formel).

In einem strömenden Fluid kommt es an einem Punkt i, an dem der Dampfdruck erreicht wird (p_i = p_D), zur örtlichen Dampfblasenbildung (= Kavitation) kommen. In Zonen höheren örtlichen Drucks zerfallen die Wasserdampfblasen wieder schlagartig (Zerfall = Implosion). Zufolge turbulenter Geschwindigkeits- und Druckschwankungen tritt die Kavitation zeitweise bereits schon auf, bevor überhaupt der mittlere Druck p_i den Dampfdruck p_D erreicht hat (= beginnende Kavitation).

Die Kavitationszahl Ka gibt an, um das Wievielfache des dynamischen Druckes 1/2 ρ· v^2_0 der Wasserdruck p_0 im Bezugsquerschnitt über dem Dampfdruck p_D liegt (Abstand des Bezugsdruckes vom Dampfdruck in Einheiten des dynamischen Druckes).

(→Formel)

Für die gegebene Geometrie gibt es eine kritische Kavitationszahl Ka_krit., die sich aus dem kleinsten Druckbeiwert c_p,min unter Berücksichtigung eines Turbulenzzuschlages ergibt. (Der Turbulenzzuschlag wird meist experimentell ermittelt).

Unterschreitet die Kavitationszahl bei abnehmenden Druck im Bezugsquerschnitt diesen kritischen Wert, tritt Kavitation ein.

(→Formel)

Annahmen:

1. ortsfeste Kontrollvolumen,

2. inkompressibles Fluid (ρ=const.),

3. Begrenzungsflächen sind Stromröhen mit festen Wänden oder die übrigen Flächen (Ein- und Austrittsquerschnitte der Stromröhre) schneiden alle Stromlinien senkrecht und sind eben (d.h. das in den Querschnittsflächen parallele Stromlinien vorliegen),

4. die Strömunsgberandung ist ortsfest und nicht porös,

5. ideales Fluid: die äusseren Kräfte bestehen aus Druck- und Schwerekräfte:
⇒ Zähigkeitskräfte, resultierende Impuls- und Energieänderungen bleiben unberücksichtigt.

BERNOULLIsche Energiegleichung entlang einer Stromline

(→Formel)

ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung wird durch die Geschwindigkeitsbeiwerte
α und β erfasst

Die Beiwerte α und β nehmen mit steigendem Ungleichförmigkeitsgrad der Strömung immer
grössere Zahlenwerte an (α, β ≥ 1).

(→Grafik)

Für praktische Berechnungen oft gemachte Vereinfachung:
α = β = 1 , 0, da das turbulente Geschwindigkeitsprofil im allgemeinen Anwendungsfall vorliegt.