Festigkeit im Leichtbau

Die Schubflüsse sind bei rechteckigen Schubfeldträgern und bei Parallelogrammschubfeldträgern feldweise konstant.

Bei Schubfeldträgern mit nicht-parallelen Feldrändern wird ein mittlerer Schubfluss an den Feldrändern berechnet.

Äußere Lasten werden nur in den Knotenpunkten der miteinander verbundenen Steifen eingeleitet.

Eine Unterscheidung in innerlich statisch bestimmtes und innerlich statisch unbestimmtes System erfolgt analog zum Fachwerk.
Ein Schubfeldträger ist innerlich statisch bestimmt, wenn der Grad der innerlich statischen Bestimmtheit gleich Null und der Schubfeldträger nicht als starrer Körper verschieblich ist.
Den Grad der statischen Unbestimmtheit kann man mithilfe der Summe aus der Anzahl der Lagerreaktionen, Anzahl der Quer- und Längssteifen, Anzahl der Schubfelder und Subtraktion von zwei Mal der Anzahl an Knoten bestimmen.

Ui = r + s + m − 2 k

Die Verformung eines Schubfeldträgers lässt sich effektiv mithilfe der Formänderungsenergie berechnen.

Die Voraussetzungen sind folgende:
- Die Koordinatenachsen x,y und z verlaufen in Richtung der
Querschnittshauptachsen.
- Die Normal- und Schubspannungen sind über die Wanddicke konstant.
- Die Schubspannungen verlaufen parallel zur Profilmittellinie.
- Die Schubspannungen senkrecht zur Profilmittellinie sind vernachlässigbar klein.
- Die Querschnittsform bleibt grundsätzlich erhalten.
- (Die Wanddicke ist klein gegenüber anderen Abmessungen: t << (h,b) << l.)

Die QSI-Formel (ausgesprochen „Kusinenformel“) wird so bezeichnet, weil die Anfangsbuchstaben der Symbole der in ihr auftretenden Größen (Schubfluss q; Querkraft Q; Statisches Moment S; Flächenträgheitsmoment I) zusammen einen Wortlaut bilden, der sich annähernd wie das Wort „Kusine“ anhört.

Der Verlauf von Schubspannungen in Dickenrichtung von dünnwandigen Profilen ist
konstant.

Der Schubfluss q ist das Produkt von Schubspannung τ und Wandstärke t.

q = Τ • t

Die Annahme, die dieser Beziehung zugrunde liegt, beruht auf eine konstante
Schubspannung auf dünnwandig beliebig geformte offene Profile.

Der Grund, warum zur Schubflussberechnung infolge einer Querkraft der Schubfluss in zwei Anteile unterschieden wird, ist, dass bei dünnwandig geschlossenen Profilen ein zusätzlicher Schubfluss q0 auftritt, der auf dem gesamten Umfang des Querschnitts konstant ist. Dieser führt zusätzlich zu einem resultierenden Moment um die Längsachse.

Der variable Schubfluss erzeugt eine Querkraft und lässt sich berechnen, wenn der konstante Schubfluss gleich null ist.
Der konstante Schubfluss erzeugt ein Torsionsmoment und steht im Zusammenhang mit der 1. Bredtschen Formel T = 2 Am q0.

Grundsätzlich kann man sagen, dass der konstante Schubfluss nur zu berücksichtigen ist, wenn eine Querkraft nicht im Schubmittelpunkt angreift und daraus unmittelbar ein Torsionsmoment erzeugt wird.

Querkräfte sollten im Schubmittelpunkt eines belasteten Profils angreifen, damit neben einer Querkraft- und Biegebelastung keine zusätzlichen Torsionsbeanspruchungen auftreten.

Sollten Querkräfte nicht im Schubmittelpunkt eines belasteten Profils angreifen, so kommt es zu Querschnittsverdrehungen bzw. zur Torsion. Gerade im Leichtbau, wo häufig dünnwandig unsymmetrische Profile eingesetzt werden, wirkt sich dies sehr negativ auf die Tragfähigkeit aus, da diese kaum geeignet sind Torsionsmomente aufzunehmen.

Der Schlankheitsgrad beschreibt das Verhältnis von Balkenlänge zum
Trägheitsradius.

λ = L / i_y = L * Wurzel(A/I_y)

λ = L / i_z = L * Wurzel(A/I_z)

Für Schlankheitsgrade λ > 25 können bei typischen Leichtbauprofilen
Schubdeformationen vernachlässigt werden.
Es gilt das Längen- zu Höhenverhältnis von ca. 7 (bei einem Rechteckprofil).

Man unterscheidet die Saint-Venantsche Torsion und die Wölbkrafttorsion. Der Hauptunterschied ist, dass bei der Saint-Venantschen Torsion keine Wölbspannungen, also keine Normalspannungen in Trägerachsrichtung, auftreten bzw. diese vernachlässigbar sind. Bei der Wölbkrafttorsion treten diese Wölbspannungen auf.

Das Torsionsmoment T fasst alle um den Schubmittelpunkt des Profils auftretenden Momente zusammen. Das Schnittmoment Mx ist hierbei ein Teil des Torsionsmoments T.

T = M_x + Q_y e_z - Q_z e_y

Das Schnittmoment 𝑀𝑥 und das Torsionsmoment T entsprechen sich, wenn die Querkräfte im Schubmittelpunkt angreifen.

Die Verwölbung eines Profils ist eine Verformung eines Profils in Trägerlängsachse, bei der der zuvor unverformte Querschnitt nach der Verformung nicht mehr eben ist, d.h. die verformten Querschnittspunkte liegen nicht mehr in einer Ebene.

In dünnwandigen einzelligen Hohlquerschnitten treten die maximalen Schubspannungen an den Stellen mit der kleinsten Wanddicke auf. Die Schubspannungen haben über die Wanddicke einen konstanten Verlauf.

Schubspannung_max = T / (2 A_m t_min) = T / W_T

In zusammengesetzten dünnwandigen offenen Querschnitten treten die maximalen Schubspannungen an den Stellen mit der größten Wanddicke auf. Die Schubspannungen haben über die Wanddicke einen linearen Verlauf.

Schubspannung_max = T t_max / I_T = T / W_T

Dünnwandige Profile mit konstanter Dicke als Polygone mit Inkreis können als wölbfrei betrachtet werden.

Auch dünnwandige Profile, wo der gemeinsame Schnittpunkt der Profilmittellinien im Schubmittelpunkt liegt, können als wölbfrei betrachtet werden.

Wölbspannungen sind Normalspannungen in Trägerachsrichtung, die nur bei einer Wölbkrafttorsion zu beachten sind. Sie stellen Eigenkraftgruppen dar, die weder eine resultierende Kraft noch ein resultierendes Moment erzeugen. Gewöhnlich treten Wölbspannungen an Einspannstellen auf, da die freie Verwölbung von Querschnitten durch diese Einspannungen verhindert wird.

Eine auf Torsion beanspruchte dünnwandige Struktur sollte möglichst als geschlossenes Profil gestaltet sein, um eine hohe Torsionssteifigkeit zu erzielen.

Man unterscheidet die Gleichgewichtsarten mechanischer Systeme in stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht.

Eine stabile Gleichgewichtslage ist dadurch charakterisiert, dass bei einer kleinen Störung des Systems die ursprüngliche Lage des Systems wiedereinkehrt. Die Änderung der potentiellen Energie ist hier größer als Null (Beispiel: Kugel in der Talsohle).

Eine labile Gleichgewichtslage ist dadurch charakterisiert, dass bei einer kleinen Störung des Systems die ursprüngliche Lage des Systems nicht wiedereinkehrt. Die Änderung der potentiellen Energie ist hier kleiner als Null (Beispiel: Kugel am Hügelhochpunkt).

Eine indifferente Gleichgewichtslage ist dadurch charakterisiert, dass die Nachbarlage des Systems gleich der Ausgangslage des Systems ist. Das bedeutet, dass es zu keiner Änderung der potentiellen Energie gekommen ist (Beispiel: Kugel auf ebenem Boden).

Die Euler-Fälle beschreiben allgemein das Biegeknicken stabförmiger Strukturen.

Es gibt hierbei vier Euler-Fälle, die jeweils durch unterschiedliche Lagerungen und Knickformen definiert werden.

Es gilt: Je steifer die Lagerung, desto höher der Knickbeiwert und somit auch F_krit.

Eine exzentrische Lasteinleitung beeinflusst das Stabilitätsverhalten von Druckstäben folgendermaßen: Die maximale Auslenkung am Strukturende wird mit zunehmender Exzentrizität immer größer. Alle Lösungen streben für große Auslenkungen gegen die horizontale Gerade durch den Verzweigungspunkt bei F=Fkrit. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Annäherung von der unsicheren Seite, da wir uns immer von unten an die horizontale Gerade annähern. Die Knicklast der realen Struktur ist immer niedriger als die einer perfekten Struktur.

Biegedrillknicken ist ein Stabilitätsproblem, welches sich aus den Stabilitätsfällen Biegeknicken und Drillknicken zusammensetzt. Dabei kommt es bei druckbelasteten dünnwandig offenen Profilen neben der Biegung um beide Hauptachsen zu einer überlagerten Verdrehung des Profils um die Längsachse oder einer zur ihr parallelen Achse.

Offene Profile, die in Rahmentragwerken oder zur Aussteifung biegebeanspruchter flächenhafter Strukturen eingesetzt werden, neigen besonders zum Kippen.

Dem Kippen kann man entgegenwirken indem die offenen Profile quer zur Belastungsrichtung über eine gewisse Biegesteifigkeit sowie eine entsprechende Torsionssteifigkeit verfügen. Maßnahmen zur Erhöhung der Kippstabilität sind z.B. das Einspannen gegenseitliche Biegung oder eine Wölbbehinderung bzw. eine Verdrehbehinderung.

Der Beulwert k, auch Beulfaktor genannt, ist ein dimensionloser Beiwert, der von der
Hautfeldgeometrie und den Randbedingungen abhängig ist.

Der Beulwert k kann durch die Randbedingungen erhöht werden. Damit ist gemeint,
dass je steifer die Lagerung des ebenen druckbelasteten Hautfelds ist, desto größer
wird der Beulwert k und folglich auch die kritische Spannung.

Navier-Platten sind ebene und rechteckige auf Druck belastete dünne Hautfelder, die
an allen Rändern mit einer Gesamtstruktur verbunden sind. Diese Verbindungen
werden als allseitig gelenkig angesehen.

Lévy-Platten sind auch ebene und rechteckige auf Druck belastete dünne Hautfelder,
wo die belasteten Ränder gelenkig gelagert sind, aber die unbelasteten Ränder von
der Lagerung variieren können (z.B. frei, gelenkig gelagert, eingespannt).

Girlandenkurven entstehen aus der Abbildung des Beulwertes k als Funktion des Seitenverhältnisses α und der Anzahl an Beulen m und n mit n=1.

Girlandenkurven sind typisch für ihre Bögen.

Der Einfluss der Randbedingungen auf das Schubbeulen ist im obigen Diagramm
dargestellt. Man kann sagen: Je steifer die Randbedingung ist, desto höher ist der
Beulwert. Damit steigt gleichzeitig die kritische Schubspannung an.

Folgende Möglichkeiten gibt es außerdem, um beim Schubbeulen die kritische
Schubspannung zu erhöhen:
- Hautfeldstärke erhöhen
- Größe des Hautfelds verändern, indem zusätzlich
berandende Steifen eingeführt werden

Folgende Versagensformen müssen bei druckbelasteten dünnwandigen Profilen
berücksichtigt werden:

• Globales Knicken (einschließlich Euler-Knicken und Biegedrillknicken).

•  Elastisch-plastisches Versagen oberhalb der Fließgrenze (Traglastproblem).

• Lokale Instabilität durch Beulen der Profilwände (analog zu den Hautfeldstreifen).

Das Superpositionsprinzip zur Berechnung von Spannungszuständen wird zur Bewertung der Tragfähigkeit einer Struktur herangezogen. Dieses Prinzip besagt, dass man lineare Beanspruchungen, die aus verschiedenen äußeren Belastungen resultieren, addieren (kombinieren; überlagern) darf, um letztendlich eine kombinierte Beanspruchung zu erhalten.
Die Voraussetzungen, um das Superpositionsprinzip anwenden zu können, sind folgende:
- Wir setzen lineares Strukturverhalten aus.
- Die Gestaltung eines Modells wird als dünnwandige, möglichst symmetrische Struktur durchgeführt.
- Stabilitätselemente (z.B. Versteifungen) werden nicht betrachtet und daher mit den Profilflächen des Modells verschmiert.
- Die Profilquerschnitte bleiben bei Belastung erhalten.
- Leichtbaugerechte Vereinfachungen in Bezug auf die Dünnwandigkeit der Struktur werden zur Berechnung genutzt.

Das Superpositionsprinzip kann auch zur Ermittlung von Verschiebungsgrößen genutzt werden, da wir lineares Strukturverhalten voraussetzen und auch einzelne Verformungen an einer Struktur überlagern können, um somit eine Gesamtverformung mithilfe des Superpositionsprinzips zu ermitteln.

Wie im obigen Bild zu erkennen ist, wird für ein infinitesimales Wandelement eines Rechteckträgers eine Superposition der Teilbeanspruchungen (Schubspannung 𝜏 und Normalspannung 𝜎𝑥) zu einer Gesamtbeanspruchung durchgeführt. Dies geschieht durch die Annahme, dass wir lineares Strukturverhalten erwarten und somit beide Beanspruchungen sich nicht gegenseitig beeinflussen.

Versagen beschreibt allgemein die plötzliche Tragunfähigkeit einer Struktur bei Überbelastung und sie tritt in zwei Versagensformen auf: entweder Bruch oder plastisches Fließen. Diese beiden Versagensformen sind nicht identisch und kennzeichnen sich jeweils durch eigene Eigenschaften.

Eine Vergleichsspannung 𝜎𝑉 ist eine Festigkeitshypothese, in der potentiell beliebige Spannungszustände zu einer einzigen Spannung zusammengefasst werden. Die Vergleichsspannung 𝜎𝑉 wird verwendet, um die Tragfähigkeit einer Struktur zu beurteilen, indem diese Vergleichsspannung 𝜎𝑉 mit einer zulässigen Spannung 𝜎𝑧𝑢𝑙 verglichen wird.