Das ist ja Interessant Mathe Grundlagen
Echt Interessant
Echt Interessant
Kartei Details
| Karten | 101 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 17.10.2015 / 05.07.2017 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/cards/das_ist_ja_interessant_mathe_grundlagen?max=40&offset=40
|
| Einbinden |
<iframe src="https://card2brain.ch/box/das_ist_ja_interessant_mathe_grundlagen/embed" width="780" height="150" scrolling="no" frameborder="0"></iframe>
|
Wann konvergiert eine Reele Folge?
genau dann wenn sie eine Cauchy Folge ist
Quetschlemma
a,b,c folgen
Sind a und b zwei gegen x konvergierende Folgen mit a kleiner gleich c kleiner gleich b ab einem bestimmten n€N so konvergiert c auch gegen x
absolute Konvergenz von Reihen
a Reihe
SUMMENZEICHEN a konvergiert absolut wenn SUMMENZEICHEN |a| konvergiert
Hinweis: Absolut Betrag
Potenzreihe
x0 ist der Entwicklungspunkt
an die Koeffizienten
Möglichkeiten der Konvergenz einer Potenzreihe
Sie könvergiert nur für x=x0
auf einem Intervall symmetrisch um x0
auf ganz R
Exponentialreihe
Siehe Bild
Eulersche Zahl
Siehe BIld
Sinusfunktion
Siehe Bild
Cosinusfunktion
Siehe Bild
ab = ?
ab = exp (b * ln (a) )
Trivialkriterium
Ist eine Reihe konvergent so strebt die Folge der Reihe eien Nullfolge
Konvergenzkriterien
Cauchy
Leibniz
Majoranten - Minoranten
Quotienten
Wurzel
Summe konvergenter Reihen
Die Summe zweier Reihen bzw des vielfachen zweier Reihen ist konvergent wenn die Reihen auch konvergent waren
Restgliedabschätzung der Exponentialreihe
|rn+1(x)| kleiner gleich 2* (|x|n+1 / (n+1)! )
Eigenschaften der Exponentialfunktion
ex > 1+x wenn x ungleich 0
limgegenunendlich (ex / xn ) = unendlich für festes x€N (Die EXPfkt ist stärker)
bezüglich -undendlich strebt ex gegen 0
ln(xy) = ?
ln(xy) = lnx + lny
Eigenschaften der logarythmusfkt
bzgl 0 strebt ln x gegen -unendlich
bzgl unendlich strebt ln x gegen +unendlich
limesgegenunendlich ( lnx / xa ) = 0 = limgegenNull ( xa lnx) für alle a>0
Berechnung des Konvergenzradius
Cauchy Hadamard: Kehrwert des Wurzelkriteriums
Eueler: Kehrwert des Quotientenkriteriums
Additionstheoreme für Sinus- und Cosinusfkt
Für alle x,y € R gilt:
cos (x+y) = cosxcoxy - sinxsiny
sin (x+y) = sinxcosy + cosxsiny
Additionstheorem tangensfkt
tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)
Stetigkeit von f: D -> R
f heißt stetig in x0 € D wenn der Grenzwert limes x gegen x0 f(x) existiert und gleich f(x0) ist
f heißt (punktweise) stetig wenn die FKT in jedem Punkt x0 € D stetig ist
gleichmäßige stetigkeit von f:D->R
f heißt gleichmäßig stetig in D wenn zu jedem EPSILON > 0 ein DELTA > 0 existiert, sodass für alle x,y € D gilt:
|x-y| < DELTA und |f(x) - f(y)| < EPSILON
Hölder Stetigkeit
f:D->R
f heißt in D Hölder stetig wenn:
|f(x)-f(y)| kleinergleich M*|x-y|a
x,y € D
0<a kleinergleich 1
M>0
Lipschitz Stetigkeit
f:D->R
|f(x)-f(y)| kleinergleich M*|x-y|
Also wie Höler nur mit a = 1
Eigenschaften stetiger Funktionen
Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind wieder stetig
Verkettungen stetiger funkionen sind stetig
Jede gleichmäßig stetige Funktion ist punktweise stetig
Stetige Funktionen sind auf kompakten Intervallen gleichmäßig stetig
Jede lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig
Zwischenwertsatz
f:[a,b]->R sei stetig
f(a)<0
f(b)>0
Dann existiert ein PSI € (a,b) :
f(PSI)=0
Differenzierbarkeit an der Stelle x0 € D
f:D->R
f ist differenzierbar in x0 wenn der Grenzwert
limx->x0 von (f(x)-f(x0) / x-x0 ) existiert
Dies ist die erste Ableitung
Differenzquotient
(f(x)-f(x0) / x-x0 )
Kritischer Punkt
Ist f:D->R diffbar so nenne wir x€D mit f '(x)= 0 den kritischen Punkt
Eigenschaft diffbarer FKTs
Jede diffbare FKT ist stetig in den diffbaren Punkten
Ableitung der Umkehrfunktion
1 / f ' (x)
Binomischer Lehrsatz
Siehe Bild
Bernoullie Ungleichung
(1+x)n größergleich 1 + nx
Metrik
Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung: d:XxX-> R heißt Metrik auf X , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
(1) Positive Definitheit: d(x,y) größergleich 0 und ,d(x,y)=0 => x=y
(2) Symmetrie:,
(3) Dreiecksungleichung:.
Vektorraum
V-Menge
K-Körper
Eine Menge V zusammen mit ZWEI Verknüpfungen
(+): VxV->V und (*): KxV->V
heißt K-VR, wenn
asso für +
kommu für +
neutrl für +
invers für +
asso für * mit elemten aus körper
1Element
distributiv
UcV UnterVR
K Körper
0€U
abschgeschlossen für +
abgeschlossen für element aus U und K
angeordneter Körper
ein Körper kann angeordnet werden, genau dann wenn:
ex. ein PcK: -P U {0] U P = K
-P geschnitten P = LEEREMENGE
Archimedischer Körper
Ein angeordnetet Körper R ist archimedisch wenn
N nicht nach oben in R beschränkt ist
Jeder vollständig angeornete Körper ist
Archimesdisch
Grenzweert ( 1+1/n ) ^n
e
