Das ist ja Interessant Mathe Grundlagen
Echt Interessant
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Kartei Details
Karten | 101 |
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Sprache | Deutsch |
Kategorie | Mathematik |
Stufe | Universität |
Erstellt / Aktualisiert | 17.10.2015 / 05.07.2017 |
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Disjunkte Vereinigung der Menge A
Unter einer disjunkten Vereinigung versteht man ein System von Teilmengen von A, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung grade A ergibt.
A△B (Symmetrische Differenz)
(A/B) U (B/A) =: A△B
Obere und untere Schranke
A sei Menge, K Körper
Ein Element des Körpers das größer gleich, bzw kleiner gleich jedes Element der Menge A ist nennt man untere bzw obere Schranke von A
Beschränkt
Eine Menge heißt beschränkt wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist
Kompaktes Intervall
Ein abgeschlossenes Intervall [a,b] mit a,b€R heißt kompakt
Mächtigkeit
Die Mächtigkeit einer Mege ist die Anzahl ihrer Elemente
Gleichmächtigkeit der Mengen A und B
A und B heißen Gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt
Abzählzbarkeit
Eine Menge heißt Abzählbar wenn sie endlich ist oder es eine biektive Abbildung von ihr in die Natürlichen Zahlen gibt
Wie viele Teilmengen besitzt eine n Elementige endliche Menge?
2^n
Eigenschaften abzählbarer Mengen (TM und Vereinigung)
Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar
Jede abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar
Urbild von b unter f
f:A->B
Die Menge aller a mit f(a)=b ist das Urbild von b unter f
Surjektiv
∀b ∈ B ∃a ∈ A: f(a)=b
Jedes b aus B wird getroffen
Injektiv
f(a)=f(b) => a=b
Unter welchen Bedingung existiert eine Umkerhabbildung von f
f muss Bijektiv sein
Relation
A Menge
R c AxA ist eine Relation auf A
Ist (a.b) in R so schreiben wir a~b
Reflexiv
Symmetrisch
Transitiv
R sei Relation
R heißt reflexiv wenn a~a für alle a aus A
R heißt symmetrisch falls aus a~b folgt, dass b~a
R heißt transitiv wenn aus a~b und b~c folgt dass a~c
Äquivalenzrelation
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist
Äquivalenklasse
Ist ~ eine Äquivalenzraltion auf A und a€A so nennen wir:
[a]:= {b€A: a~b} die Äquivalenzklasse von a
Eigenschaften der Komposition
Kompositionen sind assoziativ
Sind f und g bijektiv so ist ihre Komposition auch bijektiv
Bijektiv (mit Identität)
f:A->B
f ist genau dann bijektiv wenn es eine Abbildung g:B->A gibt mit
fog=id und gof=id
n über k
n über k = n! / (k! * (n-k)! )
und gleich 0 falls n < k
IzI
IzI = Wurzel aus Re(z)² + Im(z)²
Gruppe
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung o, für die gilt:
o:GxG->G ist asso
e€G
Für alle a€G existiert ein b€G mit aob=e
Gilt zusätzlich aob=boa so ist die Gruppe kommutativ
Untergruppe U von G
sie U c G, so ist U UG von G genau dann wenn:
Neutral
Invers
abgeschlossenheit in U
Kern eine Gruppenhomos f:G->H
ker(f) := {g€G : f(g)=e}
Ring
R ist abelsche Gruppe
R ist kommutativ bzgl mal
Distributivgesetz
Ist zusätzlich 1 € R so ist R ein Ring mit 1
Ringhomo f:R->S
R und S Ringe
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
f(1)=1
Körper
Bzgl + und * gilt
asso
neutral
ivers
kommu
+ Distributivität
Körperhomo
f(a+b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
f(1)=1
Isomorphismus
bijektiver Homo
Endomorphismus
Homo mit A=B
Untergruppenkriterium
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist eine UG genau dann, wenn für alle a,b€U gilt dass ab^-1 €U
wobei nur b invertiert wird
Eigenschaften von Homos
f(e)=e
f(a^-1) = f(a)^-1
Jeder Körperhomo ist injetiv
vollständig angeordneter Körper
eine angeordneter Körper heißt vollständig wenn jede nichtleere nach oben (unten) beschränkte Telmenhe in ihm ein Sup (Inf) besitzt
Polarkoordinaten komplexer Zahlen
a+ib = |z|e^(iphi)
Folgenkonvergenz (beide Def)
Sei a der Grenzwert
Für Alle Epsilon > 0 ex. ein n0 € N : |an-a| < epsilon, für alle n > n0
Eine Folge an heißt konvergent gegen a wenn es eine Zahl a€R gibt : (|an-a|) ist eine Nullfolge
uneigentlich komvergent oder bestimmt divergent
Folge konvergiert gegen unendlich
Cauchy Folge
Für Alle epsilon > 0 ex. ein n0€N : |an-am| < epsilon, Für alle m,n größer gleich n0
Wann ist eine monoton wachsende (fallende) Folge reeler Zahlen konvergent?
Genau dann wenn sie nach oben (unten) beschränkt ist
Eigenschaft von Cauchy Folgen bezüglich beschränkheit und Q
Jede Cauchy Folge ist beschränkt
Jede Cauchyfolge in R ist auch in Q eine Cauchyfolge