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Kartei Details

Karten 101
Sprache Deutsch
Kategorie Mathematik
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 17.10.2015 / 05.07.2017
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Disjunkte Vereinigung der Menge A

Unter einer disjunkten Vereinigung versteht man ein System von Teilmengen von A, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung grade A ergibt.

A△B (Symmetrische Differenz)

(A/B) U (B/A) =: A△B

Obere und untere Schranke

A sei Menge, K Körper

Ein Element des Körpers das größer gleich, bzw kleiner gleich jedes Element der Menge A ist nennt man untere bzw obere Schranke von A

Beschränkt

Eine Menge heißt beschränkt wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist

Kompaktes Intervall

Ein abgeschlossenes Intervall [a,b] mit a,b€R heißt kompakt

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Mege ist die Anzahl ihrer Elemente

Gleichmächtigkeit der Mengen A und B

A und B heißen Gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt

Abzählzbarkeit

Eine Menge heißt Abzählbar wenn sie endlich ist oder es eine biektive Abbildung von ihr in die Natürlichen Zahlen gibt

Wie viele Teilmengen besitzt eine n Elementige endliche Menge?

2^n

Eigenschaften abzählbarer Mengen (TM und Vereinigung)

Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar

Jede abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar

Urbild von b unter f

f:A->B

Die Menge aller a mit f(a)=b ist das Urbild von b unter f

Surjektiv

b ∈ B    ∃a ∈ A: f(a)=b

Jedes b aus B wird getroffen

Injektiv

f(a)=f(b) => a=b

Unter welchen Bedingung existiert eine Umkerhabbildung von f

f muss Bijektiv sein

Relation 

A Menge

R c AxA ist eine Relation auf A

Ist (a.b) in R so schreiben wir a~b

Reflexiv

Symmetrisch

Transitiv

R sei Relation

R heißt reflexiv wenn a~a für alle a aus A

R heißt symmetrisch falls aus a~b folgt, dass b~a

R heißt transitiv wenn aus a~b und b~c folgt dass a~c

Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist

Äquivalenklasse

Ist ~ eine Äquivalenzraltion auf A und a€A so nennen wir:
[a]:= {b€A: a~b} die Äquivalenzklasse von a

Eigenschaften der Komposition

Kompositionen sind assoziativ

Sind f und g bijektiv so ist ihre Komposition auch bijektiv

Bijektiv (mit Identität)

f:A->B

f ist genau dann bijektiv wenn es eine Abbildung g:B->A gibt mit

fog=id und gof=id

n über k

n über k = n! / (k! * (n-k)! )

und gleich 0 falls n < k

IzI

IzI = Wurzel aus Re(z)² + Im(z)²

Gruppe

Eine Gruppe ist eine Menge G  mit einer Verknüpfung o, für die gilt:

o:GxG->G ist asso
e€G
Für alle a€G existiert ein b€G mit aob=e

 

Gilt zusätzlich aob=boa so ist die Gruppe kommutativ

 

Untergruppe U von G

sie U c G, so ist U UG von G genau dann wenn:

Neutral
Invers
abgeschlossenheit in U

Kern eine Gruppenhomos f:G->H

ker(f) := {g€G : f(g)=e}

Ring

R ist abelsche Gruppe

R ist kommutativ bzgl mal

Distributivgesetz

 

Ist zusätzlich 1 € R so ist R ein Ring mit 1

Ringhomo f:R->S

R und S Ringe

f(a+b) = f(a) + f(b)

f(ab) = f(a)f(b)

f(1)=1

Körper

Bzgl + und * gilt

asso 

neutral

ivers

kommu

+ Distributivität

Körperhomo

f(a+b) = f(a) + f(b)

f(ab) = f(a)f(b)

f(1)=1

Isomorphismus

bijektiver Homo

Endomorphismus

Homo mit A=B

Untergruppenkriterium

Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist eine UG genau dann, wenn für alle a,b€U gilt dass ab^-1 €U

wobei nur b invertiert wird

Eigenschaften von Homos

f(e)=e

f(a^-1) = f(a)^-1

Jeder Körperhomo ist injetiv

vollständig angeordneter Körper

eine angeordneter Körper heißt vollständig wenn jede nichtleere nach oben (unten) beschränkte Telmenhe in ihm ein Sup (Inf) besitzt

Polarkoordinaten komplexer Zahlen

a+ib = |z|e^(iphi)

Folgenkonvergenz (beide Def)

Sei a der Grenzwert

Für Alle Epsilon > 0 ex. ein n0 € N : |an-a| < epsilon, für alle n > n0

 

Eine Folge an heißt konvergent gegen a wenn es eine Zahl a€R gibt : (|an-a|) ist eine Nullfolge

 

uneigentlich komvergent oder bestimmt divergent

Folge konvergiert gegen unendlich

Cauchy Folge

Für Alle epsilon > 0 ex. ein n0€N : |an-am| < epsilon, Für alle m,n größer gleich n0

Wann ist eine monoton wachsende (fallende) Folge reeler Zahlen konvergent?

Genau dann wenn sie nach oben (unten) beschränkt ist

Eigenschaft von Cauchy Folgen bezüglich beschränkheit und Q

Jede Cauchy Folge ist beschränkt

Jede Cauchyfolge in R ist auch in Q eine Cauchyfolge