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Masse, Impuls (in alle Raumrichtungen), Energie, Stoffmenge (bei Mehrkomponentenströmungen)

Dichte, Geschwindigkeit (u, v, w), Druck, Temperatur, Stoffkonzentration

Änderungsrate der Größe = Stofftransport ein – Stofftransport aus + Molekulartransport ein – Molekulartransport aus + Quellen und Senken + größenabhängige Wirkung

Strömungstransport: Konvektiv, Menge der Größe, die durch die Strömung in das Kontrollvolumen hinein- und herausgetragen wird

Molekularer Transport: Diffusiv, Transport durch die Oberfläche des Kontrollvolumens, z.B. Wärmeleitung

Quelle und Senken: Terme die eine Erzeugung (Quelle) oder Vernichtung (Senke) innerhalb des Volumens beschreiben, z.B. Wärmeerzeugung durch chemische Reaktion

Größenabhängige Wirkung: Umfasst weitere, auf das Volumen wirkende Effekte

Sie ist ein Maß dafür, wie stark ein Vektorfeld an einem bestimmten Punkt eine Quelle oder Senke ist. Sie wird als Quelldichte oder Ergiebigkeit bezeichnet und gibt an, wie viel mehr aus der direkten Umgebung eines Punktes hinausfließt als hineinfließt.

Positive Divergenz:           Punkt ist eine Quelle, mehr heraus als hinein. Wasserquelle

Negative Divergenz:          Punkt ist eine Senke, mehr hinein als heraus. Abfluss Waschbecken

Divergenz von 0:              Quellfrei, genauso viel hinein wie heraus

Ein Gradient ist ein Vektor, der die Richtung des steilsten Anstiegs eines Skalarfeldes an einem bestimmten Punkt angibt. Beschreibt die Antriebskräfte, die eine Strömung oder Wärmetransport verursachen (Druckgradient und Temperaturgradient). Verständnis warum sich ein Fluid bewegt oder abkühlt.

Eigenschaften:

Richtung: Der Gradientenvektor an einem Punkt zeigt immer in die Richtung, in die du gehen müsstest, um steilsten Anstieg zu erleben

Betrag: Die Länge (der Betrag) des Vektors gibt an, wie steil der Anstieg an diesem Punkt ist

Orthogonalität: Der Gradient steht immer senkrecht auf den Höhenlinien

Kurzschrift für lange und komplexe Gleichungen der Strömungsmechanik. Stellt Gleichungen übersichtlich dar und es ist einfacher damit zu arbeiten.

Grundregeln:

• Ui steht für den kompletten Vektor, die Komponenten sind demnach u1, u2, u3
• Tensoren haben zwei Indizes, Tij, erster ist die Orientierung der Fläche und der zweite die Richtung der Komponenten
• Einstein’sche Summenkonvention: Kommt ein Index zwei Mal vor, wird automatisch über alle drei Raumrichtungen summiert
• Dyadisches (tensorielles) Produkt: Produkt zweier Vektoren = Tensor 2. Stufe (bei Tensorschreibweise mit Multiplikationszeichen)
• Kronecker-Tensor: Einheitstensor

Grundlegende Idee ist, ein unendliches Problem in eine endliche Anzahl von abgeschlossenen, lösbaren (diskreten) Teilsystemen zu zerlegen, damit diese der Computer berechnen kann. Strömungsfeld ist ein Kontinuum und muss in einzelne Stücke (Diskretisierung) zerlegt werden für die Berechnung.

Räumliche Diskretisierung: Strömungsgebiet wird in eine endliche Anzahl abgeschlossener Elemente zerlegt. -> Ergebnis ist Berechnungsgitter oder Rechennetz. Gesuchte Größen werden nicht mehr überall, sondern an diskreten Punkten berechnet

Zeitliche Diskretisierung: bei instationären Problemen wird der betrachtete Zeitraum in einzelne, diskrete Zeitschritte unterteilt. Berechnung erfolgt nicht kontinuierlich, sondern springt von einem Zeitpunkt zum nächsten

• Am Ende hat man die Lösungen nur an bestimmten Orten zu bestimmten Zeiten

Turbulente Strömungen sind komplexe, chaotische Fluidbewegungen, für die es keine Definition und keine einheitliche Theorie gibt. Sie lassen sich anhand von charakteristischen Eigenschaften beschreiben.

Turbulenzen entstehen, wenn eine Strömung instabil wird. Das passiert durch eine ausreichend hohe Reynolds-Zahl (Rekrit). Vereinfacht gesagt entstehen Turbulenzen aufgrund übermäßiger Scherung, wo der Geschwindigkeitsgradient hoch ist (z.B. an einer Wand oder Freistrahl), dann wird die Strömung instabil und kippt, sie wechselt von reibungsdominiert in trägheitsdominiert

• Unregelmäßig: alle Strömungsgrößen schwanken chaotisch und zufällig in Raum und Zeit
• Mischungsintensiv: führen zu einer starken Vermischung, was den Transport von Impuls, Wärme und Stoffen deutlich erhöht
• Dreidimensional: Turbulenz ist immer ein räumliches Phänomen
• Instationär: sind zeitlich veränderlich und umfassen ein breites Spektrum an Zeitskalen
• Drehbehaftet: sind durch eine Vielzahl von miteinander interagierenden Wirbeln gekennzeichnet (Strecken der Wirbel = Energietransfer)
• Dissipativ: kinetische Energie der Turbulenz wird durch viskose Reibung durchgehend in innere Energie umgewandelt -> Turbulenzschwankungen werden schnell kleiner
• Höhere Reibungsverluste: Durch vertikale Schubspannungen wird mehr Energie benötigt

Sie ist interessant, weil sie in den meisten technischen Anwendungen vorgefunden wird. Sie hat massiv technische Auswirkungen auf die Funktion und Effizienz von Maschinen und Prozessen. Die Effekte können vorteilhaft und nachteilig sein.

Vorteilhaft:    Bessere Wärme- und Stoffübertragung, Effizientere Vermischung

Negativ:        Höhere Druckverluste durch mehr innere Reibung, Geräuschemission (Lärm)

Turbulenzmodelle sind eine notwendige Vereinfachung, um turbulente Strömungen in einem realistischen Zeit- und Kostenrahmen am Computer berechnen zu können. Dafür gibt es 2 Hauptgründe:

1. Der Aufwand einer exakten Simulation ist zu hoch: Eine direkte numerische Simulation (DNS), die alle turbulenten Wirbel auflöst, würde selbst einfache technische Probleme eine extreme Rechenleistung und immense Rechenzeiten erfordern, was sie für den Alltag unmöglich macht.

2. Das Schließungsproblem der Turbulenz: Um den Rechenaufwand zu reduzieren, mittelt man die Strömungsgleichungen über die Zeit (RANS-Verfahren). Durch diesen Mittelungsprozess entstehen jedoch neue, unbekannte Terme in den Gleichungen – die Reynolds-Spannungen. Man hat am Ende also mehr Unbekannte als Gleichungen, was das System mathematisch unlösbar macht. Als Folge müssen Modelle zur Beschreibung formuliert werden, sodass Anzahl der Unbekannte = Anzahl Gleichungen ist.

Statistische Behandlung:

Für die meisten technischen Anwendungen sind die Vielfalt der Informationen aus den turbulenten Schwankungen nicht von Interesse, zeitliche Mittelwerte reichen für die Berechnung wichtiger Strömungsgrößen. Die Reynolds-Mittelung zerlegt jede Strömungsgröße in einen zeitlichen Mittelwert und einen Schwankungsanteil. Diese zerlegten Größen werden in die NST eingesetzt und anschließend wird die gesamte Gleichung zeitlich gemittelt.

Ziel ist es die teure direkte Berechnung zu umgehen und mit Gleichungen für die Mittelwerte zu rechnen.

Das Schließungsproblem:

Um den Rechenaufwand zu reduzieren, mittelt man die Strömungsgleichungen über die Zeit (RANS-Verfahren). Durch diesen Mittelungsprozess entstehen jedoch neue, unbekannte Terme in den Gleichungen – die Reynolds-Spannungen. Man hat am Ende also mehr Unbekannte als Gleichungen, was das System mathematisch unlösbar macht. Als Folge müssen Modelle zur Beschreibung formuliert werden, sodass Anzahl der Unbekannte = Anzahl Gleichungen ist.

Drei Hauptansätze zur Behandlung von Turbulenz:

• DNS (direkte numerische Simulation): exaktester Ansatz. alle turbulenten Wirbel werden direkt berechnet, kein Modell notwendig -> hohe Rechenzeit (nur für Forschung und 2D)
• LES (Large Eddy Simulation): Ein Kompromiss. Die großen, energiereichen Wirbel werden direkt berechnet, kleine Wirbel werden modelliert -> immer noch rechenintensiv und instationär
• RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes): pragmatischer Ansatz für die Industrie. Alle turbulenten Schwankungen werden modelliert, nur zeitlich gemittelte Gleichungen werden gelöst -> geringster Rechenaufwand und Standard, aber Informationsverlust

Familie der RANS:

Kernfrage: Wie werden die unbekannten Reynolds-Spannungen gelöst?

• Reynolds-Spannungs-Modelle:
  • Idee: Lösen 6 zusätzlicher, komplexer Transportgleichungen direkt für die Reynolds-Spannungen
  • Vorteil: sehr genau, da Anisotropie der Turbulenz direkt erfasst wird
  • Nachteil: Hoher Rechenaufwand (RANS), kann numerisch instabil werden
  • Für komplexe Strömungsformen, z.B. stark verdrallte Strömungen

• Wirbelviskositäts-Modelle (Boussinesq-Ansatz):
  • Idee: Massive Vereinfachung. Wirkung der Turbulenz wird durch eine künstliche „turbulente Viskosität“ beschrieben. Man reduziert das Problem von 6 unbekannten Spannungen auf nur eine unbekannte skalare Größe.
  • Nachteil: weniger physikalisch exakt, Turbulenz wird als isotrop angenommen, was nicht oft der Fall ist
  • Vorteil: Spart enorm Rechenzeit
  • Unterteilung nach Anzahl der Transportgleichungen zur Lösung der turb. Viskosität:
    • Null-Gleichungs-Modelle: Bestimmen von mü aus rein algebraischen Formeln (z.B. Mischungswegmodell). Sehr schnell, aber wenig allgemeingültug
    • Ein-Gleichungs-Modelle: Lösen eine Transportgleichung, halbempirische Gleichung für das Geschwindigkeitsmaß der Turbulenz. Längenmaß weiterhin algebraisch
    • Zwei-Gleichungs-Modelle: „Sweet-Spot“ für viele Anwendungen. Lösen von zwei Transportgleichungen, meist für Geschwindigkeits- als auch Längenmaß der Turbulenz (z.B k-epslion oder k-omega)

Problem: In Wandnähe versagen Standard-Turbulenzmodelle (k-epsilon) aufgrund von extremen Geschwindigkeitsgradienten und die Anisotropie der Strömung. Es ist existiert außerdem eine viskose Unterschicht, in der turbulente Schwankungen vernachlässigt werden können. Eine direkte Auflösung wäre sehr rechenaufwändig.

1. Wandfunktionen (High-Re-Ansatz)

• Idee: Die Wandnähe wird mit einer Formel (logarithmisches Wandgesetz) überbrückt
• Vorraussetzung: Erste Zelle muss im Bereich 30 < y+ < 300 liegen
• Vorteil: schnell & kostengünstig
• Nachteil: Ungenau bei z.B. Strömungsablösung, niedrigen Re-Zahlen

2. Ansatz Low-Re-Modelle

• Idee: Die wandnahe Schicht wird durch ein sehr feines Netz komplett aufgelöst
• Vorraussetzung: Erste Zelle muss bei y+ < 1 liegen
• Vorteil: sehr genau, vor allem bei Phänomen wie laminar-turbulenter Umschlag
• Nachteil: rechenaufwändig

• Es gibt Ansätze, die beide Funktionen automatisch verbinden

Elliptische Gleichungen: (Gleichgewichts-Probleme)

• Informationsausbreitung unendlich schnell in alle Richtungen
• Der Wert an einem beliebigen Punkt P beeinflusst alle anderen Punkte im Gebiet und wird gleichzeitig von allen anderen Punkten beeinflusst
• Es sind ausschließlich Randbedingungen benötigt
• Beispiel: Stationäre Wärmeleitung (Laplace-Gleichung)

Parabolische Gleichungen: (Mischung aus Gleichgewichts- und Forschreitendes-Problem)

• Informationen breiten sich in eine Richtung fortschreitend (z.B. mit der Zeit) mit endlicher Geschwindigkeit aus
• In den anderen (räumlichen) Richtungen breitet sich die Information unendlich schnell aus
• Es werden Anfangsbedingungen und Randbedingungen benötigt
• Beispiel: Instationäre Wärmeleitung in einem Stab, Überschallströmung an einer Wand

Hyperbolische Gleichung: (Fortschreitendes Problem)

• Informationen breiten sich in alle Dimensionen mit endlicher Geschwindigkeit aus
• Der Zustand an einem Punkt P hängt nur von einem begrenzten „Abhängigkeitsbereich“ aus der „Vergangenheit“ ab. Störungen wirken nur stromabwärts
• Es werden Anfangs- und Randbedingungen benötigt
• Beispiel: Wellengleichung oder reibungsfreie Überschallströmung (Laval-Düse)

Gleichgewichts-Probleme:

• Stationäre Zustände, bei denen sich nichts mehr zeitlich ändert, „eingefroren“
• Informationsausbreitung: Eine Störung an einem beliebigen Punkt im Gebiet wirkt sich unendlich schnell und in alle Richtungen auf das gesamte Gebiet aus. Der Zustand von jedem Punkt hängt also von allen anderen Punkten ab.
• Es ist ein Randwertproblem, es werden zur Lösung alle Randbedingungen benötigt

Fortschreitende Probleme:

• Beschreibt Prozesse, die sich in eine bestimmte Richtung entwickeln – meisten in der Zeit. Die Lösung schreitet voran oder marschiert
• Informationsausbreitung: Informationen breiten sich nur in eine Richtung (z.B. in die Zukunft) mit einer endlichen Geschwindigkeit aus. Die Zukunft hat keinen Einfluss auf die Vergangenheit
• Es ist ein gemischtes Rand- und Anfangswertproblem, man benötigt also einen Startpunkt und zusätzliche Randbedingungen, die den Prozess räumlich einordnen

DGLs werden diskretisiert, indem man die kontinuierlichen Ableitungen durch algebraische Näherungen ersetzt. In der Finiten Differenzen Methode basiert die Herleitung der Formeln auf der Taylorreihenentwicklung

Vorgehensweise:

• Taylor-Reihe aufstellen: Eine Funktion am Nachbarpunkt (i+1) wird durch eine Taylor-Reihe am Punkt (i) ausgedrückt
• Nach Ableitungen umstellen: Die Formel wird nach der gesuchten Ableitung umgestellt
• Abbrechen: Man vernachlässigt die Terme höherer Ordnung. Dies macht die exakte Formel zu einer Näherung und erzeugt einen Abbruchfehler

Vorwärtsdifferenz (VDS):

• Was ist das? Näherung für die Steigung am Punkt i, die den Wert am aktuellen Punkt i und den nächsten Punkt i+1 verwendet
• Wie wird sie gebildet? Sie ergibt sich aus der Taylor-Reihe für den Punkt i+1 und hat die Formel: (i+1-i)/deltax
• Genauigkeit: Approximation 1. Ordnung, bedeutet der Abbruchfehler ist proportional zum Gitterabstand deltaX

Rückwärtsdifferenz (RDS):

• Was ist das? Näherung für die Steigung am Punkt i, die den Wert am aktuellen Punkt i und den vorherigen Punkt i-1 verwendet
• Wie wird sie gebildet? Sie ergibt sich aus der Taylor-Reihe für den Punkt i-1 und hat die Formel: (i – i-1)/deltax
• Genauigkeit: ebenfalls Approximation 1. Ordnung

Zentraldifferenz (ZDS):

• Was ist das? Näherung für die Steigung am Punkt i, die die Werte der beiden benachbarten Punkte i+1 und i-1 verwendet
• Wie wird sie gebildet? Sie ergibt sich durch eine Kombination der Taylor-Reihen für die Punkte i+1 und i-1 und hat die Formel: (i+1 – i-1)/2*deltaX
• Genauigkeit: Approximation 2.Ordnung, damit in der Regel genauer als VDS/RDS

Häufig wird für die 2. Ableitung die Zentraldifferenz für innere und äußere Ableitung angewendet, wegen der höheren Fehlerordnung. Die zweite Ableitung wird als Differenz der ersten Ableitungen an gedachten Hilfspunkten betrachtet. Die ersten Ableitungen an den Hilfspunkten werden ihrerseits über eine Zentraldifferenz über die benachbarten Punkte approximiert.

• Zentraldifferenz zwei Mal anwenden
• Die 2. Ableitung der Zentraldifferenz ist ebenfalls eine Approximation 2. Ordnung
• Man brauch mindestens drei Stützstellen für die Bildung einer zweiten Ableitung

Es gibt drei Hauptarten von Randbedingungen, die beschreiben, wie das Berechnungsgebiet mit einer Umgebung interagiert.

1. Art (Diriclet): Hier wird der Wert der Funktion direkt am Rand vorgegeben.

          Beispiel: Festgelegte Temperatur an einer Wand

In FD: am einfachsten, Wert des Gitterknotens am Rand wird auf den vorgegebenen Wert gesetzt

2. Art (Neumann): Hier wird der Wert der ersten Ableitung (Gradient) senkrecht zum Rand vorgegeben

Beispiel: Ein festgelegter Wärmestrom durch eine Wand, da dieser proportional zum Temperaturgradienten ist

In FD: komplizierter, am Rand muss eine einseitige Differenzenformel (Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenz) verwendet werden, um Ableitung zu approximieren. Führt zu einer algebraischen Gleichung für den Randknoten

3. Art (Cauchy): Hier wird eine Kombination aus Funktionswert und erster Ableitung vorgegeben

Beispiel: Vorgabe des Wärmeübergangskoeffizienten, da dieser von der Temperaturdifferenz zur Umgebung und dem Wärmestrom abhängt

In FD: selbe wie 2. Art

Die Fehlerordnung gibt an, wie schnell der Abbruchfehler einer Finiten-Differenzen-Approximation kleiner wird, wenn man den Gitterabstand deltaX verkleinert. Die Fehlerordnung ist der Exponent, mit dem der Gitterabstand im führenden Term des Abbruchfehlers auftritt. Abbruchfehler = Terme höherer Ordnung bei Taylor-Reihe vernachlässigt.

1. Ordnung -> Bei Halbierung von deltaX halbiert sich der Fehler

2. Ordnung -> Bei Halbierung von deltaX viertelt sich der Fehler