MC Analysis FS25

Am Punkt (0;−0.5) ist der Gradient der Funktion f länger als am Punkt (−0.4;0).

Am Punkt (1;0) gilt \(δf≈δx+δy\).

Die Funktion f hat nur einen kritischen Punkt.

 Der Graph von f steigt an keinem Punkt und in keine Richtung steiler an als 45◦.

Am Punkt (0;0) gilt \(δf ≈ δx\).

Die Funktion f hat an der Stelle (0; 0) einen Sattel-Punkt

 Die Funktion f hat an der Stelle \((π/2; 0)\) ein lokales Maximum.

Es gibt eine Gerade in der x-y-Ebene, welche auf einer Level-Linie der Funktion f liegt.

Die Methode der Substitution basiert auf der Ketten-Regel der Differentialrechnung.

Mit der Methode der Substitution kann jede Verschachtelung von zwei Funktionen problemlos integriert werden.

Mit der Methode der Substitution können sowohl bestimmte als auch unbestimmte Integrale berechnet werden.

Die Methode der Substitution eignet sich zur Integration von Produkten der Form \(x· f(x^2)\)

Es gilt \(\int_{1}^{2} sin(2x) \, dx = 1/2\int_{1}^{2}sin(u) \,du\)

Es gilt \(\int_{1}^{2} sin(2x) \, dx = \int_{2}^{4}sin(u) \,du\)

Die Methode der partiellen Integration basiert auf der Produkt-Regel der Differentialrechn

Mit der Methode der partiellen Integration kann jedes Produkt von zwei Funktionen problemlos integriert werden.

Die Methode der partiellen Integration kann nur bei gegebenen Integrationsgrenzen angewendet werden.

Die Methode der partiellen Integration eignet sich zur Integration von Produkten zwischen Elementarfunktionen und Polynomen.

Um ein Produkt von zwei Funktionen mit der Methode der partiellen Integration integrieren zu können, muss man mindestens einen der Faktoren alleine integrieren können, muss man mindestens einen der Faktren alleine integrieren können.

Mit der Methode der partiellen Integration kann das Integral einer beliebigen, differentierbaren Funktion \(f(x)\) auf die Berechnung des Integrals von \(x · f ′ (x)\) zurückgeführt werden und umgekehrt.

Alle uneigentlichen Integrale müssen als Grenzwerte berechnet werden.

Alle uneigentlichen Integrale erkennt man daran, dass mindestens eine der Grenzen −∞ oder ∞ ist.

Falls das uneigentliche Integral  \(I = \int_0^{\infty} f(x) \, dx\)existiert, dann gilt in jedem Fall:
\(I = \lim_{s \to \infty} \int_0^s f(x) \, dx.\)

Falls der Grenzwert \(I = \lim_{s \to \infty} \int_0^s f(x) \, dx\) konvergiert, dann gilt in jedem Fall\(I = \int_0^{\infty} f(x) \, dx \)

Falls das uneigentliche Integral \( I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \)existiert, dann gilt \( I = \lim_{s \to \infty} \int_{-s}^{s} f(x) \, dx \).

Falls der Grenzwert \( I = \lim_{s \to \infty} \int_{-s}^{s} f(x) \, dx \) konvergiert, dann gilt \( I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \).

Die Integrale I und J sind uneigentliche Integrale.

Für a = 1 gilt I = 1.

Für a > 0 ist J konvergent. 

Für a ≤ 0 sind I und J beide divergent

Für jedes a > 0 gilt I > J.

Es gibt ein a > 1, so dass I = 10.

 Die Integrale I und J sind uneigentliche Integrale

 Es gilt \(J = − cos^2 (2π) + cos^2 (0)\)

 Es gilt J = 0

 Für \(−π/2 < a < 0 \) gilt \(I > 0\)

 Für \(0 < a < π/2\) gilt I > a

Es gilt \(J = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \)

Die Theorie der Maclaurin-Entwicklungen wurde im 20. Jahrhundert entwickelt. 

Elektronische Rechenmaschinen verwenden Maclaurin-Entwicklungen, um Funktionswerte von analytischen Elementarfunktionen auf eine vorgegebene Genauigkeit zu berechnen.