MC Analysis FS25

Die Methode der linearen Modifikation basiert auf der Ketten-Regel der Differentialrechnung.

In der Praxis ist die lineare Modifikation die am häufigsten anzuwendende Methode zur Berechnung von nicht elementaren Integralen.

Die Methode der linearen Modifikation kann nur bei gegebenen Integrationsgrenzen angewendet werden.

Die Methode der linearen Modifikation eignet sich zur Integration von Linearkombinationen von Funktionen.

Es gilt \(∫cos(3x+4)dx = sin(3x+4)+c\)

Es gilt\(∫cos(3x+4)dx = 1/ 3 ·sin(x)+c\)

Die Idee des Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess reicht zurück bis in die Antike.

Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess wird in der Praxis fast ausschliesslich von Mathematikern angewendet.

Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess ist eine Standard-Methode zur Berechnung von Stammfunktionen bzw. Integralen.

Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess ist eine Standard-Methode zum Auffinden von Integralen in der Praxis.

Gilt \(δy≈cosh(δx)\), dann folgt \(y(x)=sinh(δx)\)

Gilt \(δy≈cosh(x)·δx\), dann folgt \(∆y=sinh(x_E)−sinh(xₒ)\)

Die mehrdimensionale Analysis basiert auf der eindimensionalen Analysis und der Vektorgeometrie.

Reellwertige Funktionen in mehreren reellen Variablen werden, vor allem in der Physik, auch Skalarfelder genannt.

Für n > 1 ist eine Funktion des Typs \(f : ℝⁿ → ℝ\) niemals injektiv.

 Jede Ebene in 3D ist der Graph einer Funktion in zwei reellen Variablen.

Jede Sphäre in 3D ist der Graph einer Funktion in zwei reellen Variablen.

Es gilt \(f(3;0;4) = 5\)

 \(f \) ist eine Funktion in drei Variablen.

Die x-Achse ist eine Level-Linie von \(f\)

Die Einheitssphäre in 3D ist der Graph von \( f\)

 Die Einheitssphäre in 3D ist eine Level-Menge von \(f\)

 Die Sphäre um den Ursprung mit Radius 7 ist eine Level-Fläche von \(f\)

Vektorfelder spielen in der Fluiddynamik und Elektrik eine grosse Rolle.

 Ein Vektorfeld auf \(A ⊆ ℝ^ⁿ\) ist eine Funktion des Typs \( v⃗ : A → ℝ^ⁿ\)

Die Vektoren eines homogenen Vektorfeldes haben an jedem Punkt die gleiche Länge.

Die Vektoren eines homogenen Vektorfeldes können von Punkt zu Punkt in unterschiedliche Richtungen zeigen.

Ist \(v⃗\) ein Vektorfeld auf \(A ⊆ ℝ^ⁿ\), dann gilt dies auch für |\(v⃗\)|

Sind \(v⃗\)und \(w⃗\) zwei Vektorfelder auf \(A ⊆ ℝ^ⁿ\), dann gilt dies auch für \(u⃗ := v⃗+w⃗\)

Eine parametrisierte Kurve ist eine Funktion der Form \(s :ℝ → ℝ^ⁿ\)

Eine parametrisierte Kurve ist alsFunktion in jedem Fall injektiv.

Eine parametrisierte Kurve \(s :ℝ → ℝ^ⁿ\)  ist für \(n≥2\) niemals surjektiv.

Haben zwei parametrisierte Kurven die gleiche Bahn ,dann haben sie auch die gleiche Bahngeschwindigkeit.

Haben zwei parametrisierte Kurven die gleiche Bahn, dann haben sie auch den gleichen Bahnvektor.

Haben zwei parametrisierte Kurven den gleichen Geschwindigkeitsvektor, dann haben sie auch die gleiche Bahn.

\(s⃗(τ)\) ist injektiv.

Die Bahn von \(s⃗(τ)\) ist ein Kreis mit Mittelpunkt (5.0;−10) und Radius 5.0m.

Der Kurvenparameter \(τ\) ist eine Grösse ohne Masseinheit.

Für den Geschwindigkeitsvektor gilt \(v⃗(0) = 5.0m·\hat{e⃗}_y\)

Für die Bahngeschwindigkeit gilt \( v(1)=5.0m/s\).