MC Analysis FS25

Die metrik ist eine diagonale Matrix.

Weil die Fläche teil einer Ebene ist, gilt \(\sqrt{g} =1\)

Der Flächeninhalt beträgt 2.

Um den Fluss durch eine Fläche zu berechnen, muss man das Vektorfeld im gesamten Raum kennen.

Verdoppelt man die Länge aller Vektoren, dann verdoppelt man auch den Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche.

Steht ein Vektrofeld überall senkrecht auf dem Einheitsnormalenvektor einer Fläche, dann verschwindet der Fluss durch diese Fläche.

Verschwindet der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche, dann steht es überall senkrecht auf dem Einheitsnormalenvektor dieser Fläche.

Für jedes Vektorfeld verschwindet er Fluss durch eine geschlossene Fläche.

Für jedes homogene Vektorfeld verschwindet der Fluss durch eine geschlossene Fläche.

Für\( n >1\) ist eine Funktion des Typs \(f : ℝ^n → ℝ\) niemals surjektiv.

Unter den partiellen Ableitungen von \(f\) versteht man die Ableitungen von \(f\) nach jeweils einer der \(n\) Variablen, wobei die andern formell wie Kon stanten behandelt werden.

Die partiellen Ableitungen können mit Hilfe des Newton-Differenzen-quotienten definiert werden.

Die Rechenregeln für gewöhnliche Ableitungen einer Funktion in einer Variablen gelten auch für partielle Ableitungen.

Die partiellen Ableitungen von f sind Funktionen des Typs \(f_{,\mu} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\).

Gemäss Schwarz-Clairaut-Young-Satz gilt \(f_{,v,\mu} = f_{,\mu,v}\) für alle \(µ,ν ∈ \left\{1,...,n\right\}\)in jedem Fall.

Gemäss Schwarz-Clairaut-Young-Satz gilt \(f_{,v,\mu} = f_{,\mu,v}\) für alle \(µ,ν ∈ \left\{1,...,n\right\}\)in falls\(f_{,v,\mu}\) und \(f_{,\mu,v}\) beide existieren und stetig sind.

Der Gradient ist nur für Skalarfelder in 2D und 3D definiert. 

Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld.

Ist der Graph von \(f\) die Hälfte einer Sphäre, dann ist \(\vec{∇}f\) ein homogenes Vektorfeld.

Verschwindet der Gradient eines Skalarfeldes an jedem Punkt, dann ist das Skalarfeld konstant.

Es gilt die Faktor-Regel \(\vec{∇}(a·g)=a·\vec{∇}g.\)

Es gilt die Produkt-Regel \(\vec{∇}(g·h)=h·\vec{∇}g+g·\vec{∇}h\)

Die Divergenz ist nur für Vektorfelder in 2D und 3D definiert.

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist selbst wieder ein Vektorfeld.

Ist ein Vektorfeld homogen, dann verschwindet seine Divergenz.

Verschwindet die Divergenz, dann ist das Vektorfeld homogen.

Es gilt die Summen-Regel \(div(\vec{v}+\vec{w})=div(\vec{v})+div(\vec{w}).\)

Es gilt die Produkt-Regel \(div(f·\vec{v})=f·div(\vec{v}).\)

Die Rotation ist nur für Vektorfelder in 2D und 3D definiert. 

Nur in 3 Dimensionen ist die Rotation eines Vektorfeldes selbst wieder ein Vektorfeld.

Verschwindet die z-Komponente eines räumlichen Vektorfeldes, dann steht seine Rotation senkrecht auf der x-y-Ebene.

Verschwindet die Rotation, dann ist das Vektorfeld homogen.

Es gilt die Faktor-Regel \(rot(a·\vec{v})=a·rot(\vec{v}).\)

In 3D gilt die Produkt-Regel \( rot(f·\vec{v})=\vec{∇}f×\vec{v}+f·rot(\vec{v}).\)

Der Gauss-Integralsatz gilt in Euklid-Räumen beliebiger Dimension.

Der Gauss-Integralsatz wird standardmässig in Bezug auf die innere Ein heitsnormale \(\vec{\hat{n}}\) einer geschlossenen Fläche im Raum formuliert.

Der Gauss-Integralsatz wird standardmässig in Bezug auf die äussere Einheitsnormale \(\vec{\hat{n}}\) einer geschlossenen Fläche im Raum formuliert.

Gilt \(div(\vec{v})=0\), dann verschwindet die Perforation von \(\vec{n}\) durch eine geschlossene Fläche im Raum.

Verschwindet die Perforation von \(\vec{v}\) durch eine geschlossene Fläche im Raum, dann gilt \(div(\vec{v})=0\) im Innern des Volumens, das diese Fläche einschliesst.

Die Perforation eines homogenen Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche im Raum verschwindet in jedem Fall.