MC Analysis FS25

Für den Bahnvektor gilt \(\hat{e⃗}(1) = \hat{e⃗}_x\)

Linienintegrale spielen bei der Berechnung von Arbeitsleistungen in der Physik eine grosse Rolle.

Wählt man den neuen Kurvenparameter \( \tilde{\tau}=2τ\), dann verändert man den Wert von \( I\) nicht.

Wechselt man die Laufrichtung der parametrisierten Kurve, dann verändert man den Wert von \(I\) nicht.

Gilt überall \(∡(w⃗,v⃗)=π/2\), dann folgt \(I=0\).

Gilt überall \(∡(w⃗,v⃗)=0\), dann folgt \( I=0\).

Gilt überall \(∡(w⃗,v⃗)=π\) dann folgt \(I<0\).

Es gilt \(I = 0\)

Es gilt \(I > 0\)

Es gilt \( |I| = 18π\)

Der Bahnvektor der parametrisierten Kurve steht an jedem Punkt senk recht auf \(w⃗\)

Verlängert man die parametrisierte Kurve durch \(τ ∈ [0,2]\), dann bleibt der Wert von \(I\) unverändert.

Verlängert man die parametrisierte Kurve durch \(τ ∈ [0,2]\), dann verdoppelt man den Wert von \(I\)

Ein Zweifach-Integral beschreibt das Volumen zwischen dem Graphen einer Funktion \( f : ℝ^² → ℝ\) und einem Gebiet in der x-y-Ebene.

Die Fläche eines Gebiets in 2D lässt sich mit Hilfe eines Zweifach-Integrals berechnen.

Gemäss FUBINI-Satz darf die Integrationsreihenfolge eines Zweifach Integrals nicht vertauscht werden.

Mit Hilfe des FUBINI-Satzes kann man nur Integrale über achsenparallele Rechtecke berechnen.

Für \(f(x;y) ≥ 0\) gilt \(∫_G f(x;y) dA ≥ 0\) für jedes Gebiet G in der x-y Ebene.

Für \(f(x;y) ≤ 0\) gilt \(\int_{x_0}^{x_E} \int_{y_E}^{y_0} f(x; y) \, dy \, dx \leq 0\) für alle\( x_0,x_E,y_0,y_E ∈ ℝ\)

 Für alle \(r ∈ ℝ^+\), kann \(I(r)\) mit Hilfe des FUBINI-Satzes berechnet werden.

\(I(r)\) steigt monoton mit \(r ∈ ℝ^+\)

Für \(r ∈ R^+ \) gilt \(I(r) > 0\)

Verdoppelt man r, dann vervierfacht man \(I(r)\).

 Es gilt \(\lim_{r \to 0} I(r) = 0\)

Für alle \(r ∈ ℝ^+\) gilt \(I(r) > πr^3\)

Jede parametrisierte Fläche lässt sich als Graph einer Funktion in zwei Variablen darstellen.

Jeder Graph einer Funktion in zwei Variablen lässt sich als parametrisierte Fläche darstellen.

Alle Sphären im Raum lassen sich als parametrisierte Flächen darstellen.

Die Parametrisierung einer parametrisierten Fläche ist eine Funktion des Typs \(P⃗ : ℝ^2 →ℝ\).

 Die Parametrisierung einer parametrisierten Fläche ist in jedem Fall injektiv.

Die Parametrisierung einer parametrisierten Fläche ist in jedem Fall surjektiv.

In jedem Fal lzeigen \(e⃗_1\) und \(e⃗_2\) tangential zu \(M\).

In jedem Fall gilt \(e⃗_1⊥e⃗_2\).

In jedem Fall ist \(n⃗\) eine Linearkombination von \(e⃗_1\) und \(e⃗_2\).

In jedem Fall gilt \(e⃗_1⊥n⃗\) und \(e⃗_2⊥n⃗\)

 In jedem Fall gilt \(\sqrt{g}=|e⃗_1×e⃗_2|\).

Die Metrik ist genau dann diagonal, wenn gilt \( e⃗_1⊥e⃗_2\)

Es gilt \(\hat{n⃗} = \hat{e⃗}_z\)

Die Fläche ist ein Rechteck.

Die Fläche ist ein Parallelogramm.