Statistik

1. Variablenauswahl und Errechnung der Korrelationsmatrix
2. Extraktion der Faktoren 
3. Bestimmung der Kommunalitäten 
4. Zahl der Faktoren 
5. Faktorinterpretation 
6. Bestimmung der Faktorwerte 

Die Güte der Korrelationsmatrix ist gut; mit dem Bartlett-Test kann man die H0 abweisen, dass die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit stammt, in der die Variablen unkorreliert sind und kann H1 annehmen, dass die Variablen korreliert sind. KMO-Kriteriumswerte über .7 zeigen kann, dass die Variablen in einem hohen Maße Varianz teilen. Das KMO gilt als bestes Verfahren.

Das ist eine Gleichung des Fundamentaltheorems, das aussagt, dass der beobachtete Wert (z.B. der beobachtete Wert des Objekts Rama bezüglich des Merkmals Vitamingehalt) sich aus einer linearen Kombination der dahinterliegenden Faktoren (additiv) zusammensetzt. 

Die Gleichung bedeutet also: der beobachtete Wert (x) von Rama (k) bezüglich des Merkmals Vitamingehalt (i) setzt sich aus der Faktorladung zwischen Vitamingehalt (i) und dem Faktor Wirtschaftlichkeit (1) multipliziert mit dem Faktorwert von Rama (k) mit Wirtschaftlichkeit (1) zusammen, addiert mit der Faktorladung zwischen Vitamingehalt (i) und dem Faktor Gesundheit (2), multipliziert mit dem Faktorwert von Rama (k) mit dem Faktor Gesundheit (2). 

Das heißt wörtlich: der beobachtet Wert (x) von Rama (k) bezüglich des Vitamingehalts (i) setzt sich folgend zusammen = wie hoch sind Vitamingehalt (i) und Wirtschaftlichkeit (1) korreliert * wie wirtschaftlich (1) ist Rama (k) + wie hoch sind Vitamingehalt (i) und Gesundheit (2) korreliert * wie gesund (2) ist Rama (k)

= der Wert (x) setzt sich also aus der bestimmten Gewichtung von Wirtschaftlichkeit (1) addiert mit der bestimmten Gewichtung von Gesundheit (2) zusammen (plus Fehler)

Diese Gleichung beschreibt den Faktorwert eines Objekts als lineare Kombination der Variablenausprägungen. 

Den Wert (P), den Rama (k) auf dem Faktor Wirtschaftlichkeit (q) hat, setzt sich zusammen aus: Faktorladung zwischen Wirtschaftlichkeit (q) und Vitamingehalt (i/1) * Wert von Rama (k) bezüglich Vitamingehalt (i/1) + Faktorladung zwischen Wirtschaftlichkeit (q) und Kaloriengehalt (i/2) * Wert von Rama (k) bezüglich Kaloriengehalt (i/2).

Das heißt wörtlich: Den Wert (P), den Rama (k) auf dem Faktor Wirtschaftlichkeit (q) hat, setzt sich zusammen aus: wie viel hat Wirtschaftlichkeit (q) mit Vitamingehalt (i/1) zu tun * welchen Vitamingehalt (i/1) hat Rama (k) + wie viel hat Wirtschaftlichkeit (q) mit Kaloriengehalt (i/2) zu tun * wie viele Kalorien (i/2) hat Rama (k)? (plus Fehler)  

Man kann Variablen als Vektoren darstellen, in dessen Mitte die Resultante, d.h. der latente Faktor, gesetzt wird

Hauptkomponentenanalyse (Principal Component Analysis)

= Ziel ist Reproduktion der Datenstruktur durch möglichst wenig Faktoren, ohne eine kausale Interpretation der Faktoren oder Generalisierung der Befunde. Man geht davon aus, dass die gesamte Varianz der Variablen durch die Faktoren erklärt wird

Hauptachsenanalyse

= Ziel ist die Erklärung der Varianz in den Ausgangsvariablen durch latente Faktoren, wobei Korrelationen kausal interpretiert und Aussagen generalisiert werden können. Man geht davon aus, dass nicht die gesamte Varianz durch die Faktoren erklärt wird, sondern es Einzelrestvarianzen gibt 

1. Eigenwert/Kaiser-Kriterium: Faktoren mit einem Eigenwert > 1 werden behalten
2. Scree/Geröll-Kriterium: Eigenwerte der Faktoren werden in einem Koordinatensystem abgetragen und dort, wo die Differenz zweier Eigenwerte am größten ist, entsteht ein Knick, welcher anzeigt, dass der Faktor links des Knicks der letzte zu extrahierende ist 
3. Parallelanalyse (Horn): Faktoren, deren Eigenwerte das 95%-Perzentil der Eigenwerte von unkorrelierten normalverteilten Zufallsvariaben übersteigen, werden behalten (Anzahl an Faktoren, die die gelbe Simulationslinie übersteigen)

Die Korrelationskoeffizienten r zeigen die Stärke und Richtung des Zusammenhangs zwischen einzelnen Variablen an (z.B. zeigt ein negatives Vorzeichen eine negative Korrelation an). Das Signifikanzniveau zeigt an, ob diese Korrelation signifikant ist. 

Die Determinante gibt an, wie hoch die Variablen miteinander korreliert sind. Eine Determinante nahe 0 zeigt an, dass die Variablen hoch miteinander korrelieren, nahe 1, dass sie weniger miteinander korrelieren. (?)

Das Kaiser-Meyer-Olkin Kriterium misst die Eignung der Stichprobengröße, wobei Werte >.7 gut sind. 

Der Bartlett-Test misst die H0, dass es sich um eine Einheitsmatrix handelt und die Variablen nicht miteinander korrelieren, wobei wir die H0 ablehnen wollen und somit Werte < .05 gut sind. 

Anti-Image Matrizen zeigen an, wie hoch die Variablen miteinander korrelieren, wenn die sonst geteilte Varianz rauspartialisiert wurde. Hier sollten die Werte klein sein, weil wir viel geteilte Varianz haben wollen. Anti-Image Werte sollten also klein sein. 

Die Werte der Diagonalen-Korrelationen geben an, ob sich jede einzelne Variable für die Faktorenanalyse eignet und sollte hoch sein. 

Man kann Kommunalitäten in der Tabelle 'Kommunalitäten' einsehen. Hier beim Endwert nach Extraktion gucken, welcher die aufgeklärte Varianz nach Extraktion angibt. Alle Werte > .5 sind bei Hauptachsenanalyse OK. 

• Kaiser-Kriterium: in der Tabelle 'Erklärte Gesamtvarianz' kann man die Eigenwerte der Faktoren einsehen. Alle Faktoren mit Eigenwert >1 werden behalten. 
• Um die aufgeklärte Gesamtvarianz zu berechnen, schaut man entweder in die letzte Spalte 'kumulierte Varianzaufklärung' oder man addiert die Eigenwerte der Faktoren und dividiert sie durch die Anzahl der möglichen Faktoren, z.B. Eigenwerte 2.955 + 1.740 addiert ergeben 4.695, geteilt durch 6 mögliche Faktoren erklären sie eine Gesamtvarianz von 0.7825 = 78.25%
• Geröll-Kriterium: im Koordinatensystem gucken, welcher Faktor keinen deutlich größeren Eigenwert hat als der Faktor davor. Der Faktor links davon ist der letzte miteinzuschließende

• Normalverteilung: ist der p-Wert des Shapiro-Wilk Test unter 0.05, so wird die H0, dass die Daten normalverteilt sind, abgelehnt und wir gehen nicht von einer NV aus (für die Faktorenanalyse aber nicht so schlimm)
• KMO-Test für die Stichprobeneignung: ist der Wert >.7, sind die Daten geeignet 
• Bartlett-Test für Korrelation zwischen Variablen: ist der p-Wert unter 0.05, so können wir die H0, dass die Daten unkorreliert sind, ablehnen 

• Anzahl Probanden, Items
• Angewandte Verfahren und Kriterien (Hauptkomponenten/achsenanalyse, Scree Test/Paralleltest nach Horn)
• Entscheidungen/Begründungen (Rotation, Exklusion, Extraktion)
• evtl. Uneindeutigkeiten 
• Interpretation der Faktoren (großer Teil!)
• Tabelle mit Faktorladungen 
• Korrelationstabelle 

• Nominale Kriteriumsvariable (kategorial: Ja/Nein, 0/1)
• Keine Multikollinearität der Prädiktoren (keine zu hohe Korrelation) = Kennzahl: Toleranz (1-R²) sollte bei .1 oder .2 liegen 
• Größere Fallzahl/Stichprobe, d.h. ca. 10-15 Fälle pro Prädiktor
• Alle Prädiktoren sollen im Modell enthalten sein
• NICHT WICHTIG: Normalverteilung der Fehler/Varianzhomogenität/Skalenniveaus der Prädiktoren

• lineare Regression will einen empirischen Beobachtungswert errechnen, d.h. einen konkreten Wert vorhersagen (metrische Kriteriumsvariable) und untersucht damit den Zusammenhang zwischen Prädiktor und Kriterium 
• bei einer linearen Regression sind Werte >1 und <0 möglich
• logistische Regression will die Eintrittswahrscheinlichkeit eines empirischen Beobachtungswert berechnen, d.h. die Wahrscheinlichkeit vorhersagen, dass ein binäres Ergebnis (Ja/Nein) eintritt = das Ergebnis der logistischen Regression ist die Wahrscheinlichkeit, dass die binäre Kriteriumsvariable den Wert 1 annimmt  
• bei einer logistischen Regression kann die Wahrscheinlichkeit nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen 

• Formel: zi = ß0 + ß1xi1 ..+ ui
• z ist eine latente, nicht beobachtbare Variable, die die Ausprägung des Kriteriums in Abhängigkeit der Prädiktoren erzeugt 
• ß0 ist die Regressionskonstante (intercept)
• ß1 bis ßk sind Regressionsgewichte (slopes, Logit-Koeffizienten)
• xi1 bis xik sind Ausprägungen der Prädiktorvariablen
• Für die Person i ergibt sich, dass yi = 1 (Ereignis tritt ein), wenn z>0 und yi=0 (Ereignis tritt nicht ein), wenn z<0 oder z=0
• s-förmiger Verlauf der Kurve, Wendepunkt bei z=0 (bzw. p=0.5)

• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kann verschiedene Formen annehmen: 
• Positive Regressionskonstante (Intercept) = Horizontale beeinflusst, d.h. Kurve nach links verschoben, es braucht einen kleineren Beobachtungswert x, damit das Ereignis eintritt 
• Negative Regressionskonstante (Intercept) = Kurve nach rechts verschoben, es braucht einen größeren Beobachtungswert x, damit das Ereignis eintritt 
• Kleines Regressionsgewicht (Slope) = Kurve wird flacher, d.h. Prädiktor hat keinen zu großen Einfluss (kleines Gewicht)
• Großes Regressionsgewicht (Slope) = Kurve wird steiler, d.h. Prädiktor hat großen Einfluss (großes Gewicht)
• Negatives Regressionsgewicht (Slope) = Kurve gespiegelt, d.h. Prädiktor hat negativen Einfluss
• ABER: Koeffizienten sind nicht direkt interpretierbar, da der Zusammenhang zwischen Prädiktor und Eintrittswahrscheinlichkeit indirekt und nicht-linear ist + Koeffizienten sind untereinander NICHT vergleichbar, sondern geben nur die Richtung des Einflusses eines Prädiktors an