Statistik IV

• Aus einer stetigen Posteriorverteilung kann man die Schätzung des Populationsparameters ableiten 
• Die Schätzung entspricht in der Regel dem Erwartungswert der Posteriorverteilung Die Unsicherheit in der Schätzung kann durch die Standardabweichung oder Varianz der Posteriorverteilung ausgedrückt werden 
• Es können Intervalle mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit abgeleitet werden, innerhalb derer sich der wahre Wert des Populationsparameters mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit befindet (z.B. 95%-Konfidenzintervall) 

• Diese Informationen können genutzt werden, um Entscheidungen zu treffen oder Hypothesen zu testen.

• Das Verhältnis der Likelihoods der H1 ‑ und H0 ‑Hypothesen.
• Das Verhältnis von Posterior‑Odds zu Prior‑Odds.
• Wie viel wahrscheinlicher (oder unwahrscheinlicher) unser Stichprobenergebnis unter H1 ist als unter H0.

• ein Mass dafür, wie stark die Daten für eine bestimmte Hypothese im Vergleich zu einer anderen Hypothese sprechen
• Er wird berechnet, indem man die Likelihoodfunktionen beider Hypothesen an der Stelle der beobachteten Daten auswertet und das Verhältnis der beiden Werte bildet.

Wenn H1 oder M1 nicht auf eine Punkthypothese, sondern auf mehrere Werte mit unterschiedlicher Priorwahrscheinlichkeit bezogen sind, dann muss man die Wahrscheinlichkeit der Daten unter jeder dieser Werte berechnen und diese dann gewichten, um die Gesamtwahrscheinlichkeit der Daten unter H1 bzw. M1 zu erhalten. Dies kann durch Integration der Likelihoodfunktion über den gesamten Bereich der möglichen Werte erfolgen, wobei die Priorverteilung als Gewichtsfunktion verwendet wird. 

Die genaue Berechnung hängt von der spezifischen Form der Likelihood- und Priorverteilungen ab und erfordert in der Regel numerische Methoden wie Monte-Carlo-Simulationen oder Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren.

• Wenn H1 oder M1 nicht auf eine Punkthypothese, sondern auf mehrere Werte mit unterschiedlicher Priorwahrscheinlichkeit bezogen sind, dann ist es wichtig zu berücksichtigen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit der Daten unter H1 bzw. M1 von der Wahl der Priorverteilung abhängt. Eine uninformative Priorverteilung kann dazu beitragen, dass die Posteriorverteilung bereits bei einer relativ kleinen Datenmenge von der Likelihoodfunktion dominiert wird.
• eine informative Priorverteilung kann dazu führen, dass die Posteriorverteilung stärker von den ursprünglichen Überzeugungen des Wissenschaftlers beeinflusst wird. 
  
  
  Es ist daher wichtig, die Wahl der Priorverteilung sorgfältig zu begründen und zu dokumentieren und gegebenenfalls alternative Priorverteilungen zu testen, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse robust gegenüber unterschiedlichen Annahmen sind.

• Subjektive Ausgangsüberzeugungen werden – wenn über die Zeit immer mehr Datengesammelt werden – immer weniger relevant.
• Durch eine Sensitivitätsanalyse lässt sich prüfen, wie sensitiv ein Ergebnis für unterschiedlicheVorannahmen ist.
• Die Bayes-Statistik macht es unvermeidbar, dass alle Vorannahmen explizit formuliert werden.Damit werden die Vorannahmen auch kritisierbar.

• Einer der Hauptvorteile ist, dass sie Unsicherheit und Vorwissen in die Analyse einbeziehen kann. 
• Die Bayesianische Statistik kann auch bei kleinen Stichproben oder komplexen Modellen eingesetzt werden. 
• Die Bayesianische Statistik bietet eine Möglichkeit zur Modellierung von Hierarchien und Abhängigkeiten zwischen Variablen. 
• Die Bayesianische Statistik hat viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen gefunden, wie z.B. der Medizin, der Ökologie oder der Finanzwissenschaft.
• Die Verfügbarkeit von leistungsfähigen Computern und Software hat die Anwendung der Bayesianischen Statistik erleichtert. 
• Die Bayesianische Statistik bietet eine Möglichkeit zur Integration von verschiedenen Datenquellen und zur Berücksichtigung von Unsicherheit in den Daten. 
• Die Bayesianische Statistik kann auch bei der Modellierung komplexer Prozesse oder Systeme eingesetzt werden, wie z.B. bei der Vorhersage von Klimaveränderungen oder der Modellierung von biologischen Systemen. 
• Die Bayesianische Statistik bietet eine Möglichkeit zur Modellierung von zeitabhängigen Prozessen und zur Vorhersage zukünftiger Ereignisse. 
• Die Bayesianische Statistik kann auch bei der Entscheidungsfindung eingesetzt werden, indem sie verschiedene Optionen bewertet und die beste Option auswählt.