Analysis 2 – FS2021 – Teil

Im Fall das \(ƒ: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) skalare Werte annimmt, erhalten wir für die Jakobimatrix einen Zeilenvektor. Der transponierte Vektor

\( {(\nabla f)}_p = \begin{pmatrix} \partial f / \partial x_1 (p) \\ \vdots \\ \partial f/ \partial x_m (p) \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m\)

heisst Gradient von ƒ bei p. Es gilt \({(Df)}_p(v) = \langle {(\nabla f)}_p, v \rangle.\)

Sei \(f \colon U \to \mathbb{R}\) differenzierbar an der Stelle \(p \in U\), welche ein lokales Minimum (beziehungsweise Maximum) von ƒ ist. Dann gilt \({(Df)}_p = 0\).
 

Seien \(\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) und \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Dann ist die Komposition \(h = f \circ \gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) differenzierbar. Es gilt für alle \(t \in \mathbb{R}\), dass
\(\begin{align*} h'(t) &= {(Dh)}_t(1) = {(Df)}_{\gamma(t)}({(D\gamma)}_t(1)) \\ &= {(Df)}_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t)) \\ &= \langle {(\nabla f)}_{\gamma(t)}, \dot \gamma(t) \rangle. \end{align*}\)

\(h = f \circ \gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ist konstant (d.h. h'(t) = 0) genau dann, wenn für alle \(t \in \mathbb{R}\) der Gradient \((\nablaƒ)_{\gamma(t)}\) senkrecht auf \(\dot \gamma(t)\) steht.

Das Bild einer Kurver \(\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) heisst Niveaulinie von ƒ, falls \(f \circ \gamma (t)\) konstant ist.

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung \(f \colon X \to X\) heisst kontrahierend, falls es eine positive Konstante k < 1 gibt, so dass für alle \(p, q \in X\) gilt, dass \(d(f(p), f(q)) \leq k \cdot d(p, q)\).

Sei (X, d) ein vollständiger nicht-leerer metrischer Raum. Dann hat jede kontrahierende Abbildung
 \(f \colon X \to X\)\(p \in X\) einen eindeutigen Fixpunkt, das heisst es existiert genau ein Punkt  mit \(f(p) = p\).

Eine Kurve in \(\mathbb{R}^n\) ist das Bild einer stetigen Abbildung \(\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\). Die Abbildung \(\gamma\) heisst Parametrisierung der Kurve \(\gamma\). Wir werden die Unterscheidung zwischen Kurven und Parametrisierungen nicht immer explizit machen.

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen. Eine Abbildung \(X \colon U \to \mathbb{R}^n\) heisst Lipschitz-stetig mit Konstante \( k \geq 0\), falls für alle \(p, q \in U\) die Ungleichung
   \( \Vert X(q) - X(p) \Vert_2 \leq k \cdot \Vert q - p \Vert_2\)
gilt.

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen und \(X \colon U \to \mathbb{R}^n\) Lipschitz-stetig mit Konstante \(k \geq 0\). Sei \(p \in U\) vorgegeben. Dann existiert T > 0 und eine eindeutige differenzierbare Kurve \(\gamma \colon (-T, T) \to U\) mit \(\gamma(0) = p\), so dass für alle \(t \in (-T, T)\) gilt, dass

\( \dot \gamma(t) = X(\gamma(t))\).

Eine Kurve braucht nicht stetig differenzierbar zu sein, um eine endliche Länge \(L(\gamma)\) zu haben.

Sei \(\gamma \colon [0, 1] \to \mathbb{R}^n\) stetig. Eine Partition des Intervalls [0, 1] ist eine endliche Folge von Zeitparametern \(0 = t_0 < t_1 < ... < t_N = 1\). Wir notieren diese Partition als \(P = \{t_0, t_1, \dots, t_N\}\).Setze
\( L(\gamma ; P) = \sum_{k=1}^{N} \Vert \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) \Vert_2.\)

Sei \(\gamma \colon [0, 1] \to \mathbb{R}^n\) stetig. Dann ist die Länge von \(\gamma\)das Supremum von \(L(\gamma ; P)\), wobei P über alle Partitionen von [0, 1] läuft. Falls die Länge von \(\gamma\) endlich ist, dann heisst \(\gamma\) rektifizierbar.

Spezialfälle:

(i) Sei \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) (das heisst n = 1). Seien a,b  \(\in \mathbb{R} \textrm{ mit }a < b\). Dann existiert \(x \in I_{a, b} \setminus \{a, b\} = (a, b)\) mit \({(Df)}_{x}(b-a) = f(b) - f(a)\). Es gilt also
       \( f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.\)
Wir haben also die eindimensionale Version des Mittelwertsatzes erfolgreich aus der momentanen Version extrahiert.

(ii) Nimm an, dass  \(f(b) = f(a)\) gilt. Dann existiert mit \(p \in I_{a, b} \setminus \{a, b\}\)
       \( \langle {(\nabla f)}_{p}, b-a \rangle = {(Df)}_p(b-a) = 0,\)
das heisst $\({(\nabla f)}_p\)$ steht senkrecht auf b-a.
    

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n \textrm{ offen, }f \colon U \to \mathbb{R}^n\) stetig differenzierbar, und \(p \in U\) ein Punkt mit \( \det( {(Df)}_p ) \neq 0\). Dann existieren offene Mengen\(V, W \subset \mathbb{R}^n\)  mit \(p \in V \subset U\) und \(f(p) \in W\), sowie eine differenzierbare Abbildung \(g \colon W \to V\) mit \(f \circ g = \text{Id}_W \textrm{ und } g \circ f|_V = \text{Id}_V\). Für alle \(y \in W \textrm{ gilt }{(Dg)}_y = {(Df)}_{g(y)}^{-1}\).

Die einzelnen Schritte des Beweises sind folgende.

(1) Lokale Injektivität

(2) Lokale Surjektivität,

(3)Differenzierbarkeit der lokalen Umkehrfunktion \(g \colon W \to V\).

Sei \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) stetig differenzierbar und \(p \in \mathbb{R}^n\) so, dass \({(Df)}_p \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) surjektiv ist, das heisst, dass \({(\nabla f)}_p \neq 0\) ist. Nimm zusätzlich an, dass \(p = 0, \textrm{ }f(0) = 0\), und \(\partial f/ \partial x_n (0) \neq 0\). Dann existieren \(\varepsilon > 0\), \(\delta > 0\),
  und eine differenzierbare Abbildung

\( g \colon B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon) \times (-\delta, \delta) \to \mathbb{R},\)  so dass für alle \(q = (x_1, \dots, x_{n-1}) \in B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon)\) und alle \(w \in (-\delta, \delta)\) gilt, dass
\( f(x_1, \dots, x_{n-1}, g(x_1, \dots, x_{n-1}, w)) = w.\)
Hier ist \(B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon) = \left\{q \in\mathbb{R}^{n-1} \mid \Vert q \Vert_2 < \varepsilon \right\}\).

Geometrische Interpretation:
Bei festem\(q = (x_1, \dots, x_{n-1}) \in B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}\) und festem \(w \in (-\delta, \delta)\) hat die Gleichung \(f(x_1, \dots, x_{n-1}, z) = w\) eine Lösung \(z = g(x_1, \dots, x_{n-1}, w) \in \mathbb{R}\).
Die Niveaumengen \(f^{-1}(w)\) lassen sich in einer Umgebung des Punkts \(p \in \mathbb{R}^n\) als Graphen von Funktionen betrachten. Die Einschränkung von \(g \textrm{ auf } B_0^{\mathbb{R}^{n-1}} \times \{w\}\) liefert eine Abbildung
\(\begin{align*} \overline g \colon B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon) & \to \mathbb{R} \\ q & \mapsto g(q, w). \end{align*}\)

Die Niveaulinie \(f^{-1}(w)\) ist über \(B_0^{\mathbb{R}^{n-1}}(\varepsilon)\) realisiert als Graph der Funktion \(\overline g\).