Mathematik 1.Sem. AET
Mathe vokabeln/ Grundwissen
Mathe vokabeln/ Grundwissen
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 166 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Collège |
| Crée / Actualisé | 22.11.2020 / 28.01.2021 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/20201122_mathematik
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| Intégrer |
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Natürliche Zahlen
Zu den natürlichen Zahlen gehören alle Zahlen,
mit deren Hilfe beliebige Objekte gezählt werden können:
N={0,1,2,3,4,5,…}
Gehört die 0 dazu?
...leider gibt es auf diese Frage keine eindeutige Antwort.
Es ist mathematisch nicht festgelegt, ob die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht.
Die DIN-Norm 5473 besagt:
Die 0 gehört zu den natürlichen Zahlen.
Laut der besagten Norm schreibt man für die natürlichen Zahlen ohne die Null: N∗
.
N∗ ist eine abkürzende Schreibweise für N∖{0}.
Die natürlichen Zahlen werden auch als „nichtnegative ganze Zahlen“ bezeichnet.
Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sind die Primzahlen.
Ganze Zahlen
Zu den ganzen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen
sowie alle negativen ganzen Zahlen:
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
z1⋅z2=z2⋅z1
wie heißt das Gesetz dazu
Kommutativgesetz der Multiplikation
z1⋅(z2⋅z3)=(z1⋅z2)⋅z3
Wie heißt das Gesetz dazu?
Assoziativgesetz der Multiplikation
z1⋅(z2+z3)=z1⋅z2+z1⋅z3
Wie heißt das Gesetz dazu
Distributivgesetz
Komplexe Zahlen
Ist x eine beliebige positive oder negative Zahl, so ist das Quadrat von x immer positiv. Aus diesem Grund erfüllt keine reelle Zahl die Gleichung
x^2=−1bzw.x=√−1
Mathematiker haben sich damit aber nicht zufrieden gegeben und eine imaginäre Zahl eingeführt, für die gilt
i^2=−1bzw.i=√−1
Zusammen mit den reellen Zahlen bilden imaginäre Zahlen die Menge der komplexen Zahlen C
:=
bedeutet?
ist definiert als
Gauß-Jordan-Verfahren(/Algorithmus) für
−2x1−4x2−6x3=4
3x1−x2+2x3=1
4x1+3x3=3
Was berechne ich damit?
x1 x2 x3 r.S
−2−4−6 |1 0 0
3 −1 2 |0 1 0
4 0 3 |0 0 1
Ziel des Gauß-Jordan-Algorithmus ist es, mit Hilfe von zeilenweisen Umformungen (dazu gleich mehr) in der Hauptdiagonalen Einsen zu erzeugen (v links oben nach rechts unten. Alle anderen Koeffizienten sind null= Einheitsmatrix)
Ergibt
x1 x2 x3 r.S.
1 0 0
0 1 0 ...
0 0 1 ...
Es ergibt die Inverse Matrix
Gauß-Jordan-Verfahren:
für welche Gleichungssysteme ist es anzuwenden?
lineare Gleichungssysteme (Kein x² oder xxy)
Gausßsches Eliminationsverfahren
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen bzw. Unbekannten (x,y,z) und den jeweiligen Koeffizienten hat die Form
x + 2y + 3z = 2
x + y + z = 2
3x + 3y + z = 0
Der Algorithmus zur Berechnung der Variablen x, y, und z lässt sich in zwei Etappen einteilen:
- Vorwärtselimination, (rechte obere Dreiecksmatrix)
- Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution).
A*x=b ( wir errechnen Vektor x)
x + 2y + 3z = 2
x + y + z = 2
3x + 3y + z = 0
Es werden schematisch nur die Koeffizienten geschrieben:
1 2 3 0
1 1 1 2
3 3 1 0
Daraus rechte obere Dreiecksmatrix
1 2 3 |2
0 -1 -2 |0
0 0 -2 -|6
danach einsetzen z, y, x
daraus folgt z=3 x=5 y=-6
geg. Matrix A,
gesucht A^-1 durch unbekanntes ansetzen
Methode mit n² unbekannten ansetzen
A* A^-1= I (EinheitsMatrix: in diagonale nullen) I: bekannt, A: bekannt
bei 3x3 Matrix mit 3²=9 unbekannten multiplizieren als A^-1
zb
a b c
d e f
g h i
->A*A^-1 mit einheitsmatrix gleichsetzen: für A^-1 werden die gewählten buchstaben errechnet
Was ist eine Substitution?
Unter Substitution versteht man in der Mathematik allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen mit dem Ziel der Überführung des Ausgangsterms in eine einfach lösbare Standardform
Die Operation
Die Rechenart
sind die vier mathematischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
Ich operiere
Ich rechne
Die Basis
die untere Zahl einer Potenz
Umkehroperation
bei addieren: subtraktion
bei multiplikatin; division
bei potenzieren: wurzelziehen
Wie heißt die Formel a²+b²=c²
Satz des Pythagoras
Wie heißt das Gesetz
a*b=b*a
oder a+b=b+a
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Wie heißt das Gesetz
a · (b · c) = (a · b) · c
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
Wie heißt das Gesetz
a(b+c)=ab+ab
Distributivgesetz (Klammergesetz)
Wie heißen die 3 Rechengesetze?
Kommutativgesetz 2+3=3+2
Assoziativgesetz 2+ (3+1)=(2+3)+1
Distributivgesetz 2 (3+4)=2*3+2*4
Was ist eine Winkelfunktion
trigonometrische Funktionen
bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen
sin, cos, tan
was ist eine trigonometrische Funktion?
damit bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen
sin, cos, tan
Kosinussatz
a² = b² + c² – 2 b c cos(α)
α ist winkel gegenüberliegend von a
Sinussatz
a/sina=b/sinb=c/sinc
seiten a und alpha etc liegen sich gegenüber
Was bedeutet Orthogonal?
im Winkel von 90° zueinander
Was bedeutet konjugiert komplex?
Z¯(Strich darüber)=ab
Gleicher realteil, imaginärteil ist invers(vorzeichen geändert) : z.b. Z ist im 1. quadrant, zkonjug im 4.
Wie nennt man es wenn man einen vektor mit einem skalar 0<lambda<1 multipliziert?
Was ist bei >1?
Stauchung bzw streckung
Bewegung, bei der sich alle Punkte des bewegten Körpers in dieselbe Richtung bewegen
Translation
Was ist der einheitsvektor?
Vektor der länge 1 achtung! Gesamtlänge! Nicht der einzelnen achsen!
Am ende einer beweisführung
Qed (quod erat demonstrandum: was zu beweisen war)
Wie rechnet man das kreuzprofukt 2 er vektoren?
2 reihig: Produkt hauptdiagon - Produkt nebendiag.3 reihig: 2x n unten erweitern , je zeile hd-nd von 2. zeile beginnend
Wie rechnet man determinante?
2 reihig: Produkt hauptdiagon - Produkt nebend. 3reihig: 2x n rechts erw, hd- nd
Transponierte matrix?
Um hauptdiagonale gespiegelte
Lineares Gleichungssystem mögliche Lösungen:
eine eindeutige Lösung zb. x=1, y=2, z=0 bedeutet Schnittpunkt
keine Lösung z.b. 0*z=Zahl bedeutet schneiden nicht
unendlich viele Lösungen 0*z=0 z ist beliebig z element v R bedeutet Schnittgerade
Wie sieht eine Geradengleichung aus für Schnittgerade
g: X=(x,y,z)= (Zahl, zahl, zahl) + Lambda(zahl, zahl, zahl) =inhomogener+homogener Anteil
= Punkt + Vektor
Was sagt eine Determinante aus?
Was ist wen det =0 oder ungleich0
Det gibt Auskunft ob es eine Lösung gibt
det ungleich 0: Inverse existiert/ eine eindeutige Lösung
det=0 : Inverse existiert nicht, es gibt keine Lösung (keinSchnitt) oder unendlich viele Lösungen (Schnittgerade/ebene)
Inverse matrix: wie kann man sie noch rechnen (außer Gauß-Jordan verfahren und mit n unbekannten ansetzen)?
wenn Inverse Matrix
a b
c d
ist die Inverse: (gilt nur für ad-bc ungleich 0)
d -b
-c a *1/(ad-bc)
lineares Gleichungssystem, gesucht nur der homogene Anteil: was macht man?
A*x=b
statt inhomogener Störvektor muss man b=0 (Nullvektor) es wird Gleichung homogen
mit Gaußschen eliminationsverfahren lössen, ergibt die homogene Lösung (also richtungsvektor)
Wie rechnet man die Determinante ab einer 4x4 Matrix?
Entwicklung nach der i ten Zeile und j=1 spalte
detA= Summe (von i=1 bis n) von (-1)^(i+1) ai1 detAi1
Ai1: von A wird i te Zeile und 1.Spalte gestrichen
