Mathematik 1.Sem. AET

durch 0B-0A (Spitze minus Schaft)

a*b= ax*bx+ay*by+az*bz  = Zahl

a*b= |a| * |b| *cos phi

wenn ergebnis =0: im rechten winkel aufeinander

wenn >0 spitzer winkel [ 0,pi/2 [

wenn ergebnis <0 stumpfer winkel ] pi/2,pi ]

Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter winkel

d.h man zieht in einem Kreis den durchmesser, zieht von den schnittpunkten mit dem kreis 2 Sehnen die einen weiteren Punkt berühren, das ist ein rechter Winkel

das bestätigt die rechnung eines skalarproduktes

a * b =|a| * |b| * cos phi

aus a * b = |a| * |b| * cos phi

und ba= |b| * cos phi

ergibt sich ba= a * b  / |a|                     das mit einheitsvektor multipliz  a/ |a|

ergibt ba= \(a * b \over |a|\)\(a \over |a|\)

rechknung: bei 3 zeiligem vektor 2x n unten erweitern, jeweils HD:Nebendiagon
Das Ergebnis ist ein Vektor, dieser steht normal auf a und b

sein Betrag ergibt die aufgespannte Fläche zwischen a und B (parallelogramm)

a x b ist nicht b x a

a x b = -b x a

Volumen das auf einem Parallelogramm steht

V= Grundfläche * höhe

V= |a x b| * |Caxb|                      |Caxb|= \(| {{c * (a x b) \over |a x b| }* {a x b \over |a x b)|}}|\)

                                                          c projiziert auf die vertikale aus a x b

V={1,2,3}

skalarprodukt: v.w

Betrag: Norm[v] (Abs ist auch befehl f betrag aber in diesem thema wäre es falsch)

Kreuzprodukt: cross[b,c]

Parameterdarstellung: X= A+ Lambda * AC + mü* AB  (A: Punkt und 2 Richtungsvektoren AC und AB)

Normalvektordarstellung: X*n= A*n                X... xyz (Punkt)      A...Punkt A      n... Normalvektor normal auf gerade AX

Geradengleichung:  X= P + lambda * Vektor       P... Punkt

d= - APr + AP   =-AP auf gerade g projez + AP

oder Flächen gleichsetzen A0= h* |r| = |AB x r|

ergibt h= |AP x r|/ |r|

über bekannte wege, a durch punkt an den er ebene berührt verschieben sodass schaft in ebene berührt, 2x seine Projezierte menge auf die normale nehmen

b= vektor a - 2x an (vektor a projiziert auf normale auf ebene)

\(d={AP*n \over |n|}*{n \over |n|}\) AP... Vektor    n... Normalvektor auf Ebene    d... Normalabstand v vektor AP auf n projeziert

\(|d|={|AP*n| \over |n|}\)

(m1+m2+m3) * Xs= (m1*x1+m2*x2+m3*x3)

v = w x AP   w=rad/s        (Achtung Reihenfolge nicht vertauschen!) merken mit rechte hand regel

w entlang Drehachse

v ist in rechten winkel zu AP  AP... Vektor von beliebigen Punkt A zu P

v ist in rechten winkel zu w

Moment = Hebelarm (Abstand Angriffspunkt zu Achse) x Kraft  (Achtung Reihenfolge nicht vertauschen!)

mit rechter Hand Regel: Daumen ist AC (Hebel) Zeigefinger F, Mittelfinger Moment

wenn Kraft und in weiterer Folge Moment nicht parallel zu Achse wirken: Moment auf Achse projezieren ergibt Moment das auf Achse wirkt, rest geht in Lager

es wird der Abstand 2 er Punkte der einzelnen Geraden auf die normale der beiden projeziert

=     \( | AB* (r x s) | * (r x s) \over | r x s | * |r x s| \)    A und B je Ausgangspunkte der Geraden, r vektor gerade a s vektor gerade b

Parameterdarstellung (Punkt A+2 Richtungsvektoren)

Epsilon: X=A+mü*s + Lambda *r

epsiloin: (x1,x2,x3)=(a1,a2,a3)+mü*(s1+s2+s3)+Lambda*(r1,r2,r3)

X=A+mü*AC+Lambda*AB

Normalvektordarstellung (Punkt A+ Normalvektor n normal auf Gerade)

epsiloin: X*n=A*n      n=AC x AB

Gleichsetzen und man erhält die Ebenengleichung

Wann liegt Punkt auf Ebene?- einsetzen muss wahre Aussage ergeben

n über k:\( ({n\over k})\) \(={n! \over (n-k)!*n!}\)      0!=1

\( ({n\over 0})\)=1    \( ({n\over 1})\)=n  

(Variation mit WH: Reihenfolge wichtig)

Zahlenschloss: 4 Zahlen, je 10 mögliche

-> 10*10*10*10 =10^4 Kombinationen

Wenn ohne WH:  \(={n! \over (n-k)!}\)

Kombination (ohne WH)  \(={n! \over (n-k)!*n!}\)

z.b. Lotto 6 aus 45: 6 richtige aus 45 möglichen \( ({45\over 6})\)  

Bücher in Regal: wenn Anordnung egal: \(=({n \over k})\)   wenn nicht egal \(={n! \over (n-k)!}\)

Passwort aus 5 Buchstaben (ges. 26 Buchstaben, nur Kleinbuchstaben):

wenn keine buchstaben widerholen: (Var ohne WH)

n=26, k=5     Variationen=  \( ({n!\over (n-k)!})\)

wenn min 2 Buchstaben gleich sein sollen:  (Variation mit WH)

n^k - \( ({n!\over (n-k)!})\) =  \( (26^5-{26!\over 21!})\)

Dezimal zu binär: Divisionsalgorithmus: immer durch 2 dividieren, Rest notieren, wenn Ergebnis 0 zum Ende Rest von unten lesen,

bei Nachkommastelle: immer *2 mulitplizieren, wenn <1: 0 anschreiben, sobald Ergebnis >1: 1 anschreiben und von Zahl abziehen und weiterrechnen, zum Ende die Zahl von oben lesen

dezimal zu hexadezimal: zuerst zu binär, dann hexadezimal 10=A, 15=F

Binär zu Dezimal: je nach Stelle Zahl (1 oder 0 ) mit 2^0 (letzte zahl vor komma) , 2^1, 2^2 etc multiplizieren und anschließend addieren

Achtung! geradengleichung und Ebenengleichung kann man nicht gleichsetzen

ergebnis aus geradengleichung für x y und z in ebenengleichung (normalvektor * Punkt! ) einsetzen und mit bekanntem Punkt gleichsetzen

n*S = n*x

für einen bekannten Punkt n*S ausrechnen, gleichsetzen mit normalvektor * ergebnis aus Geradengleichung von x y und z

zb

x = 1 + 20 zeta;
y = 28 zeta;
z = -2 + 20 zeta;

A... Koeffizientenmatrix  X...{x,y,z}, b...Störvektor(ergebnis)  Xgesucht

A*X=b

A*AI*X=AI*b

(1)*X=AI*b

vektoren mit { }   P = {3.7, -0.2, 8.7};  , dazwischen    rechnen vektor mal vektor: Punkt (kein mal dazw) vekt mal zahl: * (stern)

Matritzen mit { }   { {x,y,z}, {x,y,z }, {x,y,z} }   oder { {x],{y},{z} }     oder direkt in die Matrix geschrieben mit ( )  rechnen matrix mal matrix: punkt dazwischen

Nicht verwechseln!!!!!!!!!!!!

Arithmetische Form  z= a+ bi  = Re(z) + Im(z)

Trigonometrische Form  z= r cos phi + i r sin phi = r(cos phi + i sin phi)

Exponentialform  e^(i phi) = cos phi + i sin phi

Polarform  z= (r,phi)

f(x)= p(x)/q(x)= h(x)+ r(x)/q(x)      (Polynomdivision)

h(x)... ganzer Anteil   r(x)... Restpolynom

h... horizontale Asympdote... Verhalten für große x (bei x= unendl nähert sich die funktion diesem y-wert an

r... wenn r=0 gesetzt wird, ermittlung des Schnittpunktes von f(x) und h(x)

f(x)= p(x)/q(x) = A1/(x-1)+A2/(x-2)+A3/(x-3)

zuerst werden die Nullstellen im Nenner eingesetzt nach x-

auf gleichen Nenner bringen

zähler sortieren nach x^2, x , ohne x (herausheben)

Koeffizientenvergleich (koeffizienten in der Klammer gleichsetzen mit faktor mit denen der wert ursprünglich multipliziert wurde)

ergibt Matrix, mit Gaußschen eliminationsverf Werte für A1,A2,A3... ermitteln

Die Schwingung ist nach links verschoben (cosinus entspricht auch sinus um +pi/2 nach links verschoben)

w=2Pi* f  =2Pi/T    ->T=2Pi / w

T0=  alpha/w

NST: Tk= t0 + k* T/2   k e Z

der Homogene Anteil ist der Richtungsvektor der Geradengleichung die sich ergibt

g: X = (x,y,z) = P + Lambda * (x1,y1,z1)   (in diesem Fall (x1,y1,z1)

er ergibt sich indem man den Störvektor b = 0 setzt (Nullvektor)  und wie gewöhnlich mit grußschen eliminationsverfahren auflöst, der Ausgangspunkt wird dabei 0, (höhenangabe fehlt weil Punktinformation fehlt) oft ist in der Praxis nur der homogene Anteil gefragt

Die Funkton muss bijektiv sein (jedem y genau 1 x wert zugewiesen, also horizontale linie darf nur 1x schneiden

Wenn nicht bijektiv: Definitions und Bildbereich einschränke

Man vertauscht f(x) und x wert

Nur gerade potenzen

zb x^4 +x^2 +1

symetrisch um y achse

Besitzt nur ungerade potenzen zb 4x^3+x

Ist spiegelsymetrisch zum Ursprung ( um x und um y achse gespiegelt)

Rotationsinvariand 180 Grad

X^3 herausheben und kürzen

Potenzf

x^a

exponentialf

a^x

Ln e = 1 (weil kehrfunktionen zueinander)

ln 1 =0

Wenn ergebnis im 2. quadrant liegen sollte + Pi

wenn ergebnis im 4.quadrant liegen sollte -Pi

1. kompl Zeiger A1*e^I*a1.    + A2*E^I*a2
2. kompl Zeiger addieren (zuerst in arithmetische Form bringen)

A1*(Cos a1+I*sin a1) + A2*(cos a2 +I*sin(a2)

3. Addition von imagin un realteil: A1*cos a1+ A2* cos a2 +...

4. Betrag und Argument der neuen Schwingung phi= arctan(Im / Re)
5. Überlagerung A*sin(wt+phi)