LISREL

= Fehlerterm der abhängigen Variablen

= Fehlerterm der unabhängigen Variablen

= Fehlerterm im Strukturmodell

= Ladungsmatrix (Regressionsparamter der Regression von y auf η) 

= Ladungsmatrix (Regressionsparamter der Regression von x auf ξ) 

Eine Korrelationsmatrix! 

• zwischen den Indikatorvariablen lassen sich Korrelationen berechnen
• aus dieser Korrelationsmatrix werden die Beziehungen
  • zwischen den latenten und ihren Indikatorvariablen und (Prinzip der Faktorenanalyse) 
  • zwischen den latenten exogenen und endogenen Variablen geschätzt (eigentliche Hypothese des Strukturmodells)
• über ein LISREL-Modell können lediglich unpassende Modelle abgelehnt werden, Nicht-Ablehnung heißt aber nicht, dass das Modell richtig ist
• im Sinne der Daten gibt es viele "richtige Modelle" 
• es muss ein theoretisch fundiertes Hypothesensystem vorhanden sein, bevor eine konfirmatorische  LISREL-Analyse beginnen kann

• X-->  Y: Variationen der Variablen X rufen Variationen der Variablen Y hervor 
• formal wird die Kausalität über Korrelation erfasst
• eine Korrelation zwischen x und y lässt jedoch mehrere Interpretationsmöglichkeiten zu (Varibale x beeinflusst y ODER Variable y beeinflusst x ODER eine Drittvariable z beeinflusst sowohl x als auch y) 

• über eine Regressionsanalyse! = hypothetisches Kausalmodell (meist graphisch in Pfaddiagramm veranschaulicht) mit Spezifizierung der Einwirkungsrichtung 
• Abbildung des Pfaddiagramms in Strukturgleichungen:
  x 2 = b 1 +b 21 ·x 1
  x 3 = b 2 +b 31 ·x 1 +b 32 ·x 2
• Standardisierung der Variablen und die sich ergebenden Gleichungen:
  z 2 = p 21 ·z 1
  z 3 = p 31 ·z 1 +p 32 ·z 2

...Regressionsanalyse dar

r_X1X2 = p_a

r_X1Y1 = p_b + p_a x p_c

r_X2Y1 = p_c + p_a x p_b

--> daraus dann p_a, p_b und p_c berechnen

• korreliertes Modell 
• vermitteltes Modell 
• unabhängiges Modell 

• die Beziehungen zwischen latenten Variablen in einem Strukturmodell abgebildet, das dem regressionsanalytischen Denkansatz entspricht,
• die latenten Variablen durch direkt beobachtbare Indikatorvariable operationalisiert, wobei für endogene und exogene Variable getrennte Messmodelle aufgestellt werden, die dem faktorenanalytischen Denkmodell entsprechen.

--> Die Besonderheit des LISREL Ansatzes der Kausalanalyse liegt somit in der Integration von zwei Faktormodellen mit einem Regressionsmodell, wodurch theoretisch unterstellte Beziehungen zwischen latenten Variablen überprüft werden können.

• Faustregel: Zahl der Gleichungen muss mindestens der Zahl der zu schätzenden Parameter entsprechen 
  • Zahl der Gleichungen = Zahl der Korrelationskoeffizienten = (n x (n+1))/2 (n = Zahl der Indikatorvariablen) 
  • Zahl der zu schätzenden Parameter wird aus Pfaddiagramm abgelesen 
  • Freiheitsgrade = Zahl der Gleichungen - Zahl der zu schätzenden Parameter 

• under identified: Zahl der Gleichungen < Zahl der zu schätzenden Parameter
• just identified: Zahl der Gleichungen = Zahl der zu schätzenden Parameter
• over identified: Zahl der Gleichungen > Zahl der zu schätzenden Parameter

• gesicherte Theorie über die Zusammenhänge zwischen den Variablen
• es sollten viele Informationen (im Sinne von Variablen) in die Analyse eingehen

• Korrelation über 100 bis 150 Personen ist Minimum (besser >200)
• ca. 10 Vp pro gemessener Variable
• mindestens 5 Vp pro zu schätzendem Parameter

• die beobachteten Variablen folgen einer Multi Normalverteilung (abhängig vom Schätzverfahren muss diese Voraussetzung nicht immer erfüllt sein)
• die Messmodelle entsprechen dem Grundmodell der Faktorenanalyse
• im Strukturmodell korrelieren die Residuen nicht mit den exogenen latenten Variablen; die Erwartungswerte der Residuen im Strukturmodell sind 0
• die Messfehler korrelieren mit keiner anderen Variablen
• Linearität und Additivität der Konstrukte und Messhypothesen
• Invertierbarkeit der modelltheoretischen Kovarianz Matrix (d.h. Identifizierbarkeit des Modells)

• Schritt 1: Aufgrund theoretischer Überlegungen wird festgelegt, welche Variablen ins Modell eingehen und wie die Beziehungen zwischen diesen Variablen aussehen sollen!
• Schritt 2: Die Beziehungszusammenhänge werden graphisch in einem Pfaddiagramm veranschaulicht
• Schritt 3: Die Hypothesen werden in mathematische Gleichungen überführt
• Schritt 4: Prüfung, ob das Gleichungssystem lösbar ist
• Schritt 5: Auswahl der Input Matrix, Auswahl der Schätzmethode, Schätzung der einzelnen Modellparameter
• Schritt 6: Güte der Anpassung der theoretischen Modellstruktur an die empirischen Daten. Darstellung der theoretischen Modellstruktur in einem Pfaddiagramm

= Zahl der Gleichungen 

= Zahl der Parameter

• 0 Freiheitsgrade --> Freiheitsgrade fehlen, um schätzen zu lassen, ob Modell zu den Daten passt 

Nein, nur signifikante 

− Direkte Zusammenhänge:
– VERHMIT: 0.33² = 0.11
– ARBUMW: 0.53² = 0.28
− Indirekte Zusammenhänge:
– ARBUMW → VERHMIT: 0.5 * (0.33²) = 0.05
– VERHMIT → ARBUMW: 0.5 * (0.53²) = 0.14
− Gesamt: ca. 58% (Rundungsfehler)

... Test auf H0. Das heißt er sollte nicht signifikant werden. 

"Unterscheidet sich Modell signifikant von Ausgangsdaten?"

• kann als deskriptiver Fit-Index genutzt werden --> Vergleich mehrerer Modelle 
• wird bei großer Stichprobengröße signifikant, obwohl Modell passt 
• sehr sensitiv ggü. Verletzungen (z.B. weil Normalverteilung nicht passt) 
• wenn Wert kleiner als Anzahl der Freiheitsgrade --> Indikator für Gültigkeit des Modells 

• Chi2 --> sollte nicht signifikant sein
• CMIN/DF --> für gültige Modell ist Quotient nahe 1 zu erwarten; Obergrenze: 2-5; je kleiner desto besser
• RMSEA --> Maß für die nicht-erklärte Varianz; gut < 0.05; inakzeptabel > 0.08; je kleiner desto besser
• PCLOSE --> Größe, die tendenziell als Überschreitungswahrscheinlichkeit zur Nullhypothese H0: RMSEA ≤ 0.05
  interpretiert werden kann --> solllte nicht signifikant werden 
• GFI --> Goodness-of-Fit; sollte >0.9 sein; = Anteil gesamter Ausgangsvarianz, der durch das Modell erklärt werden kann; Wertebereich 0 < GFI < 1 (auch negative Werte möglich) 
• AGFI --> Adjusted-Goodness-of-Fit; sollte >0.9 sein; AGFI: Verfeinerung des GFI, beim dem die Anzahl der verwendeten Parameter in Rechnung gestellt wird
• NFI/CFI --> Normed Fit Index bzw. Comparative Fit Index sollte > 0.9 sein