Multivariate Statistik und Datenanalyse: Inferenzstatistik

1. Erwartungstreue: gegeben, wenn der Erwartungswert der Stichprobenkennwerteverteilung dem Parameter entspricht

2. Konsistenz: gegeben, wenn sich der Stichprobenkennwert mit wachsender Stichprobengröße dem Parameter nähert

3. Effizienz: gegeben, wenn der Stichprobenkennwert den geringsten Standardfehler aller erwartungstreuen Schätzer aufweist

4. Suffizienz: gegeben, wenn der Stichprobenkennwert alle in den Daten enthaltenen Informationen (hinsichtlich des Parameters) berücksichtigt

Bereich um einen geschätzten Populationsparameter, für den gilt, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – α den Populationsparameter enthält („überdeckt“)

Kann anhand des (geschätzten) Standardfehlers berechnet werden

1 – α

Ein Konfidenzkoeffizient von z.B. .95 besagt, dass

– wenn man (unendlich) viele Zufallsstichproben gleicher Größe aus der Population ziehen würde und

– für jede Stichprobe das KI berechnen würde,

– in 95 % aller KI der unbekannte Populationsparameter zu finden ist,

– in 5 % der KI hingegen nicht.

Die Freiheitsgrade einer Prüfgröße sind identisch mit der Anzahl von Komponenten, die bei ihrer Berechnung frei variieren können.

Stichprobenkennwerte folgen nach Standardisierung einer t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden („degrees of freedom“, df)

Form der t-Verteilung hängt von der Stichprobengröße n bzw. von den Freiheitsgraden (df) ab:

- Mit großem n (bzw. großer Anzahl df) geht die Verteilung in eine Standardnormalverteilung über

- Bei kleinem n (bzw. kleiner Anzahl df) ist die Verteilung jedoch breiter, d.h. die Präzision geringer

Im Testkonzept von Neyman und Pearson geht es nicht nur um die Frage, ob ein bestimmter Effekt (z.B. die Abweichung eines Mittelwerts von einem xen Wert) statistisch bedeutsam ist oder nicht; vielmehr wird hier danach gefragt, wie man eine Untersuchung schon im Vorhinein so planen kann, dass sowohl die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise gegen die Nullhypothese zu entscheiden, als auch die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise für die Nullhypothese zu entscheiden, kontrolliert werden können. Hierfür ist es nötig, neben der Nullhypothese eine zweite statistische Annahme einzuführen, die sogenannte Alternativhypothese.

Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test ein„signifikantes“ Ergebnis ergibt, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese gilt („Fehler erster Art“) (Neyman & Pearson)

- ist (ebenfalls) definiert als Flächenanteil unter der H0-Verteilung

- wird a priori vom Forscher festgelegt (konventionell auf 5%)

- entspricht (oder ähnelt zumindest) konzeptuell dem Signifikanzniveau nach Fisher

Die Irrtumswahrscheinlichkeit β ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein statistischer Test ein nicht-signikantes Ergebnis ergibt, obwohl in Wirklichkeit die H1 gilt.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit β liegt automatisch fest, sobald man die Alternativhypothese und α speziziert hat. Legt man nun die Irrtumswahrscheinlichkeit α auf 5 % fest (grau), so liegt gleichzeitig die Irrtumswahrscheinlichkeit β (blau) fest.

1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test ein signikantes Ergebnis ergibt, wenn ein Populationseffekt einer bestimmten hypothetisch festgelegten Größe tatsächlich existiert. Diese Wahrscheinlichkeit wird als Teststärke (engl. power) bezeichnet.

- Exakte vs. asymptotische Tests

- Parametrische vs. nonparametrische (verteilungsfreie) Tests

- robuste Verfahren

- Resampling-Verfahren

Parametrische Tests setzen voraus, dass das Merkmal in der Population in einer spezifischen Weise verteilt ist (und die Verteilung anhand entsprechender „Parameter“ beschrieben werden kann)

– z.B. Normalverteilung, die durch die Parameter Erwartungswert und Standardabweichung definiert ist

Nonparametrische Tests machen keine Annahmen zur Verteilung des Merkmals in der Population -> verteilungsfrei

Randomisierungstest mit Monte-Carlo-Schätzer (in Abbildung: Randomisierungstest mit 5000 Resamples)

Dieses Randomisierungsprinzip lässt sich nicht nur auf Summen (bzw. Mittelwerte), sondern auch auf andere Größen wie den Median oder das getrimmte Mittel anwenden. Er ist darüber hinaus ein verteilungsfreier Test, da keine Verteilungsannahme in Bezug auf die Merkmalsverteilung getroffen wird. Der Test wird allerdings bei größeren Stichproben schnell sehr rechenintensiv.

Rerandomisierungs-Ansätze werden häufig auch im Bereich der Einzelfallanalyse eingesetzt. Einzelfallanalyse bedeutet, dass nur eine Person untersucht wird.

1. Einfache Zufallsstichprobe (d.h., alle möglichen Stichproben der Größe n haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden)

2. Geschichtete Zufallsstichprobe→ z.B. Varianzanalyse

3. Klumpenstichprobe → Hierarchisch lineare Modelle

4. Mehrschrittige Auswahlverfahren→ Hierarchisch lineare Modelle

5. Einzelfallanalyse → z.B. Zeitreihenanalyse

Repräsentativ meint „durch Zufallsauswahl aus der Grundgesamtheit entstanden“

- die Verteilung von Merkmalen in repräsentativen Stichproben unterscheidet sich von der Verteilung in der Population nur zufällig (d.h. durch den Stichprobenfehler bedingt)

- in der Praxis liegt häufig keine repräsentative Stichprobe vor, d.h. die Population ist eine andere als ursprünglich intendiert (z.B. „stationär behandelte Patienten, die bereit sind, einen Fragebogen auszufüllen“)

Multivariate Verfahren umfassen mehr als zwei Variablen. Multivariate Verfahren sind u. a. aus folgenden Gründen notwendig:

(1) Analyse der Multideterminiertheit des Verhaltens

(2) Kontrolle von Störeinflüssen

(3) Aufdeckung redundanter Zusammenhänge

(4) Aufdeckung maskierter Zusammenhänge

Estimate : Std.Err = t-Wert 

- Stichprobenkennwerteverteilung ist nur unter asymptotischen Bedingungen bekannt, wird aber gebraucht um (wie sonst) Signifikanzniveau bestimmen zu können

- Normalerweise: t-Verteilung → t-Wert → p-Wert

- Modellvergleich

- F-Test

- Bootstrap-basierte Konfidenzintervalle

Stichprobenkennwerteverteilung wird „künstlich“ aus simulierter Population erzeugt.

na.rm=FALSE -> Für Zeilen mit fehlenden Werten auf diesen Variablen wird kein Mittelwert gebildet (NA).

na.rm=TRUE  -> Fehlende Werte werden bei der Berechnung einfach ausgelassen. 

Unter dem Standardfehler versteht man die Standardabweichung der Sichprobenkennwertverteilung. 

(je größer die Stichprobe -> desto genauer die Schätzung, d.h kleiner der Standardfehler) 

Abweichung des Erwartungswertes der Stichprobenkennwertverteilung vom Populationsparameter