Lektion 5. Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Kartei Details

Karten	22
Sprache	Deutsch
Kategorie	Mathematik
Stufe	Universität
Erstellt / Aktualisiert	05.03.2018 / 13.03.2018
Weblink	https://card2brain.ch/box/20180305_lektion_5_wahrscheinlichkeitsrechnung
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Wahrscheinlichkeit auf drei verschiedene Arten ?

Klassische Methode (oder Laplace Auffassung)
Wir können die Wahrscheinlichkeit als denjenigen Wert ansehen, von dem wir aufgrund logischer, geometrischer beziehungsweise physikalischer Überlegungen überzeugt sind, dass er die zu erwartende relative Häufigkeit – von Zufallsschwankungen abgesehen – zutreffend beschreibt. (Wir gehen im Fall der Münze von zwei Zuständen aus, die gleiche Realisierungs- chancen haben, und rechnen „1 geteilt durch 2“.) Allgemein wird eine Wahrscheinlichkeit als 1/n bestimmt, wenn das Zufallsexperiment insgesamt n Ergebnisse mit gleichen Chancen hat.

Methode der relativen Häufigkeiten (oder Häufigkeitsprinzip)
Wir können die Wahrscheinlichkeit als einen Wert ansehen, dem sich die Häufigkeit der betrachteten Merkmalsausprägung bei einer großen Zahl von „Experimenten“ nähert. (Wir werfen die Münze 100-mal, 1.000-mal, 108-mal und berechnen die relativen Häufigkeiten von Kopf und Zahl.)

Subjektive Methode Wir können schließlich Wahrscheinlichkeit auch als einen Wert ansehen, der sich zwar nicht stringent logisch aus beispielsweise der Geometrie einer Anordnung ableiten lässt, der aber eine vernünftige Annahme aus Expertensicht ist. („Die deutsche Volkswirtschaft wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 ein Wachstum von mindestens 3 % haben.“ – „Die Regen- wahrscheinlichkeit für übermorgen ist 20 %.“)

Ereignisraum Ω.

Menge der möglichen Ergeb- nisse eines Zufallsexperiments

Ergebnis (Elementarereignis)

Einzelnes Element aus dem Ereig- nisraum

Ereignis

Eine bestimmte Menge von Elementarereig- nissen/Ergeb- nissen

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E liegt immer zwischen (einschließlich) 0 und 1.

Für jedes Ereignis E gilt: 0 ≤ P (E) ≤ 1.

2. DieWahrscheinlichkeit,dasseinesdernElementarereignissedesEreignisraumseintritt,ist1.

P (E1 C E2 C ... C En) = 1

3. Die Wahrscheinlichkeit eines Komplementärereignisses ist 1 minus der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

P (–E) = 1 – P (E)

4. IsteinEreignisEausbestimmtenElementarereignissenzusammengesetzt,

E = E1 C E2 C... C Em,

5. Weitergehendgiltauch:IsteinEreignisEausEreignissenzusammengesetzt,vondenen immer je zwei eine leere Schnittmenge haben, dann sagen wir auch, dass die Ereignisse paar- weise disjunkt sind.

E = E1 C E2 C ... C Em und Ei D Ej = Ø für i ≠ j, Dann ist

P (E1 C E2 C ... C Em) = P (E1) + P (E2) + .... + P (Em)

6. DieWahrscheinlichkeitfürdasEreignisECFerrechnetsichimallgemeinenFall,inwel- chem wir über die Schnittmenge nichts voraussetzen, wie folgt:

P (E C F) = P (E) + P (F) – P (E D F)

Ein Elementarereignis

ist ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1.

wird synonym auch als Ergebnis bezeichnet.

ist ein Begriff, der nur in Zusammenhang mit Naturphänomenen wie Erdbeben oder Überflutungen verwendet wird.

ist ein Begriff der statistischen Chemie.

ist in dem betrachteten Ereignisraum „atomar“, das heißt nicht weiter unterteilbar.

Welche Aussagen treffen zu?

Elementarereignisse haben immer eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.

Alle möglichen Elementarereignisse müssen dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Wenn man in einem Ereignisraum mit endlich vielen Elementarereignissen die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Elementarereignisse kennt, dann kennt man die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse.

Die Menge der möglichen Elementarereignisse ist immer endlich.

Welche Aussagen treffen zu?

Sind A und B Ereignisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit von „A oder B“ stets gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten von A und B.

Das Gegenereignis hat immer dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das Ereignis selbst.

Das Gegenereignis hat nie dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das Ereignis selbst.

Keine der obigen Aussagen trifft zu.

Ein Wahrscheinlichkeitsbaum

hat genau einen Stamm.

hat genau eine Wurzel.

hat genau einen Ast.

hat genau einen Pfad.

hat genau einen Knoten.

Bei einem Wahrscheinlichkeitsbaum

ist die Anzahl der Wurzeln endlich.

haben alle Äste, die von einem Knoten ausgehen, dieselbe Wahrscheinlichkeit.

hat jeder Pfad dieselbe Länge.

ist die Pfadwahrscheinlichkeit das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste längs dieses Pfades.

ist die Pfadwahrscheinlichkeit die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste längs dieses Pfades.

Welche Aussagen sind richtig?

Wahrscheinlichkeitsbäume eignen sich nur zur Darstellung von Experimenten, bei denen alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Wahrscheinlichkeitsbäume kommen insbesondere zum Einsatz, wenn die Anzahl der Elementarereignisse besonders groß ist.

Wahrscheinlichkeitsbäume verwendet man gern, wenn mehrere Experimente nach- einander durchgeführt werden

Bei Wahrscheinlichkeitsbäumen sollte man darauf achten, die Wurzel wie bei einem Baum in der Natur immer unten anzuordnen.

Für ein einstufiges Zufallsexperiment ist das Zeichnen eines Wahrscheinlichkeitsbau- mes eher unnütz.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn A eingetreten ist,

heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.

heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

bezeichnet man mit P (A|B).

bezeichnet man mit P (B|A).

wird berechnet als P (A D B). P (A)

Ein Zufallsexperiment möge aus drei Teilexperimenten bestehen, die jeweils mehrere unterschiedliche Ergebnisse haben können.

Für die Veranschaulichung dieser Situation eignet sich die Darstellung in einer Tabelle besonders gut.

Die Struktur des Experiments lässt sich gut in einem Baumdiagramm darstellen.

Die Struktur des Experiments lässt sich gut in einem Venn-Diagramm darstellen.

Diese Situation kann man nur verbal angemessen beschreiben.

Ein Zufallsexperiment möge aus zwei Teilexperimenten bestehen, die jeweils mehrere unterschiedliche Ergebnisse haben können.

Für die Veranschaulichung dieser Situation eignet sich die Darstellung in einer Tabelle besonders gut.

Die Struktur des Experiments lässt sich gut in einem Baumdiagramm visualisieren.

Die Struktur des Experiments lässt sich gut in einem Venn-Diagramm visualisieren, wenn jedes der beiden Experimente nur zwei Ergebnisse zulässt.

In einer zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitstabelle

sind in den Randfeldern stets unbedingte Wahrscheinlichkeiten eingetragen.

addieren sich die Wahrscheinlichkeiten in allen Zentralfeldern (also ohne die Rand- felder) zu 1.

addieren sich alle Felder (einschließlich aller Randfelder) zu 4.

sind in den Nichtrandfeldern stets bedingte Wahrscheinlichkeiten eingetragen.

sind überhaupt keine bedingten Wahrscheinlichkeiten eingetragen

„Stochastische Unabhängigkeit von A und B“

ist ein Begriff, der ein zweistufiges Zufallsexperiment voraussetzt.

ist gleichbedeutend mit P (A D B) = 0.

st immer gegeben, wenn A und B unmögliche Ereignisse sind.

bedeutet P (A D B) = P (A) · P (B).

bedeutet P (A|B) = P (A) beziehungsweise P (B|A) = P (B).

Bei einem Zufallsexperiment

können manche Ereignispaare voneinander unabhängig sein, andere nicht.

sind Ereignis und Gegenereignis immer voneinander unabhängig.

sind Ereignis und Gegenereignis nie voneinander unabhängig.

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