FEM Statik

Symmetrie sollte so oft wie möglich ausgenutzt werden, es reduziert den Aufwand (weniger zeichnen, Zwangs Bedingungen, Lagerungen etc.)

Man kann Axialsymmetrie, Rotationssymmetrie, und Punktsymmetrie ausnutzen

• Einzellasten oder-momente
• Druckbelastungen auf Elementen (Streckenlasten bei Balken)
• Eigengewicht
• Kräfte infolge Beschleunigungen
• Temperaturbeanspruchungen 

Feinere Vernetzung führt zu einer Spannungssteigerung, welche bei einem maximalen Wert konvergiert. Diese Spannungsspitzen können mit Hilfe einer Konvergenzanalyse ausfindig gemacht werden.

• Handrechnung
• Vereinfachte Geometrie in FEM-Simulieren
• Verschiebungen und Reaktionskräfte prüfen
• Vergleichsrechnung mit anderem FE-Programmen
• Vergleich mit praktischen Messungen 

An solchen Stellen das Netz verfeinern, dabei soll noch auf Singularität geprüft werden.

Singularität ist ein Effekt der bei idealisierten Modellen entsteht: z.b. Punktuelle Lasteinleitung, Scharfkantige Kanten. Spannungen an Singularitäten sind unbrauchbar.

• Elementgeometrie festlegen (Geometrie, Querschnitt)
• Materialeigenschaften (E-Modul, Querkontraktionszahl, Dichte)
• Vernetzung (Elementwahl, Netz generieren)
• Netz kontrollieren (Seitenverhältnis, …)
• Randbedingungen festlegen (Lasten, Lagerung, Symmetrien) 

• Geeignete Elementenauswahl
• Symmetrien ausnutzen
• Korrektes aufbringen der Lasten

• Globale-/Lokale-Koordinatensysteme  
• Zylinderkoordinatensystem (Winkel, r) 
• Sphärische Koordinatensystem  
• Kartesisches Koordinatensystem 

Eigenschaften eines Elementes (z.B. Grösse)

• Mapped-Mesh: Strukturiertes Netz beachtete Bedingungen der Elementform und des Netzmusters. Ein solches Netz wird ausschliesslich aus viereckigen Flächen oder quaderförmigen Volumen gebildet. Wenig Elemente.  
• Free-Mesh: Unstrukturiertes Netz wird ohne Bedingungen zur Elementform oder zum Muster des Netzes erstellt. Es ist für allgemein begrenzte Flächen oder Volumen geeignet. Nahezu jeder Umriss kann mit einem solchen Netz versehen werden, da beliebige lokale Verfeinerungen angepasst werden können. Viel Elemente

• Mapped-Mesh: Strukturiertes Netz beachtet Bedingungen der Elementform und des Netzmusters. Ein solches Netz wird ausschliesslich aus viereckigen Flächen oder quaderförmigen Volumen gebildet. Wenig Elemente.

Netze mit mapped meshing haben in der Regel eine hohe Qualität, erfordern aber mehr Aufwand.

• Free-Mesh: Unstrukturiertes Netz wird ohne Bedingungen zur Elementform oder zum Muster des Netzes erstellt. Es ist für allgemein begrenzte Flächen oder Volumen geeignet. Nahezu jeder Umriss kann mit einem solchen Netz versehen werden, da beliebige lokale Verfeinerungen angepasst werden können. Viel Elemente 

• Gleichmässigkeit. Wenn möglich keine Elementenmischung
• Verzerrungsprüfung
• Seitenverhältnisprüfung
• Spitzenwinkligkeitsprüfung
• Überkrümmungsprüfung

Ab einer gewissen Elementdichte steigt der Gesamtfehler wieder an.

Gesamtfehler = Diskretisierungsfehler + Numerische Fehler

Steigende Elementdichte: Diskretisierungsfehler sinken, Numerische Fehler steigen

Ästhetische Netze liefern gute Ergebnisse. (Regelmässigkeit)

Bei einer guten Vernetzung verlaufen die Elementseiten etwa parallel und zum Rand oder bei Schalen parallel zu den Hauptkrümmungsrichtungen.

Durch Eingabe der Elementgrösse, Elementform und Ansatzfunktion (linear, quadratisch). Durch lokale Verfeinerung können wichtige Stellen (Radien, Bohrungen) sehr genau betrachtet werden. Ausserdem kann die Strecke unterteilt werden.

• Erfüllen der Partnerregel
• Gleichmässigkeit
• Besser Vierecke benutzen anstatt Dreiecke (Genauigkeit)
• Unstetigkeiten refinen
• Elemente mit Mittelknoten verwenden

Aufbringen von Übermass durch Kontaktflächen oder mehrere Lastschritte.

Volumenlast: Erdbeschleunigung

Flächenlast: Druck

Punktlast: Kraft

Temperatur

Durch gezieltes Einschränken von Freiheitsgraden an Knoten 

Wenn als Fehler oder Warnung eine Starrkörperbewegung ausgegeben wird. Starrkörper deutet auf unzureichende Lagerung hin.

1. Elementsteifigkeit erstellen

2. Struktursteifigkeit aufbauen

3. Lastvektoren erstellen

4. Gleichungssystem aufstellen und Randbedingungen einbauen

5. Gleichungssystem lösen nach der unbekannten Verschiebung

6. Elementverschiebung bestimmen

7. Dehnung und Spannung im Element 

Direkt (z.b. Sparse)

Iterative (z.b. Preconditioned Conjugate Gradient)

• Handrechnung
• Vereinfachte Geometrie in FEM-Simulieren
• Verschiebungen und Reaktionskräfte prüfen
• Vergleichsrechnung mit anderem FE-Programmen
• Vergleich mit praktischen Messungen 

Dehnung,

Spannung,

Lagerkräfte (Reaktionskräfte),

Schnittkraftverläufe,

Verschiebungen

• Grafische Darstellung
• Diagrammverläufe
• Tabellen
• Zahlenmässige Ausgabe an lokalen stellen (min/max)

Das die Ergebnisse auf die ober bzw. unter Seite der Schalen dargestellt werden kann. Oder auch die Verteilung über die Schalendicke. 

Spannungsspitzen müssen genauer betrachtet werden. Separate Betrachtung

•  Vergleichsspannung nach Gestaltänderungshypothese bei zähen Werkstoffen, statisch oder schwingender Beanspruchung
•  Vergleichsspannung nach Schubspannungshypothese bei spröden Werkstoffen, grösste Schubspannung ist für das Versagen zuständig
•  Vergleichsspannung nach Normalspannungshypothese grösste Normalspannung (= 1. Hauptspannung) ist für das Versagen zuständig
•  Die 1. / 2. Hauptspannung wird als Auswertung bei spröden Werkstoffen als Vergleichsspannung verwendet.

Die Vergleichsspannung ist eine rechnerische Spannung, welche die gleiche Beanspruchung des Werkstoffs verursacht, wie wenn man sie an einem Zugstab aufbringen würde. Durch einen Vergleich dieser Vergleichsspannung mit der zulässigen Spannung kann die zusammengesetzte Beanspruchung beurteilt werden.

Eine Beulanalyse ist eine Technik zur Bestimmung von kritischen Lasten bei denen eine Struktur instabil wird, sowie der dazugehörigen Beulform

•  Lineare Beulanalyse (Eigenwertbeulen)
•  Nichtlineares Beulen (statisch-mechanische Analye) 

Bei der Eigenwertbeulanalyse wird die theoretische Beulfestigkeit (Verzweigungspunkt) einer linearen elastischen Struktur bestimmt.

Beim Aufbringen der Einheitskraft 1N auf einen Balken, kann mit der Eigenwert-Beulanalyse der Lastmultiplikator (lambda) abgelesen werden, welche gleich der kritischen Knicklast ist.

1. Statische-Mechanische-Analyse (Mit Einheitskraft 1N)

2. Einfügen einer Eigenwert-Beulanalyse und mit der Lösung von dem SMA verlinken.

3. Eigenwert-Beulanalyse gibt die (nicht ganz exakte) Verformung des Balkens an.