WT 1
Maß- und Integrationstheorie > Sigma-Algebren, Inhalte & Maße/ Elementare Bsp v Wahrscheinlichkeitsräumen/ Sigma-Stetigkeit v Maßen/ Verteilungsfuntion/ Bedingte W-keiten/ ZV/ Bildmaße & Verteilungen/ Integration/ Dichte & Satz von Radon-Nikodym
Maß- und Integrationstheorie > Sigma-Algebren, Inhalte & Maße/ Elementare Bsp v Wahrscheinlichkeitsräumen/ Sigma-Stetigkeit v Maßen/ Verteilungsfuntion/ Bedingte W-keiten/ ZV/ Bildmaße & Verteilungen/ Integration/ Dichte & Satz von Radon-Nikodym
Def
Produkt-Sigma-Algebra
(Omega_i, A_i) Messräume
Def
Zufallsvariable, Zufallsvektor, Realisierung
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum
Satz zu W-maß auf (Omega', A') / Verteilung von X
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum, X: (Omega, A) --> (Omega', A') ZV
Satz zu W-räumen mit Index i
(Omega_i, A_i, P_i) W-räume
Def
gemeinsame Verteilung, Randverteilung
(Omega, A, P) W-raum, (Omega_i, A_i) Messräume, X_i : (Omega, A) --> (Omega_i, A_i) Abb
Def
Elementar-/ Treppenfunktion
(Omega, A) Messraum
Def
Normaldarstellung
.
Def
Integral von Elementarfunktionen
f element E(A) mit einer Normaldarstellung
Def
Integral nicht-negativer Funktionen
(Omega, A, my) Meßraum, f messbar
Def
My-Integrierbarkeit, Integral
f messbare Abb von Omega nach [-Unendl, Unendl]
Lemma (Eigenschaften von my-integrierbaren Funktionen)
(Omega, A, my) Meßraum, f,g my-integrierbare Funktionen, Alpha element R
Def
Erwartungswert
(Omega, A, P) W-raum, X : Omega --> R P-integrierbare ZV
Satz von Beppo Levi I und II
(I: Satz zur monotonen Konvergenz)
I. f_n messbar, f_n punktweise gegen f
II. |f_n| Lebesgue-integrierbar, f_n gegen f my-fast sicher
Lemma von Fatou
f_n messbar
Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue)
f_n, f, g : Omega --> [-Unendl, Unendl] messbar, f_n gegen f, |f_n| kleinergleich g
Satz von Tonelli
(Omega_i, A_i, my_i) Sigma-endliche Maßräume, i=1,2, f ...-meßbar
Satz von Fubini
(Omega_i, A_i, my_i) Sigma-endl Maßräume, i=1,2, f ...-integrerbar
Satz von der Transformationsformel
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum, X : Omega --> Omega' ZV, f messbar
Satz zur Dichte
(Omega, A, my) Maßraum, f messbar
Satz von Radon-Nikodym
my, ny Sigma-endliche Maße auf Messraum (Omega, A)
Def
Kongruente Mengen
A,B Teilmengen aus R^n für n größergleich 1
Satz zu Maßfunktion (mit Potenzmenge)
keine Maßfkt für n größergleich 1 (bei Potenzmenge)
Def
(Sigma-) Algebra
Omega nicht leer, beliebig, P(Omega)
--> Maßfkt. i.A. nicht auf ganzer Potenzmenge def. nur auf Teilmengen --> baruchen bestimmte Struktur --> Einführung von Sigma-Algebren
Def
Messbare Mengen, Messraum
A Sigma-Algebra
Def
Inhalt, Maß
Omega nicht leer, C Teilmenge von P(Omega) mit Leerer Menge in C
Fkt von C auf Intervall [0, unendlich]
Begriffsdef
- Maßraum
- endliches Maß, endlicher maßraum
- W-Maß, W-raum
Begriffsdef
Def
Borelsche Sigma-Algebra
(Omega, d) metrischer Raum
--> Ziel: Sigma-Algebren auf metr. Räumen def
Beispiele zu Borelschen Sigma-Algebren
R^n mit euklidischer Metrik
Def
Gleichverteilung, Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum
Omega nicht leer, endlich
Beispiel Gleichverteilung (Fairer Würfel)
Fairer Würfel
Beispiel Gleichverteilung (Wiederholter Münzwurf)
Münzwurf
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Unfaire Münze)
Unfaire Münze
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Mehrfaches Werfen einer unfairen Münze)
Unfaire Münze
Def
Binomialverteilung
definiert auf N_0 (Ntürliche Zahlen inklusive 0)
Beispiel Binomialverteilung (Ankreuztest)
Anzreuztest
Def
Zählmaß, Dirac-Maß
Omega nicht leer
Def
Zähldichte
reelle Zahlenfolge
Beispiel Zähldichte (Poissonverteilung)
zugehörige W-maß zur Dichte: Poissonverteilung
Beispiel Pois und Binom (Zellenbelegung)
Zellenbelegung
Def
Sigma-Stetigkeit (von unten und von oben)
A_i Teilmengen aus Omega
-
- 1 / 72
-
Cartes-fiches
Stichprobe mit Reihenfolge ohne Zurücklegen
Gleichverteilung
Stichprobe ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen
Gleichverteilung
Stichprobe ohne Reihenfolge mit Zurücklegen
.
Beispiel (Geburtstagszwillinge)
Stichprobe mit Reihenfolge mit Zurücklegen
Satz (Stirlingsche Formel zur Besprechung von Fakultäten)
zur Approximation rechenaufwendiger Terme
Def
Urbild, Menge aller Urbilder
Omega, Omega' nicht-leere Mengen, X: Omega --> Omega'
Def
Messbare Funktion
zwei Messräume (Omega, A) und (Omega', A')
Kor zu stetigen Abb zwischen 2 metr. Räumen
stetige Abb zwischen 2 metr Räumen sind Borel-messbar
Kor zu Messraum (Eigenschaften)
Messraum (Omega, A), X: Omega --> R
Kor (Def.) Indikatorfunktion
(Omega, A) Messraum, ATeilmenge von Omega
Beispiel zu Borel-stetig aber unstetig
.
Def
Erzeugte Sigma-Algebra
X_i : Omega --> Omega_i Abb, (Omega_i, A_i) Messräume
Def
Produkt-Sigma-Algebra
(Omega_i, A_i) Messräume
Def
Zufallsvariable, Zufallsvektor, Realisierung
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum
Satz zu W-maß auf (Omega', A') / Verteilung von X
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum, X: (Omega, A) --> (Omega', A') ZV
Satz zu W-räumen mit Index i
(Omega_i, A_i, P_i) W-räume
Def
gemeinsame Verteilung, Randverteilung
(Omega, A, P) W-raum, (Omega_i, A_i) Messräume, X_i : (Omega, A) --> (Omega_i, A_i) Abb
Def
Elementar-/ Treppenfunktion
(Omega, A) Messraum
Def
Normaldarstellung
.
Def
Integral von Elementarfunktionen
f element E(A) mit einer Normaldarstellung
Def
Integral nicht-negativer Funktionen
(Omega, A, my) Meßraum, f messbar
Def
My-Integrierbarkeit, Integral
f messbare Abb von Omega nach [-Unendl, Unendl]
Lemma (Eigenschaften von my-integrierbaren Funktionen)
(Omega, A, my) Meßraum, f,g my-integrierbare Funktionen, Alpha element R
Def
Erwartungswert
(Omega, A, P) W-raum, X : Omega --> R P-integrierbare ZV
Satz von Beppo Levi I und II
(I: Satz zur monotonen Konvergenz)
I. f_n messbar, f_n punktweise gegen f
II. |f_n| Lebesgue-integrierbar, f_n gegen f my-fast sicher
Lemma von Fatou
f_n messbar
Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue)
f_n, f, g : Omega --> [-Unendl, Unendl] messbar, f_n gegen f, |f_n| kleinergleich g
Satz von Tonelli
(Omega_i, A_i, my_i) Sigma-endliche Maßräume, i=1,2, f ...-meßbar
Satz von Fubini
(Omega_i, A_i, my_i) Sigma-endl Maßräume, i=1,2, f ...-integrerbar
Satz von der Transformationsformel
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum, X : Omega --> Omega' ZV, f messbar
Satz zur Dichte
(Omega, A, my) Maßraum, f messbar
Satz von Radon-Nikodym
my, ny Sigma-endliche Maße auf Messraum (Omega, A)
