Trigonometrie
trigonometrische Formeln, die im ingenieurtechnischen Bereich in jedem Fall irgendwann auftreten.
trigonometrische Formeln, die im ingenieurtechnischen Bereich in jedem Fall irgendwann auftreten.
Trigonometrische Identität von \(\sin^2 x\)
\(\sin^2 x = \frac{1}{2} [1 - \cos (2x)]\)
x... ist ein Winkel
Trigonometrische Identität von \(\cos^2 x\)
\(\frac{1}{2} [1 + \cos (2x)]\)
Bedeutung der Konstanten a in
\(y = a \cdot \sin x\)
Der Faktor a in der Funktion \(y = a \cdot \sin x\) bewirkt eine Veränderung der Ausgangsfunktion \(y = \sin x\). Der neue Wertebereich lautet : \(- a \leq y \leq a\). Die Sinuskurve wird also in der y-Richtung gedehnt (falls a > 1) oder gestaucht (falls a < 1).
Wertebereich: y-Werte
Bedeutung der Konstanten b in \(y = \sin {(bx)}\)
Der Faktor b im Argument der Sinusfunktion \(y = \sin {(bx)}\) verändert gegenüber der Ausgangsfunktion \(y = \sin x\) die Periode :
\(y= \sin {(bx)}\)
Periode: \(p = \frac{2\pi}{b}\\ vorher\\ p=2\pi\) \(\sin {[b(x+p)]} = \sin {[b(x+ \frac{2\pi}{b})]} = \sin {(bx+2\pi)} = \sin {(bx)}\)
Dabei bewirkt b > 1 eine Verkleinerung, b < 1 dagegen eine Vergrößerung der Periode. Die Sinuskurve wird also in der x-Richtung gestaucht oder gedehnt.
Bedeutung der Konstanten c in \(y=\sin {(x+c)}\)
Die Konstante c in der Sinusfunktion \(y=\sin {(x+c)}\) bewirkt eine Verschiebung der Sinuskurve \(y= \sin x\) längs der x-Achse Während die erste nichtnegative Nullstelle von \(y= \sin x\) bekanntlich an der Stelle x0 = 0 liegt, befindet sich die entsprechende Nullstelle von \(y=\sin {(x+c)}\) an der Stelle x0 = -c (man setzt das Argument der Funktion gleich Null).
Die Kurve beginnt also bei x0 = -c und nicht x0 = 0 wie die normale Sinuskurve \(y= \sin x\). Der Kurvenparameter c bewirkt also eine Verschiebung der Kurve längs der x-Achse um die Strecke |c|.
Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion
\(y = a \cdot \sin {(bx +c )}\)
Verbildlichung der Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion
\(y = a \cdot \sin {(bx + c)}\)
Allgemeine Eigenschaften der allgemeinen Kosinusfunktion
\(y = a \cdot \cos {(bx +c)}\)
Harmoische Schwinung, auch Sinusschwingung ausgedrückt in
\(y = A \cdot \sin {(\omega t + \varphi)}\)
Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz w, Frequenz f und Schwingungsdauer T
\(\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \\ (f=\frac{1}{T})\)
Die Sinusschwingung beginnt zur Zeit \(t_0 = - \varphi/\omega\) (sog. Phasenverschiebung). Für \(\varphi\) > 0 ist die Kurve auf der Zeitachse nach links, für \(\varphi\) < 0 nach rechts verschoben.
Zur Zeigerdarstellung der Sinusfunktion
\(y = A \cdot \sin {(\omega t + \varphi)}\)
\(\varphi\) = Winkel gegenüber der Horizontalen (x-Achse) in Richtung Gegenuhrzeigersinn \(\circlearrowleft\) zur Zeit \(t_0 = 0\).
Bis zum Zeitpunkt t hat sich der Zeiger um den Winkel \(\omega t\) in positiver Richtung weitergedreht \(\circlearrowleft\).
120° in rad
\(\frac{2\pi}{3} \)
135° in rad
\(\frac{3\pi}{4} \)
150° in rad
\(\frac{5\pi}{6} \)
210° in rad
\(\frac{7\pi}{6} \)
240° in rad
\(\frac{4\pi}{3} \)
270° in rad
\(\frac{3\pi}{2} \)
300° in rad
\(\frac{5\pi}{3} \)
315° in rad
\(\frac{7\pi}{4} \)
330° in rad
\(\frac{11\pi}{6} \)
60° in rad
\(\frac{\pi}{3} \)
Berechnung von \(\tan \alpha\)
\(\tan \alpha = \frac{Gegenkathede}{Ankathede} = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}= \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha}\)
Berechnung von \(\cot \alpha\)
\(\tan \alpha = \frac{Ankathede}{Gegenkathede} = \frac{b}{a} = \frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}= \frac{ \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}\)
Definition Bogenmaß x
\(x = \frac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}} = \frac{b}{r}\)
Unter dem Bogenmaß x eines Winkel a (im Gradmaß) verstehen wir
die Maßzahl der Länge des Bogens, der dem Winkel \(\alpha\) im Einheitskreis (Radius r = 1) gegenüberliegt.
deg ⇒ rad
\(\frac{x}{\alpha} = \frac{2 \pi}{360°}=\frac{\pi}{180°}\)
\(\text{deg} =( \text{rad} \cdot \frac{180}{\pi})° \)
45° in rad
\(\frac{\pi}{4}\)
30° in rad
\(\frac{\pi}{6}\)
90° in rad
\(\frac{\pi}{2}\)
Umrechnung in Bogenmaß
\(\alpha = 225°\)
\(\frac{5 \pi}{4}\)
Darstellung von \(\cos \alpha\) und \(\sin \alpha\) im Einheitskreis
Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels \(\alpha\) versteht man den Ordinatenwert des zu \(\alpha\) gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis.
Alternative Darstellung von \(- \sin \alpha\)
\(- \sin \alpha = \sin (-\alpha)\)
ungerade Funktion
Alternative Darstellung von \(\cos (-\alpha)\)
\(\cos (-\alpha) = \cos \alpha\)
gerade Funktion
Berechnung von \(\tan x\) und \(\cot x\)
\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}\)
Funktionsgraph der Tangensfunktion
Funktionsgraph der Kotangensfunktion
Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion
Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion
Eigenschaften der Tangens- und Kotangensfunktion
Prägen Sie sich die Eigenschaften und den Kurvenverlauf in einem Periodenintervall gut ein
Periodenintervall des Tangens \(\frac{-\pi}{2}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\)
Periodenintervall des Kotangens 0 < x < \(\pi\)
Darstellung von \(\cos x\) durch \(\sin x\)
\(\cos x = \sin {(x +\frac{\pi}{2})}\)
Darstellung von \(\sin x\) durch \(\cos x\)
\(\sin x = \cos {(x -\frac{\pi}{2})}\)
Trigonometrischer Phytagoras im Bogenmaß
\((\sin x)^2 + (\cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
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Cartes-fiches
300° in rad
\(\frac{5\pi}{3} \)
315° in rad
\(\frac{7\pi}{4} \)
330° in rad
\(\frac{11\pi}{6} \)
60° in rad
\(\frac{\pi}{3} \)
