Tensor

beschleunigungsfrei

Schunspannungen in zwei aufeinander senkrecht stehenden Schnittflächen sind  gleich. Sie laufen entweder zur gemeinsamen Kante hin oder von dieser weg. Maan nennt sie einaander zugeordnete Schubspannungen.Bei Schubspannungen können die Indiezes getauscht werden, ohne ihren Wert zu ändern.

\(\tau _{xy}=\tau_{ yx}\)

z.B alle Eigenwerte sind reell

1. Spannungstensor ist Syymmetrisch.
2. Die Eigenwerte sind reell und Eigenvektoren verschiedener EW sind orthogonal
3. Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich.
4. Schubspannungen treten in zwei aufeinander senkrechten Schnitten immer paarweise auf und gleich groß
5. Schubspannungsvektoren, die tangential z uSchnittkante Verlaufen, haben keine zugeordneten Vektoren

.

1. von der äuseren Belastung
2. vom Ort des betrachteten Punktes P
3. von der Richtung des Normalvektors der Schnittfläche n

Im allgemeinen fallen die Richtungen von t und n  nicht zusammen, sodass Spannungsvektor t sich in zwei Tangentialkomponenten und ein Normalkomponent zerlegen lässt.

die 9 Spannungen beschreiben eindeutig den Spannungszustand im Punkt P. Sie bilden Koordinaten ein Tensores 2.Stufe                       

bei gegebenem Spannungstensor \(\sigma_{ij}\) ist jedem Normalvektor \(n_j\) ein Spannungsvektor \(t_i\)

\(t_i=\sigma_{ij}n_j\)

es gibt insgesamt 9 Komponenten. 6 Schubspannungen sind paarweise abhängig. d.h insgesamt 6 unabhängige Komponenten. 3 Normalspannung und 3 Schubspannung

bei jedem Spannungstensor es gibt 3 Hauptebenen d.h 3 orthogonale Ebenen, in denen die Schubspannungen verschwinden und nur Hauptspannungen \(\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3\)wirken

\( \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz} \\ \end{pmatrix}-> \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0& 0\\ 0& \sigma _{2}& 0\\ 0 & 0& \sigma _{3} \\ \end{pmatrix}\)

Hydrostatische Spannungszustand(HSZ)

\( \begin{pmatrix} -\sigma_1 & 0& 0\\ 0& -\sigma_1& 0\\ 0 & 0& -\sigma_1 \\ \end{pmatrix}\)

\(t_i=\sigma n_i\)

\(\sigma^3-J_1\sigma^2+J_2\sigma-J_3=0\)

1. \(J_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z\)
2. \(J_2=\sigma_x \sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\sigma_{xy}^2-\sigma_{yz}^2-\sigma_{zx}^2\)
3. \(J_3=det(S)\)

1. \(J_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3\)
2. \(J_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\)
3. \(J_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3\)

1. Drei Werte verschieden-->eine HAS
2. ein doppelter Hauptwert und ein einfacher-->Alle orthogonalen KO-Systeme, deren Achse mit der Hauprrichtung des einfachen Hauptwert zusammenfällt, sind HAS
3. dreifacher Hauptwert-->isotroper Tensor-->alle orthogonalen KO-Systeme sind HAS(Hauptachsensystem) 

mittlere Normalspannung

\(\sigma_m=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}3=\frac{\sigma_{kk}}3\)

\(\sigma_{ij}=\frac{\sigma_{kk}}3\delta_{ij}+\sigma_{ij}^D\)

\( \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sigma_{m} & 0& 0 \\ 0 & \sigma _{m}& 0\\ 0& 0& \sigma _{m} \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \sigma_{xx} -\sigma_m& \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}-\sigma_m& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz}-\sigma_m \\ \end{pmatrix}\)

die Abweichung der vorhandenen Spannungstensor  vom hydrostatischen Zustand charakterisiert

Da HSZ überkeine ausgezeichnete Richtungen verfügt

HSZ fürt zu Volumendilatation und der kann die Gestalt nicht ändern. Deviator führt zu Gestaltsänderung ohne Volumenänderung. Der Merkmal von solchen Spannungszustände ist die verschwindende  Spur. d. h. Spur ist gleich null

3ⁿ Koordinaten . z. B. Elastizitätstesor E hat 3⁴=81  Koordinaten

Tablle

S:Spannungstensor(Cauchy-Spannungstensor), H: Verschiebungsgradient, F: Deformationsgradient,

G: Green-Lagrange-Tensor, A:Almansi-Euler-Tensor, D: Linearisierter Verzerrungstensor

auf die Ordnung der Tensoren. z.B. kein Strich Tensor von 0-ter Ordnung und 2 Strich Tensor zweiter ordnug oder Dyade 

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kommt in einem Ausdruck ohne Operationszeichen derselbe Index zweiman, so ist über diesen Index zu summieren

\(A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}\)

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stummer index von Symbol wird gegen den freien Index von A ausgetauscht 

\(\delta_{ij}A_j=A_i\)  ,   \(\delta_{ij}A_{ik}=A_{jk}\)

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in der Indexschreibweise wird die partille Ableitung nach einer Koordinate durch ein Komma vor dieser Koordinate beschrieben \(\frac{\partial}{ \partial{ x_i}}( )=( )_{,i}\)oder \(\frac{\partial^2}{ \partial{ x_i}\partial{ x_j}}( )=( )_{,ij}\)

T_ij=T_ji    bzw T=T^T

T_ij=-T_ji    bzw T=-T^T

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ist ein Tensor, dessen Koordinaten und Komponenten unter Drehung des Koordinatensystem gleich bleiben

0. Stufe:jede skalare Größe, 1. Stufe:gibt es nicht,  2. Stufe: :\(\delta_{ij}\)und jede Multiplikation davon  mit einem skalaren Faktor, 3.Stufe:\(\epsilon_{ijk}\) und jede Multiplikation davon  mit einem skalaren 

Das dyadische Produkt zwischen zwei Vektoren  a und b der Stufen m und n führt zu einer mxn Matrix c mit der Stufe 2

\(ab^T=c\)

\(^{(m)}T\otimes^{(n)}U=^{(m+n)}E\)

Das verjüngende Produkt (inneres Produkt) zwischen zwei Tensoren T.U der SStufen m und n führt zu einem Tensor der Stufe m+n-2

\(t_i=\delta_{ij}.n_j\)