Tensor
Tensorrechnung
Tensorrechnung
ein Köeper ist in GG wennder Körper....ist
beschleunigungsfrei
Boltzmann-Axiom
Schunspannungen in zwei aufeinander senkrecht stehenden Schnittflächen sind gleich. Sie laufen entweder zur gemeinsamen Kante hin oder von dieser weg. Maan nennt sie einaander zugeordnete Schubspannungen.Bei Schubspannungen können die Indiezes getauscht werden, ohne ihren Wert zu ändern.
\(\tau _{xy}=\tau_{ yx}\)
Welche Vorteil gibt es, dass Spannungstensor symmetrisch ist?
z.B alle Eigenwerte sind reell
Allgemein gültige Folgerungen aus dem Boltzmann-Axiom(5 Merkmale):
- Spannungstensor ist Syymmetrisch.
- Die Eigenwerte sind reell und Eigenvektoren verschiedener EW sind orthogonal
- Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich.
- Schubspannungen treten in zwei aufeinander senkrechten Schnitten immer paarweise auf und gleich groß
- Schubspannungsvektoren, die tangential z uSchnittkante Verlaufen, haben keine zugeordneten Vektoren
.
Wovon hngt Spannungsvektor ti ab? (3)
- von der äuseren Belastung
- vom Ort des betrachteten Punktes P
- von der Richtung des Normalvektors der Schnittfläche n
Im allgemeinen fallen die Richtungen von t und n nicht zusammen, sodass Spannungsvektor t sich in zwei Tangentialkomponenten und ein Normalkomponent zerlegen lässt.
Definition:CAUCHY-Spannungstensor
die 9 Spannungen beschreiben eindeutig den Spannungszustand im Punkt P. Sie bilden Koordinaten ein Tensores 2.Stufe
CAUCHY-Gleichung:
bei gegebenem Spannungstensor \(\sigma_{ij}\) ist jedem Normalvektor \(n_j\) ein Spannungsvektor \(t_i\)
\(t_i=\sigma_{ij}n_j\)
Wieviele unabhängige Komponenten gibts in einem Spannungstensor
es gibt insgesamt 9 Komponenten. 6 Schubspannungen sind paarweise abhängig. d.h insgesamt 6 unabhängige Komponenten. 3 Normalspannung und 3 Schubspannung
Hauptspannungstensor \(\sigma\):
bei jedem Spannungstensor es gibt 3 Hauptebenen d.h 3 orthogonale Ebenen, in denen die Schubspannungen verschwinden und nur Hauptspannungen \(\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3\)wirken
\( \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz} \\ \end{pmatrix}-> \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0& 0\\ 0& \sigma _{2}& 0\\ 0 & 0& \sigma _{3} \\ \end{pmatrix}\)
ein spezielle 3-achsiger Spannungszustand
Hydrostatische Spannungszustand(HSZ)
\( \begin{pmatrix} -\sigma_1 & 0& 0\\ 0& -\sigma_1& 0\\ 0 & 0& -\sigma_1 \\ \end{pmatrix}\)
wie ist die CAUCHY-Gleichung für Hauptspannung \(\sigma \)
\(t_i=\sigma n_i\)
karakteristische Polynom zur Bestimmung der Hauptspannung:
\(\sigma^3-J_1\sigma^2+J_2\sigma-J_3=0\)
Invarianten des Spannungstensors:(lokales System xyz indiezes oder Allgemein mit 123 indiezes)
- \(J_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z\)
- \(J_2=\sigma_x \sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\sigma_{xy}^2-\sigma_{yz}^2-\sigma_{zx}^2\)
- \(J_3=det(S)\)
Invarianten des Spannungstensor für ein HAS:
- \(J_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3\)
- \(J_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\)
- \(J_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3\)
die 3 Hauptwerte der karakteristische Polynom:
- Drei Werte verschieden-->eine HAS
- ein doppelter Hauptwert und ein einfacher-->Alle orthogonalen KO-Systeme, deren Achse mit der Hauprrichtung des einfachen Hauptwert zusammenfällt, sind HAS
- dreifacher Hauptwert-->isotroper Tensor-->alle orthogonalen KO-Systeme sind HAS(Hauptachsensystem)
mittlere Spannung von einem Spannungstensor:
mittlere Normalspannung
\(\sigma_m=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}3=\frac{\sigma_{kk}}3\)
Spannungstensor mit Kugeltensor und Deviator:
\(\sigma_{ij}=\frac{\sigma_{kk}}3\delta_{ij}+\sigma_{ij}^D\)
\( \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sigma_{m} & 0& 0 \\ 0 & \sigma _{m}& 0\\ 0& 0& \sigma _{m} \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \sigma_{xx} -\sigma_m& \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}-\sigma_m& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz}-\sigma_m \\ \end{pmatrix}\)
Was wird durch Deviator gemacht?
die Abweichung der vorhandenen Spannungstensor vom hydrostatischen Zustand charakterisiert
Warum hat Deviator gleiches HAS entsprechend dem Spannungstensor?
Da HSZ überkeine ausgezeichnete Richtungen verfügt
wozu führen HSZ und Deviator-Spannungszustand?
HSZ fürt zu Volumendilatation und der kann die Gestalt nicht ändern. Deviator führt zu Gestaltsänderung ohne Volumenänderung. Der Merkmal von solchen Spannungszustände ist die verschwindende Spur. d. h. Spur ist gleich null
Gültigkeitsbereich des Kontinuumsmodells
10-2 bis 10-7
Wieviele Koordinaten hat ein Tensor n-ter Stufe?
3n Koordinaten . z. B. Elastizitätstesor E hat 34=81 Koordinaten
Wie heißen verschiedene Tensoren verschiedener Stufen?
Tablle
was sind spezielle Tensoren
S:Spannungstensor(Cauchy-Spannungstensor), H: Verschiebungsgradient, F: Deformationsgradient,
G: Green-Lagrange-Tensor, A:Almansi-Euler-Tensor, D: Linearisierter Verzerrungstensor
worauf beziehen sich die Striche unter den Symbolen?
auf die Ordnung der Tensoren. z.B. kein Strich Tensor von 0-ter Ordnung und 2 Strich Tensor zweiter ordnug oder Dyade
Welche Zusammenhänge stehen zwischen Tensoren und ihren Koordinaten Bezüglich der Basis
Foto
Einsteinsche Summationskonvention
kommt in einem Ausdruck ohne Operationszeichen derselbe Index zweiman, so ist über diesen Index zu summieren
\(A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}\)
Die Regeln und Schreibweise der Indizies
Foto
Kronecker-Symbol oder Einheitstensor
Foto
wie lässt sich ein Skalarprodukt mit Kroneckersymbol darstellen?
Foto
Austauschfunktion des Kroneckersymboles?
stummer index von Symbol wird gegen den freien Index von A ausgetauscht
\(\delta_{ij}A_j=A_i\) , \(\delta_{ij}A_{ik}=A_{jk}\)
Levi-Civita-Symbol?
Foto
Spatprodukt und Vektorprodukt mit Levi-Civita
Foto
Inde-Komma-Notation
in der Indexschreibweise wird die partille Ableitung nach einer Koordinate durch ein Komma vor dieser Koordinate beschrieben \(\frac{\partial}{ \partial{ x_i}}( )=( )_{,i}\)oder \(\frac{\partial^2}{ \partial{ x_i}\partial{ x_j}}( )=( )_{,ij}\)
Wann ist ein Tensor 2.Stufe symmetrisch,Antimetrisch(schiefsymmetrisch)?
Tij=Tji bzw T=TT
Tij=-Tji bzw T=-TT
additive Zerlegung eines Tensor in symmetrisch und antimetrische Anteil?
Foto
Isotroper Tensor und Beispiele für verschidene Stufen vom Tensor?
ist ein Tensor, dessen Koordinaten und Komponenten unter Drehung des Koordinatensystem gleich bleiben
0. Stufe:jede skalare Größe, 1. Stufe:gibt es nicht, 2. Stufe: :\(\delta_{ij}\)und jede Multiplikation davon mit einem skalaren Faktor, 3.Stufe:\(\epsilon_{ijk}\) und jede Multiplikation davon mit einem skalaren
dyadisches Produkt
Das dyadische Produkt zwischen zwei Vektoren a und b der Stufen m und n führt zu einer mxn Matrix c mit der Stufe 2
\(ab^T=c\)
Das Tensorprodukt
\(^{(m)}T\otimes^{(n)}U=^{(m+n)}E\)
Das verjüngende Produkt
Das verjüngende Produkt (inneres Produkt) zwischen zwei Tensoren T.U der SStufen m und n führt zu einem Tensor der Stufe m+n-2
\(t_i=\delta_{ij}.n_j\)
-
- 1 / 42
-
Cartes-fiches
Gültigkeitsbereich des Kontinuumsmodells
10-2 bis 10-7
Wieviele Koordinaten hat ein Tensor n-ter Stufe?
3n Koordinaten . z. B. Elastizitätstesor E hat 34=81 Koordinaten
Wie heißen verschiedene Tensoren verschiedener Stufen?
Tablle
was sind spezielle Tensoren
S:Spannungstensor(Cauchy-Spannungstensor), H: Verschiebungsgradient, F: Deformationsgradient,
G: Green-Lagrange-Tensor, A:Almansi-Euler-Tensor, D: Linearisierter Verzerrungstensor
worauf beziehen sich die Striche unter den Symbolen?
auf die Ordnung der Tensoren. z.B. kein Strich Tensor von 0-ter Ordnung und 2 Strich Tensor zweiter ordnug oder Dyade
Welche Zusammenhänge stehen zwischen Tensoren und ihren Koordinaten Bezüglich der Basis
Foto
Einsteinsche Summationskonvention
kommt in einem Ausdruck ohne Operationszeichen derselbe Index zweiman, so ist über diesen Index zu summieren
\(A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}\)
Die Regeln und Schreibweise der Indizies
Foto
Kronecker-Symbol oder Einheitstensor
Foto
wie lässt sich ein Skalarprodukt mit Kroneckersymbol darstellen?
Foto
Austauschfunktion des Kroneckersymboles?
stummer index von Symbol wird gegen den freien Index von A ausgetauscht
\(\delta_{ij}A_j=A_i\) , \(\delta_{ij}A_{ik}=A_{jk}\)
Levi-Civita-Symbol?
Foto
Spatprodukt und Vektorprodukt mit Levi-Civita
Foto
Inde-Komma-Notation
in der Indexschreibweise wird die partille Ableitung nach einer Koordinate durch ein Komma vor dieser Koordinate beschrieben \(\frac{\partial}{ \partial{ x_i}}( )=( )_{,i}\)oder \(\frac{\partial^2}{ \partial{ x_i}\partial{ x_j}}( )=( )_{,ij}\)
Wann ist ein Tensor 2.Stufe symmetrisch,Antimetrisch(schiefsymmetrisch)?
Tij=Tji bzw T=TT
Tij=-Tji bzw T=-TT
additive Zerlegung eines Tensor in symmetrisch und antimetrische Anteil?
Foto
Isotroper Tensor und Beispiele für verschidene Stufen vom Tensor?
ist ein Tensor, dessen Koordinaten und Komponenten unter Drehung des Koordinatensystem gleich bleiben
0. Stufe:jede skalare Größe, 1. Stufe:gibt es nicht, 2. Stufe: :\(\delta_{ij}\)und jede Multiplikation davon mit einem skalaren Faktor, 3.Stufe:\(\epsilon_{ijk}\) und jede Multiplikation davon mit einem skalaren
dyadisches Produkt
Das dyadische Produkt zwischen zwei Vektoren a und b der Stufen m und n führt zu einer mxn Matrix c mit der Stufe 2
\(ab^T=c\)
Das Tensorprodukt
\(^{(m)}T\otimes^{(n)}U=^{(m+n)}E\)
Das verjüngende Produkt
Das verjüngende Produkt (inneres Produkt) zwischen zwei Tensoren T.U der SStufen m und n führt zu einem Tensor der Stufe m+n-2
\(t_i=\delta_{ij}.n_j\)
Das zweifach verjüngende Produkt
Das zweifach verjüngende Produkt zwischen zwei Tensoren T..U der Stufen m und n führt zu eimem tensor der Stufe m+n-4 . Skararpdoduktbildung erfolgt zwischen dem letzten Basisvektor-paar des Tensors T und dem ersten Basisvektor-Paar des Tensors U. \(\sigma_{ij}=E_{ijkl}..\epsilon_{kl}\)
Was liegt in Kontinuumsmechanik realer Körper zugrunde?
Die Kontinuummodell wird zur Beschreibung des linear-elastisch deformierbaren Körpers benutzt. Um die physikalischen Größen zu beschreiben, wird es so vorgestellt, dass der Raum oder der Körper aus kleinen Volumenelenten bestehet. Diese Volumenelemente müssen so groß sein, dass in denen genügend Atome zur Beschreibung der makroskopischen Größen wie Dichte oder druck gibt und so klein, dass man die als infinitisimale Größe im Sinne der Analysis ansehen kann.
ein Köeper ist in GG wennder Körper....ist
beschleunigungsfrei
Boltzmann-Axiom
Schunspannungen in zwei aufeinander senkrecht stehenden Schnittflächen sind gleich. Sie laufen entweder zur gemeinsamen Kante hin oder von dieser weg. Maan nennt sie einaander zugeordnete Schubspannungen.Bei Schubspannungen können die Indiezes getauscht werden, ohne ihren Wert zu ändern.
\(\tau _{xy}=\tau_{ yx}\)
Welche Vorteil gibt es, dass Spannungstensor symmetrisch ist?
z.B alle Eigenwerte sind reell
Allgemein gültige Folgerungen aus dem Boltzmann-Axiom(5 Merkmale):
- Spannungstensor ist Syymmetrisch.
- Die Eigenwerte sind reell und Eigenvektoren verschiedener EW sind orthogonal
- Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich.
- Schubspannungen treten in zwei aufeinander senkrechten Schnitten immer paarweise auf und gleich groß
- Schubspannungsvektoren, die tangential z uSchnittkante Verlaufen, haben keine zugeordneten Vektoren
.
Wovon hngt Spannungsvektor ti ab? (3)
- von der äuseren Belastung
- vom Ort des betrachteten Punktes P
- von der Richtung des Normalvektors der Schnittfläche n
Im allgemeinen fallen die Richtungen von t und n nicht zusammen, sodass Spannungsvektor t sich in zwei Tangentialkomponenten und ein Normalkomponent zerlegen lässt.
Definition:CAUCHY-Spannungstensor
die 9 Spannungen beschreiben eindeutig den Spannungszustand im Punkt P. Sie bilden Koordinaten ein Tensores 2.Stufe
CAUCHY-Gleichung:
bei gegebenem Spannungstensor \(\sigma_{ij}\) ist jedem Normalvektor \(n_j\) ein Spannungsvektor \(t_i\)
\(t_i=\sigma_{ij}n_j\)
Wieviele unabhängige Komponenten gibts in einem Spannungstensor
es gibt insgesamt 9 Komponenten. 6 Schubspannungen sind paarweise abhängig. d.h insgesamt 6 unabhängige Komponenten. 3 Normalspannung und 3 Schubspannung
Hauptspannungstensor \(\sigma\):
bei jedem Spannungstensor es gibt 3 Hauptebenen d.h 3 orthogonale Ebenen, in denen die Schubspannungen verschwinden und nur Hauptspannungen \(\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3\)wirken
\( \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz} \\ \end{pmatrix}-> \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0& 0\\ 0& \sigma _{2}& 0\\ 0 & 0& \sigma _{3} \\ \end{pmatrix}\)
ein spezielle 3-achsiger Spannungszustand
Hydrostatische Spannungszustand(HSZ)
\( \begin{pmatrix} -\sigma_1 & 0& 0\\ 0& -\sigma_1& 0\\ 0 & 0& -\sigma_1 \\ \end{pmatrix}\)
wie ist die CAUCHY-Gleichung für Hauptspannung \(\sigma \)
\(t_i=\sigma n_i\)
karakteristische Polynom zur Bestimmung der Hauptspannung:
\(\sigma^3-J_1\sigma^2+J_2\sigma-J_3=0\)
Invarianten des Spannungstensors:(lokales System xyz indiezes oder Allgemein mit 123 indiezes)
- \(J_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z\)
- \(J_2=\sigma_x \sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\sigma_{xy}^2-\sigma_{yz}^2-\sigma_{zx}^2\)
- \(J_3=det(S)\)
Invarianten des Spannungstensor für ein HAS:
- \(J_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3\)
- \(J_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\)
- \(J_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3\)
die 3 Hauptwerte der karakteristische Polynom:
- Drei Werte verschieden-->eine HAS
- ein doppelter Hauptwert und ein einfacher-->Alle orthogonalen KO-Systeme, deren Achse mit der Hauprrichtung des einfachen Hauptwert zusammenfällt, sind HAS
- dreifacher Hauptwert-->isotroper Tensor-->alle orthogonalen KO-Systeme sind HAS(Hauptachsensystem)
mittlere Spannung von einem Spannungstensor:
mittlere Normalspannung
\(\sigma_m=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}3=\frac{\sigma_{kk}}3\)
Spannungstensor mit Kugeltensor und Deviator:
\(\sigma_{ij}=\frac{\sigma_{kk}}3\delta_{ij}+\sigma_{ij}^D\)
\( \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sigma_{m} & 0& 0 \\ 0 & \sigma _{m}& 0\\ 0& 0& \sigma _{m} \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \sigma_{xx} -\sigma_m& \sigma _{xy}& \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy}-\sigma_m& \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy}& \sigma _{zz}-\sigma_m \\ \end{pmatrix}\)
Was wird durch Deviator gemacht?
die Abweichung der vorhandenen Spannungstensor vom hydrostatischen Zustand charakterisiert
