Stochastik - KE 4 (Zufallsvariablen und Momente)
Kurs 01146 - Fernuni Hagen
Kurs 01146 - Fernuni Hagen
Wie ist die Varianz der Indikatorfunktion 1A angegeben?
Es ist:
\V(1A) = P(A) (1-P(A)).
Wie ist die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsgröße angegeben?
Es ist:
\V(X) = (1-p) p-2.
Wie lautet die Definition der Kovarianz zweier Zufallsgrößen?
Es ist die Kovarianz zwischen zwei Zufallsgrößen X und Y:
cov(X, Y) := IE((X - IEX)(Y - IEY)),
falls alle diese Erwartungswerte existieren.
Wie lautet die Bemerkung über die Kovarianz?
Die Kovarianz cov(X, Y) zwischen zwei Zufallsgrößen X, Y existiert genau dann, wenn die Erwartungswerte IE(X), IE(Y) und IE(XY) existieren und ist dann:
cov(X, Y) = IE(XY) - IE(X) IE(Y).
Wie lautet das Lemma über die Kovarianz zwischen zwei Zufallsgrößen X, Y und zwischen je zwei Zufallsgrößen X und Y und X' und Y?
- Falls cov(X, Y) existiert, dann existiert cov(Y, X) und es gilt: cov(X, Y) = cov(Y, X).
- cov(aX, bY) = ab cov(X, Y) für alle a, b aus IR.
- Falls cov(X, Y) und cov(X', Y) existieren, so existiert auch cov(X+X', Y) und es gilt cov(X+X', Y) = cov(X, Y) + cov(X', Y).
Wie lautet der Satz über die Varianz der Summe diskreter Zufallsgrößen?
Seien X1, … Xn diskrete Zufallsgrößen, deren Varianzen und Kovarianzen existieren, dann gilt:
Wie ist die Varianz von Indikatorsummen angegeben?
Seien A1, …, An Ereignisse in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum und X die Summe der Indikatorfunktionen zu diesen Ereignissen:
X = 1A1 + … + 1An,
dann gilt unter der Annahme der Gleichverteilung aller Ereignisse A1, …, An:
\V(X) = n P(A1) (1 - P(A1)) + n (n - 1) (P(A1 geschnitten A2) - P(A1)2).
Wie ist die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable angegeben?
Sei X binomialverteilt, dann gilt:
\V(X) = n p (1-p).
Wie ist die Varianz einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable angegeben?
Sei X hypergeometrisch verteilt, dann ist:
Wie ist die Varianz im Rencontres-Problem angegeben?
Es ist:
\V(X) = 1.
Wie ist die Varianz einer Polyá-verteilten Zufallsvariable angegeben?
Sei X Polyá-verteilt, dann ist:
Wie lautet die Definition von Unkorreliertheit?
Zwei Zufallsvariablen X, Y heißen unkorreliert, wenn cov(X, Y) existiert und cov(X, Y) = 0.
Wie lautet der Satz über die Gleichheit nach Bienaymé?
Sind die diskreten Zufallsgrößen X1, …, Xn paarweise unkorreliert und existieren die Varianzen, so gilt:
\V(X1 + … + Xn) = \V(X1) + … + \V(Xn).
Wie lautet der Satz über unabhängige Zufallsgrößen in Zusammenhang mit Unkorreliertheit?
Zwei unabhängige Zufallsgrößen, deren Erwartungswerte existieren, sind unkorreliert.
Wie ist die Varianz einer standard-normalverteilten Zufallsvariable X angegeben?
Sei X eine standard-normalverteilte Zufallsvariable, dann ist:
\V(X) = 1.
Wie ist die Varianz einer mit Parametern µ und sigma normalverteilten Zufallsvariable X angegeben?
Sei X eine mit Parametern µ und sigma normalverteilte Zufallsvariable, dann ist:
\V(X) = sigma2.
Wie ist die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsvariable X angegeben?
Sei X exponentialverteilt, dann ist:
\V(X) = lambda-2.
Wie lautet der Satz über lineare Regression zweier diskreter Zufallsvariablen?
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf (Omega, p) mit existierenden Varianzen, dann existiert auch cov(X, Y). Der Ausdruck IE(Y - b - aX)2 wird minimiert für:
a* = cov(X, Y) / \V(X),
b* = IE(Y) - a* IE(X).
Der Minimalwert m in IE(Y - b - aX)2 ergibt sich dann zu:
m = \V(Y) (1 - cov(X, Y)2 (\V(X) \V(Y))-1.
Wie lautet die Definition des Korrelationskoeffizienten?
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf (Omega, p) mit existierenden Varianzen, dann nennen wir r(X, Y) den Korrelationskoeffizienten definiert durch:
r(X, Y) := cov(X, Y) (\V(X) \V(Y))-½
Wie lautet der Satz über die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten bei der linearen Regression?
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf (Omega, p) mit existierenden Varianzen, dann gelten:
- |cov(X, Y)| <= S(X) S(Y).
- |r(X, Y)| <= 1.
- Es ist |r(X, Y)| = 1 genau dann, wenn es a, b aus IR gibt mit P(Y = aX + b) = 1. Dann folgt aus r(X, Y) = 1, dass a* > 0 und aus r(X, Y) = -1, dass a* < 0.
Wie lautet die Definition für eine diskrete Zufallsgröße?
Sei (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, dann heißt die Abbildung X: Omega → IR eine diskrete Zufallsvariable oder diskrete Zufallsgröße.
Wie lautet die Definition für die Indikatorfunktion?
Sei (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, dann heißt die Abbildung 1A: Omega → {0,1} Indikatorfunktion definiert durch:
omega → 1A(omega) := 1, falls omega aus A und 0 sonst, für alle omega aus Omega.
Wie lautet der Satz über die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes in Verbindung mit der i-ten Projektion?
Seien Omega = (Omega1, …, Omegan), pi(omegai | omega1, …, omegan-1) die Übergangswahrscheinlichkeiten und Xi: Omega → Omegai die i-te Projektion, dann gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Omega, Potenzmenge(Omega)) mit den folgenden Eigenschaften:
- Es gilt: P(X1 = omega1) = p1(omega1) für alle omega1 aus Omega1,
- Es gilt: P(Xi = omegai | X1 = omega1, …, Xi-1 = omegai-1) = pi(omegai | omega1, …, omegan-1), sofern P(X1 = omega1, …, Xi-1 = omegai-1) > 0.
P ist gegeben durch P( {omega} ) = p(omega) in Analogie zum Produktansatz.
Wie lautet die Definition einer Verteilung im diskreten Fall?
Sei (Oemga, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X: Omega → IR eine Zufallsgröße, dann heißt f := fX mit f(z) = P(X = z) für alle z aus X(Omega) die Verteilung der Zufallsgröße X.
Wie lautet die Definition einer binomialverteilten Zufallsgröße?
Sei (Omega, p) ein Bernoulli-Experiment der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und X: Omega → [n] die Anzahl der Erfolge, dann heißt X mit der Verteilung:
b(k; n, p) := P(X = k) = (nk) pk(1-p)n-k für k aus [n]
eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern p und n. Eine Zufallsvariable mit der Verteilung b(k; 1, p), k aus {0, 1} heißt Bernoulli-verteilt mit Parameter p.
Wie lautet die Definition für eine Polyá-Verteilung und der hypergeometrischen Verteilung?
Im Urnenmodel von Polyá sei nun Xi := 1Ai für i aus [n] und X = X1 + … + Xn, also die Anzahl der roten Kugeln nach n Zügen, dann heißt X mit der Verteilung:
P(X = k) = (nk) p(k, r, s, c)
eine Polyá-verteilte Zufallsvariable. Für c = 0 erhalten wir den Spezialfall der Binomialverteilung mit p = r (r+s)-1. Im Falle c = -1 erhalten wir die hypergeometrische Verteilung mit den Parametern r, s, n und wir schreiben:
h(k; n, r, s) := P(X = k).
Wie lautet die Definition für eine geometrische Verteilung?
Sei (Omega, p) ein Bernoulli-Experiment mit Länge n und Erfolgswahrscheinlichkeit p und X: Omega → [n] das Auftreten des ersten Erfolgs, dann heißt X mit der Verteilung:
P(X = i) = p (1-p)i-1
geometrisch-verteilt.
Wie lautet der Satz über geometrisch-verteilte Zufallsgrößen?
Sei X geometrisch-verteilt, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit:
P(X = n-1+k | X >= n) = P(X = k) für k aus [n],
also insbesondere unabhängig von n.
Wie lautet die Definition einer negativen Bernoulliverteilung?
Sei (Omega, p) ein Bernoulli-Experiment der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und Ur: Omega → [k] die Zufallsvariable, die die Anzahl der Misserfolge vor dem r-ten Erfolg angibt, dann heißt Ur mit:
P(Ur = k) = (k+r-1k) pr(1-p)k = (-rk) pr(1-p)k,
negativ Bernoulli-verteilt oder Pascal-verteilt. U1 geometrisch verteilt.
Wie lautet die Defintion der Unabhängigkeit von diskreten Zufallsgrößen?
Sei (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X1, … , Xn diskrete Zufallsgrößen auf (Omega, p), dann heißen die X1, … , Xn unabhängig, wenn:
P(X1= z1, … , Xn = zn) = P(X1= z1) … P(Xn = zn) für alle zi aus Xi(Omega) mit i aus [n].
Wie lautet der Satz über unabhängige diskrete Zufallsgrößen?
Seien (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X1, … , Xn diskrete Zufallsgrößen auf (Omega, p), dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- X1, … , Xn sind unabhängig,
- für alle A1, … , An aus IR gilt: P(X1 aus A1, … , Xn aus An) = P(X1 aus A1) … P(Xn aus An),
- für alle A1, … , An aus IR sind die Ereignisse {X1 aus A1}, … , {Xn aus An} unabhängig,
- für alle z1 aus X1(Omega), … , zn aus Xn(Omega) sind die Ereignisse {X1 = z1}, … , {Xn = zn} unabhängig.
Wie lautet der Satz über die Verknüpfung unabhängiger, diskreter Zufallsvariablen X1, …, Xn mit beliebigen reellen Funktionen f1: IR→ IR, …, fn: IR→ IR?
Seien (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X1, …, Xn unabhängige, diskrete Zufallsvariablen auf (Omega, p), dann sind:
Yi = fi verknüpft mit Xi für alle i aus [n]
unabhängig.
Wie lautet die Definition von Messbarkeit?
Seien Omega eine nichtleere Menge, Skript-A eine sigma-Algebra auf Omega, Skript-B die Menge der Borel-Mengen und X: Omega → IR eine Abbildung, dann heißt X messbar in Bezug auf Skript-A und Skript-B, wenn gilt:
X-1(B) ist aus Skript-A für all B aus Skript-B.
Wie lautet die allgemeine Defintion einer Zufallsgröße oder Zufallsvariable?
Sei (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X: Omega → IR eine Abbildung, dann heißt X Zufallsgröße oder Zufallsvariable, wenn gilt:
X-1(] -unendlich, a]) ist aus Skript-A für alle a aus IR.
Wie lautet die allgemeine Defintion einer Verteilung/eines Bildmaßes?
Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X: Omega → IR eine Zufallsgröße auf Omega, dann heißt X(P) = PX definiert durch:
PX(B) := P(X aus B) für alle B aus der Menge der Borel-Mengen,
das Bildmaß von P unter X oder die Verteilung von X unter P.
Wie lautet die Definition einer Dichte?
Eine Lebesgue-integrierbare Funktion f: IR → [0, unendlich[ heißt Dichte, wenn das Integral über f(x) dx über IR gleich 1 ist.
Wie ist die Dichte der Standard-Normalverteilung angegeben?
Es ist die Dichte phi der Standardnormalverteilung:
phi(x) = (2pi)-½e(-½ x^2).
Wie ist die Dichte der Normalverteilung zu den Parametern µ und sigma2 angegeben?
Es ist die Dichte phi der Standardnormalverteilung:
phi(x; µ, sigma2) = (2pi sigma2)-½e(-½ (x-µ)^2 (sigma^-2) für alle µ (der Erwartungswert) aus IR und sigma2 (die Varianz) > 0.
Wie ist die Dichte der gleichförmigen Verteilung angegeben?
Sei a < b , dann ist die Dichte f der gleichförmigen Verteilung auf [a, b]:
f(x) = (b-a)-1 falls x aus [a, b], 0 sonst.
Wie ist die Dichte der Exponentialverteilung angegeben?
Sei lambda > 0, dann ist die Dichte f der Exponentialverteilung zum Parameter lambda:
f(x) = lambda e-lambda x, falls x >= 0, 0 sonst.
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Cartes-fiches
Wie lautet der Satz über die Abweichung 0-ter Ordnung?
Der Grenzwert limr→0 sr existiert und ist:
s0 := x1p1 … xnpn
mit den Bezeichnungen aus der Definition der Abweichung r-ter Ordnung.
Wie lautet der Satz über die Abweichung r-ter Ordnung?
Die Abbildung sr: IR → IR+, r → sr ist monoton wachsend.
Wie lautet das Lemma über die allgemeine AGM-Ungleichung?
Es gilt:
s-1 <= s0 <= s1.
Wie lautet die Definition des Medians einer allgemeinen Zufallsgröße?
Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsgröße auf (Omega, Skript-A, P), dann heißt jede Zahl M mit den folgenden Eigenschaften Median von X:
P(X <= M) >= ½ P(X >= M) >= ½.
Wie lautet die Definition der Varianz einer diskreten Zufallsgröße?
Seien (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsgröße auf (Omega, p) mit existierendem Erwartungswert, dann heißt \V(X) die Varianz von X und ist wie angegeben definiert.
Weiter heißt S(X) die Standardabweichung von X und ist ebenfalls wie angegeben definiert.
Wie lautet die Definition der Varianz einer allgemeinen Zufallsvariablen?
Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine Zufallsvariable auf (Omega, Skript-A, P) mit der Dichte f, existiere IE(X) und sei x → (x - IE(X))2 f(x) Lebesgue-integrierbar, dann heißt \V(X) die Varianz von X und ist wie angegeben definiert.
Wie lautet das Lemma über eine Folgerung aus dem Transportsatz?
Seien (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine Zufallsgröße auf (Omega, p) und g: X(Omega) → IR, dann ist g(X) eine Zufallsgröße, deren Erwartungswert dann und nur dann existiert, wenn die folgende Voraussetzung erfüllt ist und dann ist IE(g(X)) wie folgt angegeben.
Wie lautet das Lemma über die Eigenschaften der Varianz?
- \V(X) ist der Erwartungswert der Zufallsgröße omega → (X(omega) - IEX)2.
- \V(X) existiert genau dann, wenn IE(X2) existiert.
- Existiert \V(X), dann gilt \V(X) = IE(X2) - IEX2.
- Für a, b aus IR gilt: \V(a+bX) = b2\V(X)
- Sind X, Y Zufallsvariablen für die \V(X) und \V(Y) existieren, dann existiert auch \V(X + Y).
Wie lautet der Satz über das Verhältnis des Erwartungswertes und der Varianz einer diskreten Zufallsvariable X?
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit IE(X2) < unendlich und a aus IR, dann gilt:
IE((X - a)2) >= \V(X)
Im Falle von endlich vielen Daten handelt es sich hierbei um den Inhalt des Satzes über die Verschiebungsformel.
Wie ist die Varianz der Indikatorfunktion 1A angegeben?
Es ist:
\V(1A) = P(A) (1-P(A)).
Wie ist die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsgröße angegeben?
Es ist:
\V(X) = (1-p) p-2.
Wie lautet die Definition der Kovarianz zweier Zufallsgrößen?
Es ist die Kovarianz zwischen zwei Zufallsgrößen X und Y:
cov(X, Y) := IE((X - IEX)(Y - IEY)),
falls alle diese Erwartungswerte existieren.
Wie lautet die Bemerkung über die Kovarianz?
Die Kovarianz cov(X, Y) zwischen zwei Zufallsgrößen X, Y existiert genau dann, wenn die Erwartungswerte IE(X), IE(Y) und IE(XY) existieren und ist dann:
cov(X, Y) = IE(XY) - IE(X) IE(Y).
Wie lautet das Lemma über die Kovarianz zwischen zwei Zufallsgrößen X, Y und zwischen je zwei Zufallsgrößen X und Y und X' und Y?
- Falls cov(X, Y) existiert, dann existiert cov(Y, X) und es gilt: cov(X, Y) = cov(Y, X).
- cov(aX, bY) = ab cov(X, Y) für alle a, b aus IR.
- Falls cov(X, Y) und cov(X', Y) existieren, so existiert auch cov(X+X', Y) und es gilt cov(X+X', Y) = cov(X, Y) + cov(X', Y).
Wie lautet der Satz über die Varianz der Summe diskreter Zufallsgrößen?
Seien X1, … Xn diskrete Zufallsgrößen, deren Varianzen und Kovarianzen existieren, dann gilt:
Wie ist die Varianz von Indikatorsummen angegeben?
Seien A1, …, An Ereignisse in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum und X die Summe der Indikatorfunktionen zu diesen Ereignissen:
X = 1A1 + … + 1An,
dann gilt unter der Annahme der Gleichverteilung aller Ereignisse A1, …, An:
\V(X) = n P(A1) (1 - P(A1)) + n (n - 1) (P(A1 geschnitten A2) - P(A1)2).
Wie ist die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable angegeben?
Sei X binomialverteilt, dann gilt:
\V(X) = n p (1-p).
Wie ist die Varianz einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable angegeben?
Sei X hypergeometrisch verteilt, dann ist:
Wie ist die Varianz im Rencontres-Problem angegeben?
Es ist:
\V(X) = 1.
Wie ist die Varianz einer Polyá-verteilten Zufallsvariable angegeben?
Sei X Polyá-verteilt, dann ist:
Wie lautet die Definition von Unkorreliertheit?
Zwei Zufallsvariablen X, Y heißen unkorreliert, wenn cov(X, Y) existiert und cov(X, Y) = 0.
Wie lautet der Satz über die Gleichheit nach Bienaymé?
Sind die diskreten Zufallsgrößen X1, …, Xn paarweise unkorreliert und existieren die Varianzen, so gilt:
\V(X1 + … + Xn) = \V(X1) + … + \V(Xn).
Wie lautet der Satz über unabhängige Zufallsgrößen in Zusammenhang mit Unkorreliertheit?
Zwei unabhängige Zufallsgrößen, deren Erwartungswerte existieren, sind unkorreliert.
Wie ist die Varianz einer standard-normalverteilten Zufallsvariable X angegeben?
Sei X eine standard-normalverteilte Zufallsvariable, dann ist:
\V(X) = 1.
Wie ist die Varianz einer mit Parametern µ und sigma normalverteilten Zufallsvariable X angegeben?
Sei X eine mit Parametern µ und sigma normalverteilte Zufallsvariable, dann ist:
\V(X) = sigma2.
Wie ist die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsvariable X angegeben?
Sei X exponentialverteilt, dann ist:
\V(X) = lambda-2.
Wie lautet der Satz über lineare Regression zweier diskreter Zufallsvariablen?
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf (Omega, p) mit existierenden Varianzen, dann existiert auch cov(X, Y). Der Ausdruck IE(Y - b - aX)2 wird minimiert für:
a* = cov(X, Y) / \V(X),
b* = IE(Y) - a* IE(X).
Der Minimalwert m in IE(Y - b - aX)2 ergibt sich dann zu:
m = \V(Y) (1 - cov(X, Y)2 (\V(X) \V(Y))-1.
Wie lautet die Definition des Korrelationskoeffizienten?
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf (Omega, p) mit existierenden Varianzen, dann nennen wir r(X, Y) den Korrelationskoeffizienten definiert durch:
r(X, Y) := cov(X, Y) (\V(X) \V(Y))-½
Wie lautet der Satz über die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten bei der linearen Regression?
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf (Omega, p) mit existierenden Varianzen, dann gelten:
- |cov(X, Y)| <= S(X) S(Y).
- |r(X, Y)| <= 1.
- Es ist |r(X, Y)| = 1 genau dann, wenn es a, b aus IR gibt mit P(Y = aX + b) = 1. Dann folgt aus r(X, Y) = 1, dass a* > 0 und aus r(X, Y) = -1, dass a* < 0.
