Stochastik - KE 2 (Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik)

Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge Omega und einer Abbildung p: Omega → [0, 1] mit der Summe aller p(omega) = 1 für omega aus Omega.

Sei (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit der endlichen Menge Omega, dann ist dies genau dann ein Laplace-Experiment, wenn gilt:

Sei (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist ein Ereignis A = (omega₁, …, omega_n) eine Teilmenge von Omega und P: Omega → [0, 1] eine Abbildung definiert duch: A → P(A) := p(omega₁) + … + p(omega_n). Es ist die leere Menge das sogenannte unmögliche Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 und Omega das sichere Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1.

Sei (Omega,p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A, B Ereignisse, dann gelten:

• Es ist 0 <= P(A) <= 1 für alle A,
• P ist abzählbar additiv,
• P ist abzählbar subadditiv,
• Falls A eine Teilmenge von B ist, dann ist P(B) = P(A) + P(B\A),
• also ist in diesem Fall P(A) <= P(B),
• P (A vereinigt B) = P(A) + P(B) - P(A geschnitten B).

Sei (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A₁, …, A_n Ereignisse in Omega, dann gilt:

Sei Omega eine Menge und Skript-A ein System von Teilmengen von Omega, dann ist Skript-A genau dann eine sigma-Algebra (in Omega), wenn gilt:

• Omega ist aus Skript-A,
• Wenn A aus Skript-A, dann ist auch A^c aus Skript-A und
• Für beliebig (auch unendlich) viele Teilmengen von Skript-A ist die Vereinigung dieser Teilmengen wiederum in Skript-A.

Mengen in Skript-A heißen Ereignisse oder messbare Mengen.

Es ist die Borelsche sigma-Algebra die kleinste sigma-Algebra auf [0, 1], die alle offenen Intervalle (a, b) mit 0 < a < b < 1 enthält.

Seien Omega ein nichtleere Menge und Skript-A eine sigma-Algebra über Omega. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Skript-A ist eine Abbildung P: Skript-A → [0, 1] mit

• P(Omega) = 1 und
• Für disjunkte Mengen A_i mit i = 1, …, n gilt, wenn B die Vereinigung dieser n Mengen ist: P(B) = P(A₁) + … + P(A_n).