Stochastik - KE 2 (Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik)
Kurs 01146 - Fernuni Hagen
Kurs 01146 - Fernuni Hagen
Wie ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum definiert?
Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge Omega und einer Abbildung p: Omega → [0, 1] mit der Summe aller p(omega) = 1 für omega aus Omega.
Wie ist eine Laplace-Wahrscheinlichkeit definiert?
Sei (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit der endlichen Menge Omega, dann ist dies genau dann ein Laplace-Experiment, wenn gilt:
Wie sind ein Ereignis und eine Wahrscheinlichkeit definiert?
Sei (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist ein Ereignis A = (omega1, …, omegan) eine Teilmenge von Omega und P: Omega → [0, 1] eine Abbildung definiert duch: A → P(A) := p(omega1) + … + p(omegan). Es ist die leere Menge das sogenannte unmögliche Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 und Omega das sichere Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1.
Wie lautet der Satz über Wahrscheinlichkeiten?
Sei (Omega,p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A, B Ereignisse, dann gelten:
- Es ist 0 <= P(A) <= 1 für alle A,
- P ist abzählbar additiv,
- P ist abzählbar subadditiv,
- Falls A eine Teilmenge von B ist, dann ist P(B) = P(A) + P(B\A),
- also ist in diesem Fall P(A) <= P(B),
- P (A vereinigt B) = P(A) + P(B) - P(A geschnitten B).
Wie lautet der Satz über das Ein- und Ausschlussprinzip/ die Siebformel von Poincaré und Sylvester?
Sei (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1, …, An Ereignisse in Omega, dann gilt:
Wie ist eine sigma-Algebra (in Omega) definiert?
Sei Omega eine Menge und Skript-A ein System von Teilmengen von Omega, dann ist Skript-A genau dann eine sigma-Algebra (in Omega), wenn gilt:
- Omega ist aus Skript-A,
- Wenn A aus Skript-A, dann ist auch Ac aus Skript-A und
- Für beliebig (auch unendlich) viele Teilmengen von Skript-A ist die Vereinigung dieser Teilmengen wiederum in Skript-A.
Mengen in Skript-A heißen Ereignisse oder messbare Mengen.
Wie ist die Borelsche sigma-Algebra definiert?
Es ist die Borelsche sigma-Algebra die kleinste sigma-Algebra auf [0, 1], die alle offenen Intervalle (a, b) mit 0 < a < b < 1 enthält.
Wie lautet die Definition für ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Seien Omega ein nichtleere Menge und Skript-A eine sigma-Algebra über Omega. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Skript-A ist eine Abbildung P: Skript-A → [0, 1] mit
- P(Omega) = 1 und
- Für disjunkte Mengen Ai mit i = 1, …, n gilt, wenn B die Vereinigung dieser n Mengen ist: P(B) = P(A1) + … + P(An).
Wie lautet die Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums?
Seien Omega eine nichtleere Menge, Skript-A eine sigma-Algebra über Omega und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Skript-A, dann heißt:
(Omega, Skript-A, P)
ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Wie lautet der Satz über Rechenregeln in einem Wahrscheinlichkeitsraum?
Es gelten die Regeln aus dem Satz über Wahrscheinlichkeiten.
Wie lautet der Stetigkeitssatz?
Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (An)n Ereignisse in A, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
Wie lautet die Definition einer endlichen Menge?
Eine Menge A heißt endlich, falls A die leere Menge ist, oder falls es eine Bijektion von IN auf A gibt, die wir dann auch Nummerierung von A nennen. Eine nicht endliche Menge heißt unendlich.
Wie lautet die Summenregel?
Seien A, B zwei endliche, disjunkte Mengen, dann gilt für die Vereinigung C dieser beider Mengen:
|C| =|A| + |B|
Wie lautet der Satz über zwei positive ganze Zahlen n und k?
- Es gibt zu jeder Teilmenge A von [n] = {1, …, n} eine Bijektion von A auf ein Intervall [k] = {1, …, k} mit k <= n.
- Es gibt eine Bijektion von [k] = {1, …, k} auf das Intervall [n+1, n+k].
Wie lautet der Satz über das Prinzip von Inklusion-Exklusion?
Es gilt in Analogie zur Siebformel:
Wie lautet die Produktregel?
Seien A, B endliche Mengen, dann ist auch das kartesische Produkt A x B endlich und es gilt:
|A x B| = |A| |B|.
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe in Reihenfolge mit Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung einer nummerierten Kugel mit jeweiligem Zurücklegen und die Verteilung k unterscheidbarer Teilchen mit möglichen Mehrfachbesetzungen der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omegai aus A mit i = 1, …, k} =: Ak,
dann gilt: |Ak| = |A|k = nk.
Man spricht hierbei von der Maxwell-Boltzmann-Statistik.
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe in Reihenfolge ohne Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung einer nummerierten Kugel ohne jeweiliges Zurücklegen und die Verteilung k unterscheidbarer Teilchen ohne Mehrfachbesetzung eines der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omegai aus A mit omegai <> omegaj für i <> j, 1 <= i, j <= k} =: I(k, n),
dann gilt: |I(k, n)| = n! * (n-k)!-1 = (n)k
Wie lautet die Stirling-Approximation?
Es ist:
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung aus einer Urne mit nicht nummerierten Kugel ohne Zurücklegen und die Verteilung k nicht unterscheidbarer Teilchen ohne Mehrfachbesetzung eines der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omegai aus A mit omegai < omegaj für i < j, 1 <= i, j <= k}
dann gilt: |Omega| = (nk).
Man spricht hierbei von der Fermi-Dirac-Statistik.
Welche Sätze lassen sich zum Binomialkoeffizienten formulieren?
- Es sei 0 <= k <= n, dann ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (nk).
- Die Anzahl der streng monoton wachsenden Folgen b1 < b2 < … < bk der Länge k, wobei die bi aus einer geordneten Menge von n Elementen stammen, ist gleich (nk).
Wie lautet die Vandermond'sche-Identität?
Für k, m, n aus IN mit k <= m + n gilt:
(n0) (mk) + (n1) (mk-1) + (n2) (mk-2) + … + (nk) (m0) = (n+mk).
Wie lautet die Definition der Rencontres-Zahl Rn und was gibt sie an?
Es ist Rn wie angegeben definiert und bezeichnet die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n, also der Lösung des Rencontres-Problems, bei dem es um die Wahrscheinlichkeit geht, dass bei n nummerierten Ziehungen keine der Ziehungen mit der Nummer der Ziehung übereinstimmt.
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe ohne Reihenfolge mit Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung einer nicht nummerierten Kugel mit jeweiligem Zurücklegen und die Verteilung k nicht unterscheidbarer Teilchen mit möglichen Mehrfachbesetzungen der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omega aus Ak mit omega1 <= … <= omegak},
dann gilt: |Omega| = (n+k-1k).
Man spricht hierbei von der Bose-Einstein-Statistik.
Wie lautet die Definition für den Multinomialkoeffizienten und was gibt er wieder?
Sei n = n1 + … + nk mit n1, …, nk aus IN0, dann heißt:
(nn1, n2, … nk) = n!(n1! n2! … nk!)-1
der Multinomialkoeffizient und er gibt die Anzahl der Folgen der Länge n an, in denen 1 genau n1 mal, 2 genau n2 mal, …, k genau nk mal auftaucht.
Wie lautet das Reflexions-/Spiegelungsprinzip?
Seien a, b aus IN und i, j aus IZ mit i < j, dann ist die Anzahl der Pfade von (i, a) nach (j, b) welche die x-Achse berühren ist gleich der Anzahl der Pfade von(i, -a) nach (j, b).
Wie lautet das Ballot-Theorem?
Die Wahrscheinlichkeit das während einer Abstimmung der letztendliche Gewinner während der fortlaufenden Auszählung der Stimmen ständig führt, ist (p-q)/(p+q), wobei p die Anzahl der Stimmen für den Gewinner und q die Anzahl der Stimmen für den Unterlegenen ist.
Wie lautet der Satz über die Wahrscheinlichkeiten bei einer Abstimmung, die letztlich mit Gleichstand endet, dass
- Kandidat K1 während der gesamten Auszählung bis zum Schluss führt?
- Kandidat K2 während der gesamten Auszählung nie führt?
Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum enthält (2pp) Elementarereignisse und somit gilt:
- Es gibt 1/p (2p-2p-1) Pfade von (0, 0) nach (2p, 0) mit s1, …, s2p-1 aus IN,
- und 1/(p+1) (2pp) Pfade von (0, 0) nach (2p, 0) mit s1, …, s2p-1 aus IN0.
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Flashcards
Wie ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum definiert?
Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge Omega und einer Abbildung p: Omega → [0, 1] mit der Summe aller p(omega) = 1 für omega aus Omega.
Wie ist eine Laplace-Wahrscheinlichkeit definiert?
Sei (Omega, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit der endlichen Menge Omega, dann ist dies genau dann ein Laplace-Experiment, wenn gilt:
Wie sind ein Ereignis und eine Wahrscheinlichkeit definiert?
Sei (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist ein Ereignis A = (omega1, …, omegan) eine Teilmenge von Omega und P: Omega → [0, 1] eine Abbildung definiert duch: A → P(A) := p(omega1) + … + p(omegan). Es ist die leere Menge das sogenannte unmögliche Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 und Omega das sichere Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1.
Wie lautet der Satz über Wahrscheinlichkeiten?
Sei (Omega,p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A, B Ereignisse, dann gelten:
- Es ist 0 <= P(A) <= 1 für alle A,
- P ist abzählbar additiv,
- P ist abzählbar subadditiv,
- Falls A eine Teilmenge von B ist, dann ist P(B) = P(A) + P(B\A),
- also ist in diesem Fall P(A) <= P(B),
- P (A vereinigt B) = P(A) + P(B) - P(A geschnitten B).
Wie lautet der Satz über das Ein- und Ausschlussprinzip/ die Siebformel von Poincaré und Sylvester?
Sei (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1, …, An Ereignisse in Omega, dann gilt:
Wie ist eine sigma-Algebra (in Omega) definiert?
Sei Omega eine Menge und Skript-A ein System von Teilmengen von Omega, dann ist Skript-A genau dann eine sigma-Algebra (in Omega), wenn gilt:
- Omega ist aus Skript-A,
- Wenn A aus Skript-A, dann ist auch Ac aus Skript-A und
- Für beliebig (auch unendlich) viele Teilmengen von Skript-A ist die Vereinigung dieser Teilmengen wiederum in Skript-A.
Mengen in Skript-A heißen Ereignisse oder messbare Mengen.
Wie ist die Borelsche sigma-Algebra definiert?
Es ist die Borelsche sigma-Algebra die kleinste sigma-Algebra auf [0, 1], die alle offenen Intervalle (a, b) mit 0 < a < b < 1 enthält.
Wie lautet die Definition für ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Seien Omega ein nichtleere Menge und Skript-A eine sigma-Algebra über Omega. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Skript-A ist eine Abbildung P: Skript-A → [0, 1] mit
- P(Omega) = 1 und
- Für disjunkte Mengen Ai mit i = 1, …, n gilt, wenn B die Vereinigung dieser n Mengen ist: P(B) = P(A1) + … + P(An).
Wie lautet die Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums?
Seien Omega eine nichtleere Menge, Skript-A eine sigma-Algebra über Omega und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Skript-A, dann heißt:
(Omega, Skript-A, P)
ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Wie lautet der Satz über Rechenregeln in einem Wahrscheinlichkeitsraum?
Es gelten die Regeln aus dem Satz über Wahrscheinlichkeiten.
Wie lautet der Stetigkeitssatz?
Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (An)n Ereignisse in A, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
Wie lautet die Definition einer endlichen Menge?
Eine Menge A heißt endlich, falls A die leere Menge ist, oder falls es eine Bijektion von IN auf A gibt, die wir dann auch Nummerierung von A nennen. Eine nicht endliche Menge heißt unendlich.
Wie lautet die Summenregel?
Seien A, B zwei endliche, disjunkte Mengen, dann gilt für die Vereinigung C dieser beider Mengen:
|C| =|A| + |B|
Wie lautet der Satz über zwei positive ganze Zahlen n und k?
- Es gibt zu jeder Teilmenge A von [n] = {1, …, n} eine Bijektion von A auf ein Intervall [k] = {1, …, k} mit k <= n.
- Es gibt eine Bijektion von [k] = {1, …, k} auf das Intervall [n+1, n+k].
Wie lautet der Satz über das Prinzip von Inklusion-Exklusion?
Es gilt in Analogie zur Siebformel:
Wie lautet die Produktregel?
Seien A, B endliche Mengen, dann ist auch das kartesische Produkt A x B endlich und es gilt:
|A x B| = |A| |B|.
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe in Reihenfolge mit Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung einer nummerierten Kugel mit jeweiligem Zurücklegen und die Verteilung k unterscheidbarer Teilchen mit möglichen Mehrfachbesetzungen der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omegai aus A mit i = 1, …, k} =: Ak,
dann gilt: |Ak| = |A|k = nk.
Man spricht hierbei von der Maxwell-Boltzmann-Statistik.
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe in Reihenfolge ohne Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung einer nummerierten Kugel ohne jeweiliges Zurücklegen und die Verteilung k unterscheidbarer Teilchen ohne Mehrfachbesetzung eines der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omegai aus A mit omegai <> omegaj für i <> j, 1 <= i, j <= k} =: I(k, n),
dann gilt: |I(k, n)| = n! * (n-k)!-1 = (n)k
Wie lautet die Stirling-Approximation?
Es ist:
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung aus einer Urne mit nicht nummerierten Kugel ohne Zurücklegen und die Verteilung k nicht unterscheidbarer Teilchen ohne Mehrfachbesetzung eines der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omegai aus A mit omegai < omegaj für i < j, 1 <= i, j <= k}
dann gilt: |Omega| = (nk).
Man spricht hierbei von der Fermi-Dirac-Statistik.
Welche Sätze lassen sich zum Binomialkoeffizienten formulieren?
- Es sei 0 <= k <= n, dann ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (nk).
- Die Anzahl der streng monoton wachsenden Folgen b1 < b2 < … < bk der Länge k, wobei die bi aus einer geordneten Menge von n Elementen stammen, ist gleich (nk).
Wie lautet die Vandermond'sche-Identität?
Für k, m, n aus IN mit k <= m + n gilt:
(n0) (mk) + (n1) (mk-1) + (n2) (mk-2) + … + (nk) (m0) = (n+mk).
Wie lautet die Definition der Rencontres-Zahl Rn und was gibt sie an?
Es ist Rn wie angegeben definiert und bezeichnet die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n, also der Lösung des Rencontres-Problems, bei dem es um die Wahrscheinlichkeit geht, dass bei n nummerierten Ziehungen keine der Ziehungen mit der Nummer der Ziehung übereinstimmt.
Welches sind die beiden Modelle der k-maligen Ziehung aus einer Urne mit n Kugeln oder der Verteilung von n Teilchen auf k Fächer im Falle einer Stichprobe ohne Reihenfolge mit Zurücklegen und wie lautet die Abzählformel?
Es entsprechen sich die k-malige Ziehung einer nicht nummerierten Kugel mit jeweiligem Zurücklegen und die Verteilung k nicht unterscheidbarer Teilchen mit möglichen Mehrfachbesetzungen der Fächer.
Sei A = [n] und Omega = {omega = {omega1, …, omegak} | omega aus Ak mit omega1 <= … <= omegak},
dann gilt: |Omega| = (n+k-1k).
Man spricht hierbei von der Bose-Einstein-Statistik.
Wie lautet die Definition für den Multinomialkoeffizienten und was gibt er wieder?
Sei n = n1 + … + nk mit n1, …, nk aus IN0, dann heißt:
(nn1, n2, … nk) = n!(n1! n2! … nk!)-1
der Multinomialkoeffizient und er gibt die Anzahl der Folgen der Länge n an, in denen 1 genau n1 mal, 2 genau n2 mal, …, k genau nk mal auftaucht.
Wie lautet das Reflexions-/Spiegelungsprinzip?
Seien a, b aus IN und i, j aus IZ mit i < j, dann ist die Anzahl der Pfade von (i, a) nach (j, b) welche die x-Achse berühren ist gleich der Anzahl der Pfade von(i, -a) nach (j, b).
Wie lautet das Ballot-Theorem?
Die Wahrscheinlichkeit das während einer Abstimmung der letztendliche Gewinner während der fortlaufenden Auszählung der Stimmen ständig führt, ist (p-q)/(p+q), wobei p die Anzahl der Stimmen für den Gewinner und q die Anzahl der Stimmen für den Unterlegenen ist.
Wie lautet der Satz über die Wahrscheinlichkeiten bei einer Abstimmung, die letztlich mit Gleichstand endet, dass
- Kandidat K1 während der gesamten Auszählung bis zum Schluss führt?
- Kandidat K2 während der gesamten Auszählung nie führt?
Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum enthält (2pp) Elementarereignisse und somit gilt:
- Es gibt 1/p (2p-2p-1) Pfade von (0, 0) nach (2p, 0) mit s1, …, s2p-1 aus IN,
- und 1/(p+1) (2pp) Pfade von (0, 0) nach (2p, 0) mit s1, …, s2p-1 aus IN0.
